随机条件下一类一般时间终端的一维BSDE解的一个比较定理.pdf

引言序可测的随机函数三元组（,T,g）称为BSDE(1)本文考虑下面形式的一维倒向随机微分方程的参数.BSDE(1）也可简记为BSDE（s,T,g).(以下简称BSDE)：首先介绍本文有关BSDE（1）生成元g的假设，这里依然假定T+80：y,=+/g(s,y,z)ds-z.dB.,(H1）存在（F,)-循序可测的随机过程u(,t)：tEo,T,(1)其中T0可以为有限或者无限，终端变量取实值，生成元g定义如下：g(w,t,y,z):QX O,TXRXRd-R,收稿日期：2 0 2 1-10-11修改日期：2 0 2 2-10-2 8基金项目：国家自然科学基金项目（412 7 2 0 42）；江苏城乡建设职业学院教改课题（XJJG18009）.作者简介：侯杰（198 8 一），男，江苏淮安，硕士研究生，讲师，从事倒向随机微分方程研究Email：j s c j _h o u j i e 16 3.c o m.Tu(w,t)dt0使得dPXdt-a.e.,Vy1,y2,2,Sgn(yi 一y2)(g(w,t,yi,z)-g(w,t,y2,z)u(w,t)/yi-y2l.(H2）生成元g关于满足对（,t)不一致的一致连续条件，即存在（F，）循序可测的随机过程+892v(w,t):XO,THR+满足u(w,t)dt及线性增长函数（)ES,使得 dPdt-a.e.，Vy,2i,22,lg(w,t,y,zi)-g(w,t,y,z2)l(w,t)g(/zi-&21).这里及本文以后总假定：对每个ER+，有0g()ac+b.进一步地，如果b0，也假定Tu(w,t)dt注1由Holder不等式可知：若T0),那么对每个n1和ER+，恒有2K4()(n+2K)+(n+2K受Fan-Jiang-Tian(2011）中的引理5的启发，可以证明下面的引理2.它在本章主要结果的证明中发挥着十分重要的作用.引理2 设0,且随机过程高等数学研究满足+8让随机过程u(w,t):O,T R+满足Esup_u(w,t)+tECo,T且u(w,t)a+E+80.则u(w,t)aEe进一步地,若=0,则+8u(w,t)=O,tE o,T,dP-a.s.证为了叙述方便，在下面的证明过程中省略随机变量和随机过程中所用到的参数w令Tg(s)ds(t)=aEeIF,t E O,T.则(t)满足方程(t)=a+E(s)(s)ds|F,t E 0,T.(3)事实上，将（2）式带人（3）式右端得Ta+E(s)u(s)ds/F,a+E(s)aEe=a+aE(s)eT,p(r)drds1F.=aEe于是，令则g(t)=u(t)-u(t)a+E(s)u(s)ds/F,(s)(s)ds|F(s)p(s)ds/F,将（5）式带入（5）式右端得Tp(t)E,(s)EJp(r)g(r)drlF.ds/F.E(s)(J.B(r)g(r)dr)dslF2023年5月(w,t):2 X o,THR+(a,s)ds+8(w,s)u(w,s)ds/F,t E O,T.p(,s)dsIF,t E O,T.Tp(n)drF,JdsIF,p(t)=u(t)-o(t),(2)(4)(5)第2 6 卷第3期E(Jip(s)ds)p(r)g(r)dr|F,(p(u)du)p(r)p(s)ds/F,再将（5）式带人（6）式得9(t)ES(,e(u)da)(s)EE(Jg(u)du)g(s)g(s)dslF.重复上面的步骤n次后得p(t)E(u)du)(s)p(s)dsF,n！使用 Lebesgue 控制收敛定理4 可知，当 noo 时,右端趋于零.故即u(t)aEe现在，可以叙述并证明本文的主要结果定理1.2主要结果及证明下面的定理1在假设（H1）和（H2）下建立了BSDE的一个解的比较定理，这一结果部分推广了Fan-Jiang-Tian(2011）中定理2（见注2).定理1设=EL(,F,P;R),g和g为BSDE的两个生成元，设（y，z）)e Co.T 和(y,2,)/eCo.T分别为BSDE(,T,g)和BSDE(=,T,g)的一个解。若dP-a.s.，生成元g满足假设（H1）和（H2）且dP X dt-a.e.,g(t,y,zt)g(t,y,zt)或者g满足假设(H1）和(H2）并且dPdt-.e.，g(t,yr,z.)g(t,ye,z),那么,对每个tE0,T,有dP-a.s.,yi0g(s,ys,z.)-g(s,ys,2)ds1g,.02,dB.(7)首先,因为g(s,，）一g（s,，）非正,我们有g(s,y,z,)-g(s,ys,z,)=g(s,ys,z.)