八年级数学----勾股定理-试题提高.doc

八年级数学练习 ----勾股定理
一、 知识点回顾：
1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2=c2）
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关
2、双垂直图形的线段等积式 。
3、常见的勾股数 ， ， ， 。
4、解决有关图形折叠的计算问题常见的方法是 。
5、解决立体图形的最短路线问题是分析观察找切开点和切开线，确定展开方向，平铺展开。
6．如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形
（1）首先确定最大边；
（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2=a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形。（若c2>a2+b2则△ABC是以∠C为钝角的三角形，若c2<a2+b2则△ABC是以∠C为锐角三角形）
二、典型例题：
关于勾股定理的计算
例1、已知，△ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，试说明△ABC是等腰三角形。

变式：已知△ABC的三边a、b、c，且a+b=17，ab=60，c=13, △ABC是否是直角三角形？你能说明理由吗？

关于旋转中的勾股定理的运用：
例2、如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，若AP=3，求PP′的长。
由于旋转之后重合
那么△ABP△ACP`是全等的
那么∠PAB=∠P`AC PA=P`A=3
∠BAC=RT=∠BAP`+∠P`AC=∠BAP`+∠PAB=∠PAP`
所以△PAP`为等腰直角三角形
那么PP`=3√2

变式1：如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=,PC=4,求△ABC的边长.
分析：利用旋转变换，将△BPA绕点B逆时针选择60°，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.
以A为中心将三角形APB旋转到AB边与AC边重合设P旋转到P’点
则AP=2 AP’=2 ∠PAP’=60°=>△APP’为正三角形所以∠AP’P=60°
△PP'C为边长分别为2，4，2根号3的三角形
（2根号3）²+2²=4²=>∠PP'C=90°∠CPP’=60°
所以∠CPA=60°+60°=120°
∠APB=∠AP'C=60°+90°=150°
所以∠CPB=360°-120°-150°=90°
所以BC=根号（（2根号3）²+4²）=2根号7

变式2、如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的点，且∠EAF=45°，试探究间的关系，并说明理由.

关于翻折问题
例3、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.

设BE=x，则CE=6-x,GE=x，AG=AB=10
又AD=BC=6，
∴DG=8
∴CG=10-8=2
∴（2）²+（6-x)²=x²
解得x=10/3

变式：如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.

关于勾股定理在实际中的应用：
例4、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？

AP=160,AC=100,CO=60,因为AC=AD,AD=100,OD=60，CD=120

18KM/H=5M/S
120/5=24

关于最短性问题
例5、如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（π取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）
底圆周长为2*3*2=12，绽展开矩形的长为12，宽为4，从背后袭击即走对角线时有最短路线，S=12的平方+4的平方的和再开根号=根号下160=4*根号10=4*3.162=12.648米

变式：如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？

关于勾股定理的相关证明
例6、如图在凸四边形ABCD中，∠ABC=30°, ∠ADC=60°，求证：BD2=AB2+BC2.

变式、如图，在△ABC中，AB=AC,P为BC上任意一点，求证:
分析：考虑构造直角三角形，能利用勾股定理.

例7、如图，∠xoy=60°，M是∠xoy内的一点，它到ox的距离MA为2。它到oy的距离为11。求OM的长。

三、课后训练：
一、填空题
C
O
A
B
D
E
F
第3题图
D
B
C
A
第4题图
1．如图(1)，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．

图(1)
2．种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 ㎝。
3．已知：如图，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于                                 cm
4．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_____________________米。
5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、
2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B
点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_____________.
二、选择题
1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）
A、25 B、14 C、7 D、7或25
2．Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（　　）
A、121 B、120 C、132 D、不能确定
3．如果Rt△两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（　　）
A、60∶13 B、5∶12 C、12∶13 D、60∶169
4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）
A、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2
5．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（　　）
A、56 B、48 C、40 D、32
A
B
E
F
D
C
第7题图
6．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（　　）
A、450a元 B、225a 元 C、150a元 D、300a元
150°
20m
30m
第6题图

7．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）
A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、12cm2
8．在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为
A．42　 B．32　 C．42或32 D．37或33
9. 如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是 （ ）
（A）直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)以上答案都不对

三、计算
1、如图，A、B是笔直公路l同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是300m和500m，两村庄之间的距离为d(已知d2=400000m2)，现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。问最小是多少？

2、如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：
①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由.
②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.

四、思维训练：
1、如图所示是从长为40cm、宽为30cm的矩形钢板的左上角截取一块长为20cm，宽为10cm的矩形后，剩下的一块下脚料。工人师傅要将它做适当的切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件，请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案（在图2，3中分别画出切割时所沿的虚线，以及拼接后所得到的正方形，保留拼接的痕迹）。

2、葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常饶着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿着短路线—盘旋前进的。难道植物也懂得数学吗？
如果阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？
如果树的周长为3 cm，绕一圈升高4cm，则它爬行路程是多少厘米？
如果树的周长为8 cm，绕一圈爬行10cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？

3、在，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,求证：。
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