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八年级数学竞赛培训：勾股定理

一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）
1．（4分）（2001•重庆）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE．B、E在C、D的同侧，若AB=，则BE=　_________　．

2．（4分）如图所示，在△ABC中，AB=5cm，AC=13cm，BC边上的中线AD=6cm，那么边BC的长为　_________　cm．

3．（4分）如图，设P是等边△ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB的度数是　_________　．

4．（4分）如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是1997，那么另一条直角边的长为　_________　．

5．（4分）若△ABC的三边a、b、c满足条件：a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则这个三角形最长边上的高为　_________　．

6．（4分）（2001•山东）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD对折，点C落在C′处，则BC′与BC之间的数量关系是BC′=　_________　BC．

7．（4分）（2008•扬州）如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP=3，那么线段PP′的长等于　_________　．

8．（4分）如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC于D，则AD=　_________　．

9．（4分）如图，四边形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是　_________　cm2．

二、选择题（共9小题，每小题5分，满分45分）
10．（5分）如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端的滑动距离（　　）

10题 12题 13题 15题

A．
等于1米
B．
大于1米
C．
小于1米
D．
不能确定
　11．（5分）若三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30°，则这个三角形是（　　）

A．
直角三角形
B．
锐角三角形
C．
钝角三角形
D．
以上都不对
　12．（5分）（1999•广西）如上图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（　　）

A．
4
B．
5
C．
2
D．

　13．（5分）如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（　　）

A．
CD、EF、GH
B．
AB、EF、GH
C．
AB、CD、GH
D．
AB、CD、EF
14．（5分）在锐角三角形ABC中，a=1，b=3，那么第三边c的变化范围是（　　）

A．
2＜c＜4
B．
2＜c＜3
C．
2＜c＜
D．
2＜c＜
15．（5分）如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为（　　）

A．

B．

C．

D．

　16．（5分）△ABC三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，这三边的高依次为ha、hb、hc，若a≤ha，b≤hb，则这个三角形为（　　）

A．
等边三角形
B．
等腰非直角三角形

C．
直角非等腰三角形
D．
等腰直角三角形
17．（5分）如左下图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（　　）

A．
CF＞GB
B．
GB=CF
C．
CF＜GB
D．
无法确定
18．如由上图（5分）（2003•山东）2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（　　）

A．
13
B．
19
C．
25
D．
169
　三、解答题（共12小题，满分0分）
19．如图，已知P是△ABC边BC上一点，且PC=2PB，若∠ABC=45°，∠APC=60°，求：∠ACB的大小．

20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h．
求证：．

21．一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由．

22．（2010•武义县模拟）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形和平行四边形．
（1）使三角形三边长为3，，；
（2）使平行四边形有一锐角为45°，且面积为4．

23．（1998•上海）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，求证：CM=2BM．

24．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2=BE2+CF2．

25．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，AD是斜边的中线，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=8，CF=6．
（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）求△DEF的面积．

26．在△ABC中，AB=AC．
（1）如图，若点P是BC边上的中点，连接AP．求证：BP•CP=AB2﹣AP2；

（2）如图，若点P是BC边上任意一点，上面（1）的结论还成立吗？若成立，请证明、若不成立，请说明理由；

（3）如图，若点P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的数量关系？画出图形，写出你的结论．（不必证明）

27．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E、F分别是BC上两点，若∠EAF=45°，试推断BE、CF、EF之间的数量关系，并说明理由．

28．如图，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，BC=4，CD=，求AC的长．

29．（2003•烟台）（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图（1）．它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积．
（2）现有一张长为6.5cm，宽为2cm的纸片，如图（2），请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形．
（要求：先在图（2）中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）

30．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．证明：BD2=AB2+BC2．

新课标八年级数学竞赛培训第13讲：勾股定理
参考答案与试题解析

一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）
1．（4分）（2001•重庆）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE．B、E在C、D的同侧，若AB=，则BE=　1　．

考点：
等腰直角三角形；全等三角形的判定；等边三角形的性质；勾股定理．704299
分析：
由等腰直角三角形ABC中，AB=，由勾股定理可知AC=AB=1，再证△ADC≌△BDE，从而推出BE=AC=1．
解答：
解：∵等腰直角三角形ABC中，AB=，
∴AC=AB=1，
∵等边△ABD和等边△DCE，
∴AD=BD，CD=ED，∠ADB=∠CDE，
∴∠ADC=∠BDE，
在△ADC和△BDE中，，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴BE=AC=1．
点评：
解决本题的关键是利用三角形全等得到所求线段的转化．

