八年级数学相似三角形的定义、识别、性质及性质的应用华东师大版知识精讲.doc

初二数学相似三角形的定义、识别、性质及性质的应用华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容： 相似三角形的定义、识别、性质及性质的应用二. 重点、难点： 教学重点：相似三角形的识别及性质 教学难点：识别及性质的灵活应用知识精讲一、知识梳理： 1. 相似三角形的定义： 对应角相等、对应边成比例的三角形叫相似三角形。用符号“”表示。 注：在书写相似三角形时一定要把对应顶点写在对应位置。 相似三角形对应边的比叫相似比。 ABCABC， 那么ABC与ABC的相似比是 具有传递性，12，23，则13。 2. 相似三角形的识别。 定义法：对应角相等，对应边成比例的两个相似。 用数学语言表示：若AA，BB，CC 且 则ABCABC 预备定理：平行于三角形一边与另两边或（两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 若DEBC 则ADEABC 角的关系： 两角相等的两个三角形相似 若AA，BB，则ABCABC 边的关系： 三边成比例的两个三角形相似 若，则ABCABC 边角关系： 两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似。 若 3. 相似三角形的性质。 若两个三角形相似，则： 对应高等于相似比 对应角平分线等于相似比 对应中线等于相似比 对应周长等于相似比 对应面积等于相似比的平方 4. 相似三角形的应用【典型例题】 例1. 如图1，ABCADE，且ADEB，则下列比例式正确的是（ ）图1 A. B. C. D. 分析：怎样利用相似三角形证线段成比例？抓住对应是关键。在两个相似三角形中，相等的角是对应角，相等角所对的边是对应边。 解：选D。 例2. 如图2，平行四边形ABCD中，G为BC延长线上一点，图中相似三角形共有（ ）图2 A. 3对B. 4对 C. 5对D. 6对 分析：运用相似三角形的基本定理，由ADBG，知ADEGBE，ADFGCF，由ABCD得ABEFDE，ABGFCG，而ADFGCF，由传递性，知ABGFDA，又由平行四边形ABCD知ABDCDB。共6对。 解：选D。 例3. 如图3，在ABC中，D、E是AB边上的点，且ADDEEB，DFEGBC，则ABC被分成的三部分的面积比SADF：S四边形DEGF：S四边形EBCG等于（ ）图3 A. 1：1：1B. 1：2：3 C. 1：4：9D. 1：3：5 分析：因为DFEGBC 所以，ADFAEGABC ADDEEB AD：AE：AB1：2：3 SADF：SAEG：SABC1：4：9 SADF：S四边形DEGF：S四边形EBCG1：3：5 解：选D。 例4. 小华做小孔成像实验，如图4，问蜡烛与成像板间的小孔纸板放在何处时，蜡烛焰AB是像AB的一半长，已知蜡烛与成像板间的距离为l。图4 分析：利用相似三角形的基本定理。 解：如图41，作OEAB于点E，延长EO交AB于点F图41 则EFAB ABAB ABOABO，AEOAFO ， 答：小孔纸板应放在距蜡烛处。 例5. 如图5，点D在ABC的边AB上，满足怎样的条件时，ACD与ABC相似，试分别加以列举。图5 分析：此题属于探索性问题，由相似三角形的识别方法可知，ACD与ABC已有公共角A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的识别方法寻找一条件即可。 解：当满足以下三个条件之一时，ACDABC 1B 2ACB 例6. 已知：ABC中，BAC90，ADBC，ABE和ACF都是等边三角形。 求证：EBDFAD图6 分析：本题用到一个基本图形，直角三角形被斜边高分成的两个三角形相似。 证明：BAC90，ADBC 12 又ADCADB90 ABDCAD ABE和ACF都是等边 ABBE，AFAC， 又3460，3142 即EBDFAD EBDFAD 相似三角形的应用一、求旗杆高度 例1. （2003年 北京市西城区中考题）为了测量学校操场上旗杆的高度，小明请同学帮忙，测量了同一时刻自己的影长和旗杆的影长分别为0.5米和3米，如图1，如果小明身高为1.5米，那么旗杆的高度为_米。图1 分析：本题是一道实际操作题，只要根据相似三角形的性质，运用“旗杆高：人高旗杆影长：人影长”，即可得解。 简解：设旗杆高为x米， 则有， 解得（米） 即旗杆的高度为9米。二、求路灯高度 例2. （2003年 天水市中考模拟题）某同学身高1.60米，由路灯下向前步行了4米，发现自己的射影长有2米，问此路灯多高？ 简解：由于光是沿直线传播的，可以画出图2所示的示意图，AB表示同学的身高，CD表示路灯的高度。图2 由ABCD 得PABPCD 所以， 即， 所以CD4.8（米） 即路灯有4.8米高。三、求镜子长度 例3. （2003年 山东省济南市中考题）检查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5米。现因房间两面墙的距离为3米，因此借助于平面镜来解决房间小的问题。