江苏省常州市武进区高三数学上学期期中考试试题-理-苏教版.doc

武进区教育学会2012～2013学年度第一学期期中
高三理科数学试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．已知全集，，则 ▲ .
2．已知向量，则向量与的夹角为 ▲ ．
3．公比为的等比数列的各项都是正数，且，则 ▲ ．
4．不等式的解集是 ▲ ．
5．函数，单调增区间是 ▲ ．
6．若实数满足，则= ▲ ．
7．已知向量满足，.若与垂直，则 ▲ ．
8．已知函数的图象与函数的图象没有交点，则实数的取值范围是 ▲ ．
9．等差数列中，已知，，则的取值范围是 ▲ ．
10．已知A、B、C是直线l上的三点，向量满足，则函数的表达式为 ▲ .
11．已知，若实数满足则的最小值为 ▲ .
12．已知函数 若，使得成立，则实数的取值范围是 ▲ .
13．给出以下命题：
（1）在△ABC中，是的必要不充分条件；
（2）在△ABC中，若，则△ABC一定为锐角三角形；
（3）函数与函数是同一个函数；
（4）函数的图象可以由函数的图象按向量平移得到.
则其中正确命题的序号是 ▲ （把所有正确的命题序号都填上）．
14．数列满足，则的前项和为 ▲ ．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分14分）
设函数.图像的一条对称轴是直线．
（1）求函数的解析式；
（2）若，试求的值.

16．（本题满分14分）
如图，点在内，，记．

a

A

B

C

P

（第16题图）
（1）试用表示的长；
（2）求四边形的面积的最大值，并写出此时的值．

17．（本题满分14分）
已知，其中是自然常数，
(1)当时，求的单调性和极值；
(2)若恒成立，求的取值范围.

18．（本题满分16分）
各项均为正数的数列中，前项和.
(1)求数列的通项公式；
（2）若恒成立，求k的取值范围；
(3)对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.

19．（本题满分16分）定义在实数集上的函数满足下列条件：①是偶函数；
②对任意非负实数、，都有；③当时，恒有．
（1）求的值；
（2）证明：在上是单调增函数；
（3）若，解关于的不等式．

20．（本题满分16分）
设函数是奇函数，且当时，取得极小值.
（1）求函数的解析式；
（2）求使得方程仅有整数根的所有正实数的值；
（3）设，（），求的最大值．

武进区2012～2013学年度第一学期期中调研测试
高三理科数学试题评分标准
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1． 2． 3． 4． 5．
6． 7． 8． 9． 10．
11． 12． 13．（2）、（3） 14．420
二、解答题：（本大题共6道题，计90分）
15．（本小题满分14分）
解：（1）∵是函数的图象的对称轴，
∴，∴，………………2分
∵－，∴， ………………4分
故 ………………6分
（2）因为，
所以， ………………8分
故
＝ ………………11分
而
＝.
所以，. ………………14分
16．（本题满分14分）
解：（1）△与△中，由余弦定理得，
， ① ………………2分
，② ………………4分
由①②得，
解得； ………………7分
（2） ………………10分
由（1）得 ………………12分
所以当时，． ………………14分
17．（本题满分14分）
解：(1) …………………………2分
∴当时，，此时为单调递减；
当时，，此时为单调递增. ………………4分
∴当的极小值为，无极大值………………………………6分
（2）法一：∵，
∴在上恒成立，
即在上恒成立，………………8分
令，，
∴………………10分
令，则，
当时，，此时为单调递增，
当时，，此时为单调递减， ………………12分
∴，
∴. ………………14分
法二：由条件：在上恒成立
令，，， ………………8分
时，恒成立，∴在上递减，
∴；
由条件知∴ 与矛盾. ………………10分
时，令，∴
当时，，此时为单调递增，
当时，，此时为单调递减，
，
∴ ………………12分
即. ………………14分
18．（本题满分16分）
解：(1) ，，
两式相减得， ………………2分
整理得，
数列的各项均为正数，，
是公差为的等差数列， ………………4分
又得，. ………………5分
（2）由题意得，
，

………………8分
………………10分
(3)对任意，，则，
而，由题意可知， ………………12分
于是
，
即. ………………16分
19．（本题满分16分）
解：（1）解：令，
则，
，. ………………4分
（2）当时，恒有，又是偶函数，
当时， ，
又，恒成立. ………………6分
设，则，，
， ………………9分
在上是单调增函数. ………………10分
（3）令，则，………………12分
，
由在上是单调增函数，
得， ………………14分
即，解得，
或. ………………16 分
20．（本题满分16分）
解：（1）为奇函数，， ………………2分
又由及，得，
； ………………4分
当时，，当时，
在时取得极小值，为所求 ………………5分
（2）方程化简得： ，
因为方程仅有整数解，故为整数，
又由及知，. ………………7分
又，故为16的正约数， ………………9分
所以，进而得到. ………………10分
（3）因为是偶函数，所以只要求出在上的最大值即可.记，，
（1）时，，在上单调增且.
∴，故； ………………12分
（2）时，由得，和，
①当即时，在[0，1]上单调减，
∴，故，
； ………………14分
②当即时，在单调减，单调增，
（Ⅰ）当，即时，，∴，
（Ⅱ）当，即时，，∴，
综上可知，. ………………16分

10
用心 爱心 专心