2．（4分）如图所示，在△ABC中，AB=5cm，AC=13cm，BC边上的中线AD=6cm，那么边BC的长为　　cm．

考点：
勾股定理的逆定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理．704299
分析：
延长AD到E，使DE=AD=6，连接CE，可证△ABD≌△ECD，利用勾股定理的逆定理可求∠AEC=90°，再利用勾股定理，即可求出CD的长，进而求出答案．
解答：
解：延长AD到E，使DE=AD=6，连接CE，
∵BD=CD，∠ADB=∠CDE，
∴△ABD≌△ECD，
∴CE=AB=5，
∵AC2=AE2+CE2即132=122+52，
∴△AEC为直角三角形，即∠E=90°，
∴△DEC为直角三角形，
∴CD=，BC=2CD=2（cm），故填．

点评：
本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理和勾股定理的逆定理即可解决问题．

3．（4分）如图，设P是等边△ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB的度数是　150°　．

考点：
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．704299
专题：
计算题．
分析：
将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数．
解答：
解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，
连EP，如图，
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°．
故答案为150°．

点评：
本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．

4．（4分）如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是1997，那么另一条直角边的长为　1994004　．

考点：
勾股定理．704299
专题：
计算题；因式分解．
分析：
设斜边为y，另一直角边为x，则存在y2﹣x2=19972，题目中要求x、y为整数，根据因式分解可以求出x、y的数值即可解题．
解答：
解：设斜边为y，另一直角边为x，
则存在y2﹣x2=19972，
即（y+x）（y﹣x）=19972，
x，y均为整数
得，
解得x=1994004，
故答案为1994004．
点评：
本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了因式分解的解题方法，本题中运用因式分解法计算x、y是解题的关键．

5．（4分）若△ABC的三边a、b、c满足条件：a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则这个三角形最长边上的高为　　．

考点：
勾股定理的逆定理；非负数的性质：偶次方；完全平方公式．704299
专题：
计算题．
分析：
首先把已知条件写出三个完全平方公式的和的形式，再根据非负数的性质求得a、b、c，然后根据勾股定理的逆定理判断这个三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求最长边上的高．
解答：
解：∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，
∴（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2=0，
∴a﹣5=0，b﹣12=0，c﹣13=0，
∴a=5，b=12，c=13，
∵52+122=132，
∴△ABC是直角三角形，
∴这个三角形最长边上的高为：5×12÷13=．
故答案为：．
点评：
本题考查勾股定理的逆定理的应用，注意直角三角形中，斜边上的高=两直角边的乘积÷斜边的长．

6．（4分）（2001•山东）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD对折，点C落在C′处，则BC′与BC之间的数量关系是BC′=　　BC．

考点：
翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形．704299
专题：
压轴题．
分析：
设BD=x，则BC=2x；根据折叠的性质可得，找出对应的边角即可求出．
解答：
解：BD=C′D=x，∠BC′D=∠ADC=45°，可得∠C′DB=90°；故BC′=BC．
点评：
本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．

7．（4分）（2008•扬州）如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP=3，那么线段PP′的长等于　　．

考点：
旋转的性质；等腰直角三角形．704299
专题：
压轴题．
分析：
根据旋转的性质，知：旋转角度是90°，根据旋转的性质得出AP=AP′=3，即△PAP′是等腰直角三角形，腰长AP=3，则可用勾股定理求出斜边PP′的长．
解答：
解：∵△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，
∴△ABP≌△ACP′，
即线段AB旋转后到AC，
∴旋转了90°，
∴∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=3，
∴PP′=3．
点评：
本题考查旋转的性质和直角三角形的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．

