八年级数学相似三角形的定义、识别、性质及性质的应用华东师大版知识精讲.doc

初二数学相似三角形的定义、识别、性质及性质的应用华东师大版

【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
相似三角形的定义、识别、性质及性质的应用

二. 重点、难点：
教学重点：相似三角形的识别及性质
教学难点：识别及性质的灵活应用

［知识精讲］
一、知识梳理：
1. 相似三角形的定义：
对应角相等、对应边成比例的三角形叫相似三角形。用符号“∽”表示。
注：①在书写相似三角形时一定要把对应顶点写在对应位置。
②相似三角形对应边的比叫相似比。
△ABC∽△A'B'C'，
那么△A'B'C'与△ABC的相似比是
③具有传递性，△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3。
2. 相似三角形的识别。
①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个△相似。
用数学语言表示：若∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'
且
则△ABC∽△A'B'C'
②预备定理：平行于三角形一边与另两边或（两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

若DE∥BC
则△ADE∽△ABC
③角的关系：
两角相等的两个三角形相似
若∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，则△ABC∽△A'B'C'
④边的关系：
三边成比例的两个三角形相似
若，则△ABC∽△A'B'C'
⑤边角关系：
两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似。
若
3. 相似三角形的性质。
若两个三角形相似，则：

③对应高等于相似比
④对应角平分线等于相似比
⑤对应中线等于相似比
⑥对应周长等于相似比
⑦对应面积等于相似比的平方
4. 相似三角形的应用

【典型例题】
例1. 如图1，△ABC∽△ADE，且∠ADE＝∠B，则下列比例式正确的是（ ）

图1
A. B.
C. D.
分析：怎样利用相似三角形证线段成比例？抓住对应是关键。在两个相似三角形中，相等的角是对应角，相等角所对的边是对应边。
解：选D。

例2. 如图2，平行四边形ABCD中，G为BC延长线上一点，图中相似三角形共有（ ）

图2
A. 3对 B. 4对
C. 5对 D. 6对
分析：运用相似三角形的基本定理，由AD∥BG，知△ADE∽△GBE，△ADF∽△GCF，由AB∥CD得△ABE∽△FDE，△ABG∽△FCG，而△ADF∽△GCF，由传递性，知△ABG∽△FDA，又由平行四边形ABCD知△ABD∽△CDB。共6对。
解：选D。

例3. 如图3，在△ABC中，D、E是AB边上的点，且AD＝DE＝EB，DF∥EG∥BC，则△ABC被分成的三部分的面积比S△ADF：S四边形DEGF：S四边形EBCG等于（ ）

图3
A. 1：1：1 B. 1：2：3
C. 1：4：9 D. 1：3：5
分析：因为DF∥EG∥BC
所以，△ADF∽△AEG∽△ABC
∵AD＝DE＝EB
∴AD：AE：AB＝1：2：3
∴S△ADF：S△AEG：S△ABC＝1：4：9
∴S△ADF：S四边形DEGF：S四边形EBCG＝1：3：5
解：选D。

例4. 小华做小孔成像实验，如图4，问蜡烛与成像板间的小孔纸板放在何处时，蜡烛焰AB是像A'B'的一半长，已知蜡烛与成像板间的距离为l。

图4
分析：利用相似三角形的基本定理。
解：如图4－1，作OE⊥AB于点E，延长EO交A'B'于点F

图4－1
则EF⊥A'B'
∵AB∥A'B'
∴△ABO∽△A'B'O'，△AEO∽△A'FO
∴
∴
∴，∴
∴
答：小孔纸板应放在距蜡烛处。

例5. 如图5，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD与△ABC相似，试分别加以列举。

图5
分析：此题属于探索性问题，由相似三角形的识别方法可知，△ACD与△ABC已有公共角∠A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的识别方法寻找一条件即可。
解：当满足以下三个条件之一时，△ACD∽△ABC
①∠1＝∠B
②∠2＝∠ACB
③

例6. 已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，△ABE和△ACF都是等边三角形。
求证：△EBD∽△FAD

图6
分析：本题用到一个基本图形，直角三角形被斜边高分成的两个三角形相似。
证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC
∴∠1＝∠2
又∵∠ADC＝∠ADB＝90°
∴△ABD∽△CAD
∴
∵△ABE和△ACF都是等边△
∴AB＝BE，AF＝AC，∴
又∵∠3＝∠4＝60°，∴∠3＋∠1＝∠4＋∠2
即∠EBD＝∠FAD
∴△EBD∽△FAD

相似三角形的应用
一、求旗杆高度
例1. （2003年 北京市西城区中考题）为了测量学校操场上旗杆的高度，小明请同学帮忙，测量了同一时刻自己的影长和旗杆的影长分别为0.5米和3米，如图1，如果小明身高为1.5米，那么旗杆的高度为____________米。

图1
分析：本题是一道实际操作题，只要根据相似三角形的性质，运用“旗杆高：人高＝旗杆影长：人影长”，即可得解。
简解：设旗杆高为x米，
则有，
解得（米）
即旗杆的高度为9米。

二、求路灯高度
例2. （2003年 天水市中考模拟题）某同学身高1.60米，由路灯下向前步行了4米，发现自己的射影长有2米，问此路灯多高？
简解：由于光是沿直线传播的，可以画出图2所示的示意图，AB表示同学的身高，CD表示路灯的高度。

