武汉纺织大学 大学物理 机械振动.doc

第十二章 机械振动
一、选择题
（在下列各题中，均给出了4个~5个答案，其中有的只有1个是正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内）
1. 在关于简谐运动的下列说法中，正确的是：（ ）
A．质点受到回复力（恒指向平衡位置的力）的作用，则该质点一定作简谐运动；
B．一小球在半径很大的光滑凹球面上来回滑动，如果它滑过的弧线相对凹球面的半径很短，则小球作简谐运动；
C．物体在某一位置附近来回往复的运动是简谐运动；
D．若一物理量Q随时间的变化满足微分方程，则此物理量Q作简谐运动（w 是由振动系统本身的性质决定的常量）；
E. 篮球运动员运球过程中，篮球作简谐运动。
解：选（B、D）。 因为一质点作简谐运动必须受到－个恒指向平衡位置，且与位移成正比的弹性力（或准弹性力）的作用。
根据牛顿第二定律，小球在运动时受到回复力的作用，依题意，（式中R为凹球面半径），即回复力为，满足简谐运动动力学判据。
简谐运动不仅是来回往复运动，而且应满足位移随时间是按正弦（或余弦）规律变化的。
简谐运动的运动学特征是，所以，物理量Q的微分方程满足简谐运动运动学判据。
篮球运动员运球过程中，篮球除在拍打和地面反弹有瞬间碰撞力外，只受到始终向下的重力作用，不满足简谐运动动力学判据。

2. 一个沿y轴作简谐运动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其运动方程用余弦函数表示。下面左侧是振子的初始状态，右侧列出了一些初相位值，试用连线的方法确定它们的对应关系：
A．过处向y轴正方向运动 A/. 初相位为
B．过处向y轴正方向运动 B/. 初相位为
C．过平衡位置处向y轴正方向运动 C/. 初相位为
D．过 D/. 初相位为
解：由题意可画出各种条件下的旋转矢量。

图12-2
3. 如图12-2所示的弹簧振子，当振动到最大位移处恰有一质量为m0的烂泥小球从正上方落到质量为m的物块上，并与物块粘在一起运动。则下述结论中正确的是：（ ）
A．振幅变小，周期变小；
B．振幅变小，周期不变；
C．振幅不变，周期变大；
D．振幅不变，周期变小；
解：选（C）。当振子正好在最大位移处时，烂泥小球落在物块上，根据动量守恒定律，在y方向有
所以，小球不会影响振子在y方向上的状态，即不会影响振幅变化，有。
由于周期是由振动系统自身性质所确定的，即
烂泥小球落在物块前后，振子的质量由m变化为（m+ m0），因此相应的周期将发生变化，即
泥球落下前：
泥球落下后：
4.已知弹簧振子的弹性系数为1.3N/cm, 振幅为2.4cm. 这一弹簧振子的机械能为（ ）
A. B.
C. D.
解：选（C）。由机械能守恒定律得

5. 一质点做谐振动，周期为T,它由平衡位置沿x轴负方向运动到离最大负位移1/2处所需要的最短时间为（ ）
A. T/4 B.T/12 C. T/6 D.T/8
解：选 (B)。找旋转矢量转过的最小角度！
6. 一质点作简谐运动，其振动方程为，则该物体在时刻与（T为振动周期）时刻的动能之比为：（ ）
A．1:4； B．1:2； C．1:1； D．2:1。
解：选（D）。 已知振动方程为，则振动速度方程为

时，，
时，，
则动能之比为

图12-3
7. 一振动系统的振动曲线如图12-3所示，则其振动方程为：（ ）
A．；
B．；
C．；
D．。

解：选（A）。 从图12-3所示曲线得，，
还可知，当t = 0时，，，则由
和
得初相位为
则振动方程为

8. 一质点同时参与了两个方向同频率的简谐运动，其振动方程分别为：
（SI）
（SI）
则其合振动方程为：（ ）
A． （SI）
B． （SI）
C． （SI）
D． （SI）
解：选（C）。 质点的同方向同频率的两个简谐运动方程分别为