8．（4分）如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC于D，则AD=　12　．

考点：
勾股定理．704299
专题：
计算题．
分析：
由题意知，BD+DC=14，设BD=x，则CD=14﹣x，在直角△ABD中，AB是斜边，根据勾股定理AB2=AD2+BD2，在直角△ACD中，根据勾股定理AC2=AD2+CD2，列出方程组即可计算x的值，即可求得AD的长度．
解答：
解：BC=14，且BC=BD+DC，
设BD=x，则DC=14﹣x，
则在直角△ABD中，AB2=AD2+BD2，
即132=AD2+x2，
在直角△ACD中，AC2=AD2+CD2，
即152=AD2+（14﹣x）2，
整理计算得x=5，
∴AD==12，
故答案为 12．
点评：
本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了学生的方程思想，本题中设BD=x，并且在直角△ABD和直角△ACD中根据勾股定理计算BD是解题的关键．

9．（4分）如图，四边形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是　36　cm2．

考点：
勾股定理；三角形的面积．704299
专题：
计算题．
分析：
连接AC，求证△ACD为直角三角形，则△ABC的面积=•AC•AD，△ABC面积=AB•BC，四边形ABCD的面积等于△ABC和△ACD面积之和．
解答：
解：连接AC，
∠ABC=90°，AC==5cm，
∵AC2+AD2=CD2，
∴△ACD为直角三角形，
∴△ACD面积=×AC×AD=30cm2，
△ABC面积=×AC×BC=6cm2，
故四边形ABCD的面积为36cm2，
故答案为 36．

点评：
本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题中判定△ACD是直角三角形是解题的关键．

二、选择题（共9小题，每小题5分，满分45分）
10．（5分）如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端的滑动距离（　　）

A．
等于1米
B．
大于1米
C．
小于1米
D．
不能确定

考点：
勾股定理的应用．704299
专题：
应用题．
分析：
根据题意画出图形，利用勾股定理求出底端到墙的距离BE与BF的长，滑动的距离即BF﹣BE的值．
解答：
解：如图，
AC=EF=10米，AB=8米，AE=1米，求CF；
∵∠B=90°，由勾股定理得，BC=6米，
又∵AE=1米，BE=7米，EF=10米，由勾股定理得，BF=米，
∵＞，即＞7，
∴﹣6＞1．
故选B．

点评：
此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力，做此题时要注意弄清题意，明白是要求梯足又向后移了多少即CF的长，而不是BF的长．

11．（5分）若三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30°，则这个三角形是（　　）

A．
直角三角形
B．
锐角三角形
C．
钝角三角形
D．
以上都不对

考点：
三角形．704299
分析：
如图，分AB是30°角所对的边AC的2倍和AB是30°角相邻的边AC的2倍两种情况求解．
解答：
解：如图：
（1）当AB是30°角所对的边AC的2倍时，△ABC是直角三角形；
（2）当AB是30°角相邻的边AC的2倍时，△ABC是钝角三角形．
所以三角形的形状不能确定．
故选D．

点评：
解答本题关键在于已知30°的角与边的关系不明确，需要讨论求解，所以三角形的形状不能确定．

12．（5分）（1999•广西）如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（　　）

A．
4
B．
5
C．
2
D．

考点：
解直角三角形．704299
专题：
计算题；压轴题．
分析：
分析题意构造一个直角三角形，然后利用勾股定理解答即可．
解答：
解：如图，延长AD，BC交于点E，则∠E=30°．
在△CED中，CE=2CD=6（30°锐角所对直角边等于斜边一半），
∴BE=BC+CE=8，
在△AEB中，AE=2AB（30°锐角所对直角边等于斜边一半）
∴AB2+BE2=AE2，即AB2+64=（2AB）2，3AB2=64，
解得：AB=．
故选D．

点评：
本题通过作辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形的知识进行计算．

13．（5分）如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（　　）

A．
CD、EF、GH
B．
AB、EF、GH
C．
AB、CD、GH
D．
AB、CD、EF

考点：
勾股定理；勾股定理的逆定理．704299
专题：
网格型．
分析：
设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．
解答：
解：设小正方形的边长为1，
则AB2=22+22=8，CD2=22+42=20，
EF2=12+22=5，GH2=22+32=13．
因为AB2+EF2=GH2，
所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH．故选B．
点评：
考查了勾股定理逆定理的应用．

