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2012～2013学年度第一学期期中考试
高三数学参考答案与评分标准
一、填空题
1．{0，1} 2．， 3． 4．24 5．充分不必要 6．
7． 8．（文）[－7，3] （理）{1，6} 9．①②③
10．（文）8 （理） 11．4023 12．－2 13．3 14．4
二、解答题
15. 解：（1）是等差数列，，∴，……2分
又，∴，即,
解得：（舍去）或， ……4分
∴； ……6分
（2）是等比数列，，∴，有，…8分
∴，即数列是首项为，公比为的等比数列， ……10分
∴当时，； 当时，． ……14分
16. 解：（1）因为，所以，…2分
即， ……4分
而，所以，故； ……6分
（2）因为，
所以， ……10分
由得，
所以，从而， ……12分
故的取值范围是． ……14分
17. 解：设箱底边长为，则箱高为， ……2分
箱子的容积为． ……6分
由解得（舍），， ……8分
且当时，；当时，，
所以函数在处取得极大值， ……10分
这个极大值就是函数的最大值：．……12分
答：当箱子底边长为时，箱子容积最大，最大值为． ……14分
18. （文）解：（1）不等式的解集是，故方程的两根是，所以，解得； ……6分
（2）因为，所以， …8分
对称轴为，
当时，， ……10分
所以，解得， ……12分
当时，，所以成立． ……14分
综上可得：或． ……16分
（理）解：（1）时，， ……2分
结合图象知，函数的单调增区间为，减区间为． ……6分
（2）， ……8分
，
当时，函数的最小值为= 2，
解得a = 3符合题意； ……10分
当时，函数的最小值为，无解；
综上，a = 3． ……12分
（3）由（2）知，当时函数的最小值为，
所以恒成立，令， ……14分
有：，故． ……16分
19. 解：（1）当时，， ……2分
当时，，满足上式，所以； ……4分
（2）由分段函数可以得到：
……6分
当时，
， ……8分
故当时，
， ……10分
所以； ……12分
（3）由，及得，
， ……14分
，
要恒成立，只要，∴的最大值为． ……16分
20. （文）（1）由已知，为偶函数，所以b = 0； ……2分
设方程的两根为，，由得：
=
解得； ……4分
（2）由（1）知，，故=，
由，解得， ……6分
列表如下：
0
（0，）
（，1）
1
－
+
2
2
所以，函数在区间[0，1]上的最小值为； ……10分
（3）由（2）知，当时，有不等式≥恒成立，
所以≤，有≤， ……12分
当[0，1]，且时，
++≤
= ……14分
又1 = ≤3，
∴≥，
∴++≤，
当且仅当时，等号成立. ……16分
（理）解：（1）由题意在有两个不等实根，
即在有两个不等实根， ……2分
设，则，解之得； ……4分
（2）时，，
令， ……6分
则，
当时，，所以函数在上是增函数． ……8分
由已知，不妨设，则，
所以，即； ……10分
（3）令函数， ……12分
则，
当时，，函数在上单调递增． ……14分
又，所以当时，恒有,即恒成立．
取，则有恒成立，
故存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立．……16分
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