图12-8(c)
合振动仍为简谐振动，其频率仍为分振动的频率。
两个简谐振动的相位差为

满足相干减弱条件，则合振幅为

可由图12-8(c)的旋转矢量得合振动的初相位为

则合振动方程为 （SI）
9.一单摆的周期恰好为1s,它的摆长为（ ）
A. 0.99m B. 0.25m C. 0.78m D. 0.5m
解：选（B）。 直接带公式。
10. 一质点作简谐振动，频率为, 则其振动动能的变化频率为 （ ）
A. B. C. D. 2
解：选(D)。把上式写成余弦函数，频率变成原来的2倍。
二、填空
1.设质点沿x轴作简谐振动，位移为x1、x2时的速率分别为v1、v2，此质点振动的周期为 2π 。
解：由得，所以有下式成立：

从而：
2. 如图12-4所示，垂直悬挂的弹簧振子由两根轻弹簧串接，则系统的振动周期T = ；若物体m由平衡位置向下位移y，则系统势能增量为 。
图12-4
解：两根轻弹簧串接的系统可用一个等效弹簧振子来描述。设该等效弹簧振子伸长，由于受力相同，而k1、k2不同，则两弹簧的伸长量和就不相同，且
(1)
设两弹簧受力为F，则
， ， (2)
将式(2)代入式(1)，得
则等效弹簧振子的劲度系数k应为
所以，等效弹簧振子的振动周期为
3. 当谐振子的振幅增大2倍时，它的周期不变，弹性系数不变，机械能增大4倍，速度最大值增大2倍，加速度最大值增大2倍。
4. 一简谐运动的振动方程用余弦函数表示，其y—t曲线如图12-5(a)所示，则此简谐振动的三个特征量为：

图12-5(a)

图12-5(b)
A = 10 cm； w = rad/s； j = rad。

解： 由图12-5可知，
当时，，，可由如图12-5(b)所示旋转矢量图得
当时，，，可由如图12-5(b)所示旋转矢量图得
而
则
5. 一质点作简谐运动，角频率为w ，振幅为A。当t = 0 时，质点位于处，且向y正方向运动，则其运动方程为：
y = ；
质点的速度v也作同频率的简谐运动，若仍以余弦函数表示，则速度v的初相位为 ，速度的最大值为 wA 。
解： 由题意知，当t = 0 时，，且，则有
得
又由 ，知
则得
则运动方程为
又由于速度的初相位比位移初相位超前，即有
速度的初相位为
速度的最大值为
6. 一弹簧振子振动频率为，若将弹簧剪去一半，则此弹簧振子振动频率和原有频率的关系 。
解：弹簧截去一半后剩余部分的劲度系数变为原来的2倍。弹簧振子的角频率公式：，所以在振子质量不变的条件下，弹簧的劲度系数变为原来的2倍后，振子的固有频率变为原来的倍。
7. . 如图12-6所示，一弹簧振子置于光滑水平面上，静止于弹簧原处，振子质量为m。现有一质量为m0的子弹以速度v0射入其中，并一起作简谐运动。如以此时刻作为计时起点，则初相位j = ；振幅 A = 。
解： 由于子弹与振子的碰撞满足动量守恒定律，则有
图12-6
，即
式中为系统作简谐运动在t = 0时的初速度，也是系统速度最大值的负值，即。
设速度方程为，则有
得
则位移的初相位为
由于系统作简谐运动时满足机械能守恒定律，则有

系统的振幅
8. 作简谐运动的质点，t时刻的相位分别为（a）；（b）； （c）；（d）。试在图12-7中画出对应的旋转矢量图。
[分析与解题]各条件下的旋转矢量图如图12-7所示。图12-7

9. 两个质点平行于同一直线并排作同频率、同振幅的简谐运动。在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反。则它们的相位差为 ；若将这两个分振动合成，则合振幅为 ；并在图12-8上用旋转矢量表示此相位差和合振幅。
解：设这两个简谐运动方程分别为
，
图12-8
由题意知，当时，也有，但运动方向相反。 即 时，应有
则相位差为
图12-8 (b)
合振幅为
用旋转矢量表示的相位差和合振幅如图12-8(b)所示。
10. 一谐振子的质量为,周期T=0.6s,振子经平衡位置的速度为12cm/s,则再经0.2s后振子的动能为3.6×10-5J
解：振子由平衡位置开始计时，位移图像按正弦规律变化,速度按余弦规律变化
，则再经0.2s后，即T/3,由速度表达式知=6,所以动能