14．（5分）在锐角三角形ABC中，a=1，b=3，那么第三边c的变化范围是（　　）

A．
2＜c＜4
B．
2＜c＜3
C．
2＜c＜
D．
2＜c＜

考点：
三角形三边关系．704299
分析：
题中已知△ABC是锐角三角形，没有指明哪个角是最大角，从而无法确定边之间的关系，从而可以分两种情况进行分析，从而确定第三边c的变化范围．
解答：
解：①∵当∠C是最大角时，有∠C＜90°
∴c＜
∴c＜
②当∠B是最大角时，有∠B＜90°
∴b2＜a2+c2∴9＜1+c2
∴c＞2
∴第三边c的变化范围：2＜c＜
故选D．
点评：
此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用，关键是确定最大角．

15．（5分）如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
勾股定理的应用；轴对称的性质．704299
专题：
计算题；压轴题．
分析：
所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，找到对称轴中一点，使其到各顶点的最远距离相等即可求得覆盖本图形最小的圆的圆心，计算半径可解此题．
解答：
解：如图，得，
解得：a=，r=．
故最小半径为r=．
故选 D．

点评：
本题考查了正方形各边相等，且各内角均为直角的性质，考查了勾股定理的运用，本题中构建a、r是解题的关键．

16．（5分）△ABC三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，这三边的高依次为ha、hb、hc，若a≤ha，b≤hb，则这个三角形为（　　）

A．
等边三角形
B．
等腰非直角三角形

C．
直角非等腰三角形
D．
等腰直角三角形

考点：
等腰直角三角形；勾股定理．704299
专题：
计算题．
分析：
分别分析当a=ha时，∠A最大可能度数，∠B的最大可能度数，再利用勾股定理即可求出答案．
解答：
解：当a=ha时，∠A最大可能度数为45°，
所以当a≤haha时，∠A≤45°，
同理∠B≤45°，
故∠C=180°﹣∠A﹣∠B≥90°，
等号当且仅当△ABC为等腰直角三角形时成立，
故选D．
点评：
此题主要考查学生对等腰三角形的性质和勾股定理的理解和掌握，此题要分析各个角的最大度数，所以给此题增加了难度，是一道难题．

17．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（　　）

A．
CF＞GB
B．
GB=CF
C．
CF＜GB
D．
无法确定

考点：
全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；菱形的判定与性质．704299
专题：
几何综合题．
分析：
用观察和作图的方法可以猜测CF=GB．下面只要证明CF=GB即可．由条件∠ACB=90°，AF平分∠CAB，想到FH⊥AB，垂足为H，连接EH，易证菱形CEHF，平行四边形EHBG，故有CF=EH=GB，从而得证．要证明菱形CEHF，只需证明两对边平行，临边相等，根据菱形的定义即可证明．要证平行四边形EHBG，两对边平行即可．关于证明EH∥BC，只需证明∠AHE=∠B，通过在Rt△ACD与Rt△ACD中，证明∠ACD=∠B、∠AHE=∠ACD即可得．
解答：
解：过F做FH⊥AB且交于点H，连接EH，
在△ACF与△AHF中
∵AF平分∠CAB交CD于E⇒，
又∵AF=AF，
∴△ACF≌△AHF，
∴AC=AH，
同理在△ACE与△AHE中，△ACE≌△AHE，
可知CE=EH，∠ACE=∠AHE，
在Rt△ACD中，∠CAD+∠ACD=90°，
在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，
又∵∠CAD与∠CAB为同一角，
∴∠ACD=∠B，
∴∠AHE=∠B，
∴EH∥BC，
∵CD⊥AB，FH⊥AB，
∴CD∥FH，
∴四边形CEHF为菱形，四边形EGBH为平行四边形，
∴CF=EH，EH=GB，
∴CF=GB．
故选B．

点评：
本题考查全等三角形的性质与判定、角平分线的性质与判定、菱形的性质与判定、直角三角形的性质．难点在于恰当添加辅助线FH、EH，根据题意证明菱形CEHF，平行四边形EHBG．此类题学生丢分率较高，需注意．

18．（5分）（2003•山东）2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（　　）

A．
13
B．
19
C．
25
D．
169

考点：
勾股定理．704299
分析：
根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和，从而不难求得（a+b）2．
解答：
解：（a+b）2=a2+b2+2ab=大正方形的面积+四个直角三角形的面积和=13+（13﹣1）=25．
故选C．
点评：
注意完全平方公式的展开：（a+b）2=a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．