图2
由AB∥CD
得△PAB∽△PCD
所以，
即，
所以CD＝4.8（米）
即路灯有4.8米高。

三、求镜子长度
例3. （2003年 山东省济南市中考题）检查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5米。现因房间两面墙的距离为3米，因此借助于平面镜来解决房间小的问题。若使墙面镜子能呈现出完整的视力表，由平面镜成像原理，作出了光路图，如图3。其中视力表AB的上下边沿A、B发出的光线经平面镜MM'的上下边沿反射后射入人眼C处。如果视力表的全长为0.8米，请计算出镜长至少应有多少米？

图3
分析：这是一题数学与物理光学相结合的跨学科考试题，只要运用相似三角形对应高的比等于相似比，即可求解。
简解：如图3，作CD⊥MM'，垂足为D，并延长交A'B'于点E
由AB∥MM'∥A'B'
得CE⊥A'B'，△CMM'∽△CA'B'
所以
又CD＝5－3＝2，CE＝5，A'B'＝AB＝0.8
所以，解得MM'＝0.32（米）
所以镜长至少应为0.32米。

四、求梯子长度
例4. （2003年 新疆中考题）如图4，AB是斜靠在墙壁上的一个梯子，梯子下端B点距墙脚C点1.4米，梯子上D点距墙壁1.2米，梯子每级之间的距离（如BD）为0.5米，则这个梯子的长度是（ ）

图4
A. 3.5米 B. 3.85米
C. 4米 D. 4.2米
分析：这是一道同学们都比较熟悉的实际生活问题，只要通过Rt△AED∽Rt△ACB，就可以求解。
简解：设AD＝x米，则由
△AED∽△ACB，得
即
所以（米），
故选A。

五、求油面高度
例5. （2003年 铜陵市中考模拟题）如图5，一油桶高1m，桶内有油，一根木棒长1.2m，从桶盖的小口处斜插入桶内，一端插到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上未浸油部分长为0.48m，求桶内油面的高度。

图5
分析：这是一道油库工人非常熟悉的工作，对学生来说也并不困难。从所画油桶剖面示意图中，知h＝1m，AB＝1.2m，AC＝0.48m，故应用△ACD∽△ABE即可求得h'。
简解：由△ACD∽△ABE
得
即
所以
即桶内油面的高度为0.6m。

【模拟试题】（答题时间：45分钟）
一、选择题
1. 已知△ABC∽△A'B'C'，且△ABC与△A'B'C'的相似比为k1，△与△ABC的相似比为，则的关系是（ ）
A. B.
C. D.
2. 同一个三角形在比例尺分别为1：100与1：300的甲、乙两张地图中的周长之比为（ ）
A. 1：9 B. 9：1
C. 3：1 D. 1：3
3. 如图1所示，在正方形网格上有两个三角形：△ABC与△DEF，则△DEF与△ABC的面积之比等于（ ）

图1
A. 3：5 B. 1：3
C. 2：5 D. 1：4
4. 如图2，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数是（ ）

图2
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
5. 如图3，平行四边形ABCD中，E为AB的中点，DE与AC交于点O，则△EOA∽（ ）

图3
A. △AOD B. △ADE
C. △ACD D. △DOC
6. 下列条件中，可以判定△ABC∽△的是（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 已知线段a、b，若想作一线段x，使，正确的作法是（ ）

图4

二、填空题
8. 如图5，若∠1＝∠2，请补充一个条件：_____________（写一个即可）。使△ABC∽△ADE。

图5
9. 把一个三角形变成一个和它形状相同的三角形，要求使三角形的面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的_____________倍。
10. 阳光通过窗口照到房间里，在地上留下3.2米宽的亮区，如图6，已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE＝8米，窗口高AB＝2米，那么窗口底边离地面的高BC＝__________。

图6
11. 锐角三角形ABC的边AB、AC上的高线CE和BF交于点D。请写出两对相似三角形，并用相似符号连接：____________。

三、解答题：
12. 将两个完全相同的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，若图7中的所有点、线都在同一个平面上，回答下列问题：

图7
（1）图形中共有多少个三角形？把它们一一写出来；
（2）如果∠1＝∠2，则图中有相似三角形吗？如果有就把它们一一写出来。
13. 如图8，梯形ABCD中，AB∥CD，对角线BD、AC交于点E，问△ADE与△CEB是否相似？

图8
有一位同学这样解答：
因为AB∥CD，
所以∠ABD＝∠EDC，∠BAE＝∠DCE
所以△AEB∽△CED
所以。因为∠AED＝∠BEC
所以△AED∽△CEB
请判断这位同学的解答是否正确？并说明理由。
14. 您知道月球离地球有多远吗？下面提供一种测量方法，在月圆时，把一枚1元的硬币（直径约为2.5cm），放在离眼睛O约为2.72米的AB处，刚好把月亮遮住，已知月球的直径为3500千米，通过计算你能算出月球与地球之间的距离是多少吗？

图9

【试题答案】
一、选择题：
1. D 2. D 3. C 4. C
5. D 6. B 7. B

二、填空题：
8. ∠E＝∠C
9. 10
10. 3米
11. △DBE∽△DCF
△BFA∽△CEA

三、解答题：
12. （1）7个
△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC，△AFG
（2）△ABC∽△AFG
∵∠1＝∠2，∠B＝∠C＝45°
∴△ABD∽△ACE
△ABE∽△ACD
13. 错误：
∵△AEB∽△CED
∴
对应边没找对
其次，若△ADE∽△CEB
则有∠ADB＝∠ACB与已知不符
14. 过O作OF⊥DC于F，交AB于M

由已知：AB＝2.5cm
CD＝3500千米＝350000000cm
OM＝272cm
∵
∴
∴OF＝380800千米