八年级数学勾股定理考点总结.pdf

1 (每日一练每日一练)八年级数学勾股定理考点总结八年级数学勾股定理考点总结 单选题 1、在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）Aa=15，b=8，c=17Ba=9，b=12，c=15Ca=7，b=24，c=25Da=3，b=5，c=7 答案：D 解析：解：A152+82=172，是勾股数；B92+122=152，是勾股数；C72+242=252，是勾股数；D32+5272，不是勾股数 故选 D 2、如图，长方体的底面边长分别为 2cm 和 3cm，高为 6cm如果用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈达到点 B，那么所用细线最短需要（）A11cmB234cmC（8+210）cmD（7+35）cm 答案：B 2 解析：要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果 解：将长方体展开,连接AB，则AB最短.AA=3+2+3+2=10cm，AB=6 cm，AB=102+62=234cm.故选 B.3、如图，一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60方向，与灯塔 P 的距离为 30 海里的 A 处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 30方向上的 B 处，则此时轮船所在位置 B 与灯塔 P 之间的距离为()A60 海里 B45 海里 C203海里 D303海里 答案：D 解析：根据题意得出：B=30，AP=30 海里，APB=90，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案 解：由题意可得：B=30，AP=30 海里，APB=90，3 故AB=2AP=60（海里），则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP=2 2=303（海里）故选：D 小提示：此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键 4、将一个含 30角的直角三角板ABC与一个直尺如图放置，ACB90，点A在直尺边MN上，点B在直尺边PQ上，BC交MN于点D若ABP15，AC6，则AD的长为（）A1322B8C62D63 答案：C 解析：先由平行线的性质可得DABABP15，根据三角形内角和定理得到CAB60，CADCABDAB45，那么ACD是等腰直角三角形，从而求出AD的长 解：由题意可得，MNPQ，DABABP15，CAB180CABC180903060，CADCABDAB601545，ACD90，4 ADC45，ACD是等腰直角三角形，AD2AC62 故选：C 小提示：本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，证明ACD是等腰直角三角形是解题的关键 5、有一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边的长为（）A5B7C5D5 或7 答案：D 解析：分 4 是直角边、4 是斜边两种情况考虑，再根据勾股定理计算即可 解：当 4 是直角边时，斜边=32+42=5；当 4 是斜边时，另一条直角边=42 32=7；故选：D 小提示：本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2 6、已知：在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c试判断ABC的形状（）A直角三角形 B等腰三角形 C锐角三角形 D钝角三角形 答案：A 5 解析：已知的式子变形，出现三个非负数的平方和等于 0 的形式，求出 a、b、c，再验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可 解：a2+b2-c2+338=10a+24b+26c，a2-10a+25+b2-24b+144-c2-26c+169=0，原式可化为（a-5）2+（b-12）2-（c-13）2=0，即 a=5，b=12，c=13（a，b，c 都是正的），而 52+122=132符合勾股定理的逆定理，故该三角形是直角三角形 故选 A.小提示：本题考查因式分解的应用，解题关键是勾股定理的逆定理：已知三角形 ABC 的三边满足 a2+b2=c2，则三角形ABC 是直角三角形 7、已知：在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c试判断ABC的形状（）A直角三角形 B等腰三角形 C锐角三角形 D钝角三角形 答案：A 解析：已知的式子变形，出现三个非负数的平方和等于 0 的形式，求出 a、b、c，再验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可 解：a2+b2-c2+338=10a+24b+26c，a2-10a+25+b2-24b+144-c2-26c+169=0，6 原式可化为（a-5）2+（b-12）2-（c-13）2=0，即 a=5，b=12，c=13（a，b，c 都是正的），而 52+122=132符合勾股定理的逆定理，故该三角形是直角三角形 故选 A.