三、解答题（共12小题，满分0分）
19．如图，已知P是△ABC边BC上一点，且PC=2PB，若∠ABC=45°，∠APC=60°，求：∠ACB的大小．

考点：
轴对称的性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质．704299
专题：
计算题．
分析：
根据轴对称，角平分线和等边三角形的判定与性质，作C关于AP的对称点C′，连接AC′、BC′、PC′，求得BA平分∠C′BC，C′A平分∠MC′P，从而求得∠ACB的大小．
解答：
解：作C关于AP的对称点C′，
连接AC′、BC′、PC′，
则有PC′=PC=2PB，
∠APC′=∠APC=60°
可证△BC′P为直角三角形（延长PB到D，
使BD=BP，则PD=PC′，
又∠C′PB=60°，
则△C′PD是等边三角形，
由三线合一性质有C′B⊥BP，∠C′BP=90°，
因为∠ABC=45°，所以∠C′BA=45°=∠ABC，
所以BA平分∠C′BC
所以A到BC′的距离=A到BC的距离
又因为∠APC′=∠APC，所以PA平分∠C′PC
所以A到PC′距离=A到PC（即BC）的距离
所以A到BC′的距离=A到PC′的距离
所以A是角平分线上的点，即C′A平分∠MC′P
所以∠AC′P=∠MC′P=75°=∠ACB．

点评：
本题考查了轴对称的性质，角平分线的性质和等边三角形的判定与性质，有一定难度，作出辅助线是本题的关键．

20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h．
求证：．

考点：
勾股定理；勾股定理的逆定理．704299
专题：
证明题．
分析：
要证明，只需证明即可，在直角△ABC中根据BD2+CD2=BC2求证．
解答：
证明：在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，则△ACB∽△ADC∽△CDB，
=，即=，
∵h2（+）=+=+
==1，
∴．
点评：
本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，解本题的关键是求证=，即=，使得+=+．

21．一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由．

考点：
一元二次方程的整数根与有理根；勾股定理的逆定理．704299
专题：
应用题；分类讨论．
分析：
假设存在符合条件的直角三角形，它的三边长为a、b、c，其中c为斜边，则，于是将存在性问题的讨论转化为求方程组的解．
解答：
解：假设符合条件的直角三角形存在，它的三边长为a、b、c，其中c为斜边，则
，
∵a、b、c均为正整数，
∴a≠b；不妨设a＞b，则有a+b+=，
两边平方，并整理得：﹣a2b﹣ab2+2ab=0，
消去ab得：﹣a﹣b+2=0，即（a﹣4）（b﹣4）=8，
又∵8=1×8=2×4，
∴①，解得，则c=13；
②，解得，则c=10；
综上所述，符合条件的直角三角形存在，其边长分别是5、12、13；6、8、10．共有2个这样的直角三角形．
点评：
本题主要考查了一元二次方程的整数根及有理根、勾股定理的逆定理的应用．在解题过程中，当勾股定理不能直接运用时，常需要通过等线段的代换、作辅助垂线等途径，为勾股定理的运用创造必要的条件，有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系，这就需要熟悉一些常用的勾股数组．

22．（2010•武义县模拟）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形和平行四边形．
（1）使三角形三边长为3，，；
（2）使平行四边形有一锐角为45°，且面积为4．

考点：
作图—复杂作图．704299
专题：
网格型．
分析：
（1）本题中实际上是长为2宽为2的正方形的对角线长，实际上是长为2宽为1的矩形的对角线的长，据此可找出所求的三角形；
（2）可先找出一个直角边为2的等腰直角三角形，然后据此画出平行四边形．
解答：
解：（1）
三角ABC为所求；

（2）
四边形DEFG为所求．

点评：
关键是确定三角形的边长，然后根据边长画出所求的三角形．

23．（1998•上海）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，求证：CM=2BM．

考点：
线段垂直平分线的性质．704299
专题：
证明题；压轴题．
分析：
先根据垂直平分线的性质，判定AM=BM，再求出∠B=30°，∠CAM=90°，根据直角三角形中30度的角对的直角边是斜边的一半，得出BM=AM=CA即CM=2BM．
解答：
证法1：如答图所示，连接AM，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴BM=AM，∴∠BAM=∠B=30°，
∴∠MAC=90°，
∴CM=2AM，
∴CM=2BM．