若使墙面镜子能呈现出完整的视力表，由平面镜成像原理，作出了光路图，如图3。其中视力表AB的上下边沿A、B发出的光线经平面镜MM的上下边沿反射后射入人眼C处。如果视力表的全长为0.8米，请计算出镜长至少应有多少米？图3 分析：这是一题数学与物理光学相结合的跨学科考试题，只要运用相似三角形对应高的比等于相似比，即可求解。 简解：如图3，作CDMM，垂足为D，并延长交AB于点E 由ABMMAB 得CEAB，CMMCAB 所以 又CD532，CE5，ABAB0.8 所以，解得MM0.32（米） 所以镜长至少应为0.32米。四、求梯子长度 例4. （2003年 新疆中考题）如图4，AB是斜靠在墙壁上的一个梯子，梯子下端B点距墙脚C点1.4米，梯子上D点距墙壁1.2米，梯子每级之间的距离（如BD）为0.5米，则这个梯子的长度是（ ）图4 A. 3.5米B. 3.85米 C. 4米D. 4.2米 分析：这是一道同学们都比较熟悉的实际生活问题，只要通过RtAEDRtACB，就可以求解。 简解：设ADx米，则由 AEDACB，得 即 所以（米）， 故选A。五、求油面高度 例5. （2003年 铜陵市中考模拟题）如图5，一油桶高1m，桶内有油，一根木棒长1.2m，从桶盖的小口处斜插入桶内，一端插到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上未浸油部分长为0.48m，求桶内油面的高度。图5 分析：这是一道油库工人非常熟悉的工作，对学生来说也并不困难。从所画油桶剖面示意图中，知h1m，AB1.2m，AC0.48m，故应用ACDABE即可求得h。 简解：由ACDABE 得 即 所以 即桶内油面的高度为0.6m。【模拟试题】（答题时间：45分钟）一、选择题 1. 已知ABCABC，且ABC与ABC的相似比为k1，与ABC的相似比为，则的关系是（ ） A. B. C. D. 2. 同一个三角形在比例尺分别为1：100与1：300的甲、乙两张地图中的周长之比为（ ） A. 1：9B. 9：1 C. 3：1D. 1：3 3. 如图1所示，在正方形网格上有两个三角形：ABC与DEF，则DEF与ABC的面积之比等于（ ）图1 A. 3：5B. 1：3 C. 2：5D. 1：4 4. 如图2，ABCDEF，则图中相似三角形的对数是（ ）图2 A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对 5. 如图3，平行四边形ABCD中，E为AB的中点，DE与AC交于点O，则EOA（ ）图3 A. AODB. ADE C. ACDD. DOC 6. 下列条件中，可以判定ABC的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知线段a、b，若想作一线段x，使，正确的作法是（ ）图4二、填空题 8. 如图5，若12，请补充一个条件：_（写一个即可）。使ABCADE。图5 9. 把一个三角形变成一个和它形状相同的三角形，要求使三角形的面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的_倍。 10. 阳光通过窗口照到房间里，在地上留下3.2米宽的亮区，如图6，已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE8米，窗口高AB2米，那么窗口底边离地面的高BC_。图6 11. 锐角三角形ABC的边AB、AC上的高线CE和BF交于点D。请写出两对相似三角形，并用相似符号连接：_。三、解答题： 12. 将两个完全相同的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，若图7中的所有点、线都在同一个平面上，回答下列问题：图7 （1）图形中共有多少个三角形？把它们一一写出来； （2）如果12，则图中有相似三角形吗？如果有就把它们一一写出来。 13. 如图8，梯形ABCD中，ABCD，对角线BD、AC交于点E，问ADE与CEB是否相似？图8 有一位同学这样解答： 因为ABCD， 所以ABDEDC，BAEDCE 所以AEBCED 所以。因为AEDBEC 所以AEDCEB 请判断这位同学的解答是否正确？并说明理由。 14. 您知道月球离地球有多远吗？下面提供一种测量方法，在月圆时，把一枚1元的硬币（直径约为2.5cm），放在离眼睛O约为2.72米的AB处，刚好把月亮遮住，已知月球的直径为3500千米，通过计算你能算出月球与地球之间的距离是多少吗？图9【试题答案】一、选择题： 1. D2. D3. C4. C 5. D6. B7. B二、填空题： 8. EC 9. 10 10. 3米 11. DBEDCF BFACEA三、解答题： 12. （1）7个 ABD，ABE，ABC，ADE，ADC，AEC，AFG （2）ABCAFG 12，BC45 ABDACE ABEACD 13. 错误： AEBCED 对应边没找对 其次，若ADECEB 则有ADBACB与已知不符 14. 过O作OFDC于F，交AB于M 由已知：AB2.5cm CD3500千米350000000cm OM272cm OF380800千米