小提示：本题考查因式分解的应用，解题关键是勾股定理的逆定理：已知三角形 ABC 的三边满足 a2+b2=c2，则三角形ABC 是直角三角形 8、在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为（）A5B6C7D8 答案：A 解析：直接根据勾股定理求解即可 解：在直角三角形中，勾为 3，股为 4，弦为32+42=5，故选 A 小提示：本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键 填空题 9、九章算术中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为 10 尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为 1 尺如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的7 B（如图）则芦苇长_尺 答案：13 解析：将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知BC5 尺，设水深ACx尺，则芦苇长（x+1）尺，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深 解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺，在RtCAB中，AC2+BC2AB2，即x2+52（x+1）2，解得：x12，x+113，故芦苇长 13 尺，所以答案是：13 小提示：本题考查勾股定理，和列方程解决实际问题，能够在实际问题中找到直角三角形并应用勾股定理是解决本题的关键 10、在Rt 中，若两直角边，满足10 2+|12|=0，则斜边的长度是_ 答案：13 8 解析：利用非负数的和为 0，求出a与b的值，再利用勾股定理求即可 解：10 2+|12|=0，10 2 0，|12|0，10 2=0，12=0，=5，=12，在中，由勾股定理得c=2+2=52+122=13 所以答案是：13 小提示：本题考查非负数的性质，勾股定理，掌握非负数的性质，勾股定理是解题关键 11、公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是 49，直角三角形中较小锐角 的正切为512，那么大正方形的面积是_ 答案：169 解析：由题意知小正方形的边长为 7设直角三角形中较小边长为a，较长的边为b，运用正切函数定义求解 解：由题意知，小正方形的边长为 7，设直角三角形中较小边长为a，较长的边为b，则 tan短边：长边a：b5：12 9 所以b125a，又以为ba+7，联立，得a5，b12 所以大正方形的面积是：a2+b225+144169 故答案是：169 小提示：本题主要考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，掌握解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积是解题的关键.12、如图，BD 为 ABC 的中线，AB=10，AD=6，BD=8，ABC 的周长是_ 答案：32 解析：由勾股定理的逆定理得到 ABD 是直角三角形且 ADBD，结合等腰三角形的“三线合一”性质推知 AB=BC，由三角形的周长公式解答即可 解：AB=10，AD=6，BD=8，AB2=AD2+BD2=100，ABD 是直角三角形且 ADBD 又 BD 为 ABC 的中线，AB=BC=10，AD=CD=6 10 ABC 的周长=AB+BC+AD=2AB+2AD=20+12=32 故答案是：32 小提示：考查了勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形 13、如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为_ 答案：100 解析：三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积A=36+64=100 解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=36，一条直角边的平方=64，则斜边的平方=36+64 所以答案是：100 小提示：本题考查了正方形的面积公式以及勾股定理 解答题 14、在一条东西走向河的一侧有一村庄 C，河边原有两个取水点 A，B，其中 ABAC，由于种种原因，由 C 到A 的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 H（A，H，B 在一条直线上），并新修一条路 CH，测得 CB3 千米，CH2.4 千米，HB1.8 千米（1）问 CH 是不是从村庄 C 到河边的最近路，请通过计算加以说明；11 （2）求原来的路线 AC 的长 答案：（1）是，理由见解析；（2）2.5 米 解析：（1）先根据勾股定理逆定理证得 Rt CHB 是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答；（2）设 ACABx，则 AHx1.8，在 Rt ACH 中，根据勾股定理列方程求得 x 即可（1）1.82+2.42=32，即2+2=2，Rt CHB 是直角三角形，即 CHBH，CH 是从村庄 C 到河边的最近路（点到直线的距离中，垂线段最短）；（2）设 ACABx，则 AHx1.8，在 Rt ACH，2+2=2，即 2.42+(1.8)2=2，解得 x2.5，原来的路线 AC 的长为 2.5 米 小提示：本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解答本题的关键 15、如图，在 中，是上的一点，若=10，=6，=8，=17，求 的面积 12 答案：84 解析：先根据=10，=6，=8，利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形，再利用勾股定理求出的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案 解：2+2=62+82=102=2，是直角三角形，在RtACD中，=2 2=15，=+=6+15=21，=12 =12 21 8=84 因此的面积为 84 故答案为 84 小提示：此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形