证法二：如答图所示，过A
作AD∥MN交BC于点D．
∵MN是AB的垂直平分线，
∴N是AB的中点．
∵AD∥MN，
∴M是BD的中点，即BM=MD．
∵AC=AB，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵∠BAD=∠BNM=90°，
∴AD=BD=BM=MD，
又∵∠CAD=∠BAC﹣∠BAD
=120°﹣90°=30°，
∴∠CAD=∠C，
∴AD=DC，BM=MD=DC，
∴CM=2BM．

点评：
此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

24．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2=BE2+CF2．

考点：
勾股定理；全等三角形的判定与性质．704299
专题：
证明题．
分析：
延长ED到G，使DG=DE，连接EF、FG、CG，由于DF=DF，∠EDF=∠FDG=90°，DG=DE，可得出△EDF≌△GDF，所以EF=FG，同理证出BE=CG，所以要证明EF2=BE2+CF2，只需证明FG2=FC2+CG2即可．
解答：
证明：延长ED到G，使DG=DE，连接EF、FG、CG，如图所示：
∵DF=DF，∠EDF=∠FDG=90°，DG=DE
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF=FG
又∵D为斜边BC中点
∴BD=DC
又∵∠BDE=∠CDG，DE=DG
∴△BDE≌△CDG（SAS）
∴BE=CG，∠B=∠BCG
∴AB∥CG
∴∠GCA=180°﹣∠A=180°﹣90°=90°
在Rt△FCG中，由勾股定理得：
FG2=CF2+CG2=CF2+BE2∴EF2=FG2=BE2+CF2．

点评：
本题考查勾股定理的应用，关键在于找出相应的直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方，证明过程中运用到全等三角形的判定和等价替换的方法．

25．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，AD是斜边的中线，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=8，CF=6．
（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）求△DEF的面积．

考点：
全等三角形的判定；勾股定理．704299
专题：
计算题；证明题．
分析：
（1）由△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，AD是斜边的中线，可得：AD=DC，∠EAD=∠C=45°，AD⊥BC即∠CDF+∠ADF=90°，又DE⊥DF，可得：∠EDA+∠ADF=90°，故∠EDA=∠CDF，从而可证：△AED≌△CFD；
（2）由（1）知：AE=CF，AF=BC，DE=DF，即△EDF为等腰直角三角形，在Rt△AEF中，运用勾股定理可将EF的值求出，进而可求出DE、DF的值，代入S△EDF=DE2进行求解．
解答：
（1）证明：∵在Rt△ABC中，AB=AC，AD为BC边的中线，
∴∠DAC=∠BAD=∠C=45°，AD⊥BC，AD=DC，
又∵DE⊥DF，AD⊥DC，
∴∠EDA+∠ADF=∠CDF+∠FDA=90°，
∴∠EDA=∠CDF
在△AED与△CFD中，，
∴△AED≌△CFD（ASA）．

（2）解：由（1）知：AE=CF=6，同理AF=BE=8．
∵∠EAF=90°，
∴EF2=AE2+AF2=62+82=100．
∴EF=10，
又∵由（1）知：△AED≌△CFD，
∴DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，DE2+DF2=EF2=100，
∴DE=DF=，
∴S△DEF=×=25．
点评：
本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．

26．在△ABC中，AB=AC．
（1）如图，若点P是BC边上的中点，连接AP．求证：BP•CP=AB2﹣AP2；

（2）如图，若点P是BC边上任意一点，上面（1）的结论还成立吗？若成立，请证明、若不成立，请说明理由；

（3）如图，若点P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的数量关系？画出图形，写出你的结论．（不必证明）

考点：
勾股定理的应用．704299
专题：
证明题；探究型．
分析：
（1）根据勾股定理和等腰三角形的性质，可知BP=CP，AB2﹣AP2=BP×BP；
（2）成立，过点A作AD⊥BC于D，依然利用勾股定理，借助于平方差公式即可证明；
（3）画出图形，利用勾股定理，AP2﹣AB2=DP2﹣BD2=2DC•CP+CP2=BC•CP+CP2=BP