-g(s,y,z)+g(s,y,z)-g(s,ys,z.)g(s,ys,z,)-g(s,y,z,)+g(s,y,z,)-g(s,ys,z.)p(t)0,进一步地，由（H1）和(H2）可得1g,g(s,y,z.)-g(s,ys,z.)T,8(s)dsIF.93是Fan-Jiang-Tian(2011)中定理2 的一个推广.证首先假定(6)dP-a.s.,ss,生成元g满足假设（H1）和（H2）并且dP X dt-a.e.,g(t,ys,z,)00(s)g(/2./).接下来,在引理1中令()=g()且K=C:=十b得Vnl,VER+,g()(n+2c)+l+09(这样，考虑到，从（8）-（9）式可得：对任意的n1和每个tE0,T,有an+u(s)+1 0(n+2 c)(s)|2 1Jd sT,1g,02,dB.anu(s)y(n+20(s)1 14 1 ods+dB.其中an:=1b+09n8.令P，为可测空间（Q,F）上等价于概率P的概率测度，它关于P的R-N导数为：(8)(9)2c(10)n+2c(11)2c(s)ds l0,n+2c94dP,=exp(n+2c)dP：1(n+2c)J.11e,1 o0(s)ds2需要注意的是，因为(s)ds l0 2,.d B,(s)70为一个（F,P）鞅7。事实上，用E,X|F,表示测度P，下变量X关于F，的条件期望，并记E,X=E,X|F。,那么，根据BDG不等式和Holder不等式可得,1g,02,.dB,(s)EsupCE其中C为常数，这样，对（10）式两边在测度P，下取关于F，的条件期望，对任意的n1和每个tE0,T,有tan+Eu(s).ds1F.在引理 2 中取u(t)=t;(w,t)=u(w,t)得当n时，笠趋于零.这也就是说，对每个tE0,T,有dP-a.s.,yiy.现在，假定dP-a.s.,ss,生成元g满足假设（H1）和（H2）并且dPXdt-a.e.g(t,yr,z,)g(t,yr,z).因为g（t,y，z）一g（t,y，z,）非正，我们有g(s,y.,z.)-g(s,y,z)=g(s,ys,z,)-g(s,ys,z,)+g(s,y,z.)-g(s,y*,z,)g(s,y,z,)-g(s,ys,z.)+g(s,ys,z,)-g(s,ys,z,).高等数学研究进一步地，根据（H1）和关于的一致连续条件1 1含,I*0 dB,可知（9）式仍然成立.因此，如上同样的证明将得到对每个tE 0,T,有dP-a.s.,y,y.注3定理1表明生成元满足假设（H1）和（H 2）的BSDE解的比较定理是成立的.然而，其严格比较定理却一般不成立，导致其不成立的原因是g关于的一致连续性假设(H2).从定理1，下面的两个推论立得.推论1设T十，设g或g满足假设(H1)和(H2).且S,E L(Q,FT,P;R)让(,z,)eLo.T)/OT和(yi,z)re Eo.T分别为(s,T,g)和 BSDE(,T,g)的一个解8.如果dP-a.s.,s且dPX dt-a.e.,Vy,zg(t,y,z)g(t,y,z),那么,对每个tEO,T,有12,12dsdP-a.s.,y,y.推论2假定T+80,g满足（H1）和(H2).并且E L(,FT,P;R).则 BSDE(,T,g)至多存在一个解.致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家和编辑老师提出的宝贵意见.参考文献1范胜君，张建军。倒向随机微分方程的一个一般的反比较定理（英文）J.大学数学，2 0 0 6，2 2（2）：2 9-35.2Fan S,Jiang L,Tian D.One-dimensional BSDEs with fi-nite and infinite time horizonJ.Stochastic Processes andTheirApplications,2011,121(3):427-440.3侯杰.随机Lipschitz条件下一般时间终端的多维BSDE解的存在唯一性J.大学数学，2 0 2 0,36（4)：16.汪嘉冈.现代概率论基础MI.2版.上海：复旦大学出版社，2 0 0 5.5匡继昌常用不等式M.济南：山东科学技术出版社，2 0 0 4.6 黄志远随机分析学基础MI.北京：科学出版社，2 0 0 1.7鞅与随机积分引论M.上海：上海科学技术出版社，1981.8侯杰.终端时间可为无限的BSDE解的递归迭代序列的收敛性及解的存在唯一性J云南大学学报（自然科学版）,2 0 12,34（4)：38 0-38 4.2023年5月口