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观摩鸽巢原理教学后的思考
城关一小 高红霞
“鸽巢原理”是人教版六年级下册的内容。本单元内容通过几个直观的例子，借助实际操作，向学生介绍“鸽巢原理”。使学生在理解“抽屉原理”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用抽屉原理加以解决。在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，如任意367名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日。在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明通过什么方式把这个存在的物体（或人）找出来。这类问题的依据我们称为“鸽巢原理”。“鸽巢原理”的理论本身并不复杂，甚至可以说是显而易见的。但“鸽巢原理”的应用却是千变万化的，它可以解决许多有趣的问题，并能常常得到一些令人惊异的结果。本单元用直观的方法，介绍了“鸽巢原理”的两种形式，并安排了很多具体问题和变式，帮助学生加深理解，学会利用“鸽巢问题”解决简单的实际问题。在此过程中，让学生初步经历“数学证明”的过程。实际上，通过“说理”的方式来理解“鸽巢原理”的过程就是一种数学证明的雏形，有助于提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较严密的数学证明做准备。还要注意培养学生的“模型”思想，这个过程是将具体问题“数学化”的过程，能从纷繁的现实素材中找出最本质的数学模型，是体现学生数学思维和能力的重要方面。
鸽巢原理又称抽屉原理,它是组合数学的一个基本原理,最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的,因此,也称为狭利克雷原理把3个苹果。放进2个抽屉里,一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。这个人所皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现。用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题.抽屉原理主要包含以下：
抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：
①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有：
①k=[n/m]+1个物体：当n不能被m整除时。
②k=n/m个物体：当n能被m整除时。
教学片断一：创设探究的问题情境 ，激发好奇心、求知欲
猜花色游戏）
  师：老师手中有一副扑克牌，去掉两张王，请5位同学上来，每人任意抽出1张。老师总能猜对这5张牌的花色。
第一轮游戏：老师猜：“至少有2张牌的花色是相同的”（课件出示）。
生：碰巧的吧？
第二轮游戏：老师猜：“至少有2张牌的花色是相同的”（课件将字变颜色）。
生：惊讶、不相信。 
第三轮游戏：老师猜：“至少有2张牌的花色是相同的”（课件将字体放大）。
生：开始窃窃私语、好奇、质疑
师：为什么我总能猜对?其中的奥秘是什么?你想知道吗？让我们开始今天的探究之旅。
[反思]
苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处，总有一种把自己看作发现者、研究者和探索者的固有需要，这种需要在儿童的精神世界中尤其强烈。”在课的开始营造一个探究的问题情境：“猜花色”，游戏进行三遍，老师总用同一句话猜中。这让学生在思想上产生学习新知识的愿望，充分激发学生的好奇心和求知欲，给学生造成了“疑而不解又欲解之”的强烈欲望，较之以前的“抢凳子游戏”（学生往往更多关注谁赢了，较少关注输赢背后的数学问题）少了些热闹，多了分理性的思考，能使学生快速进入学习情境。
教学片断二：让操作活动经验在“经历”中形成
　出示例题:把4枝笔,放进3个笔盒里可以怎么放?
（1）、小组合作：你有几种不同的放法？试摆一摆并简要记录摆放情况。
展示学生不同方法，并请学生说说思路。（学生运用了画图法、数的分解法、文字叙述等方法）老师板书如下：
 　　 (4,0,0) 
　  　　　(3,1,0) 
　 　　　　(2,2,0) 
　 　  　(2,1,1), 
　（2） 、引导观察:你能发现什么?
生1：最多的一个装了4枝，最少的0枝。
生2：每个笔盒都要装的话，有一个笔盒会多装一枝。
老师引导学生发现：不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
师：你怎样理解“总有”、 “至少”的意思? 
　 引导：能不能找到一种更为直接的方法,证明这个结论呢? 
　 学生思考——组内交流——汇报 
　 结合课件理解：假设每个盒子里先放1枝铅笔,最多放3枝,
剩下的1枝不管放进哪一个盒子里,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。 
　 引导发现：这种分法,实际就是尽量先把笔平均分。　　
[反思]
数学基本活动经验具有明显的实践性特征，只有亲身经历了、体验了、实践了才能形成数学活动经验。在本节课中，教师安排两个操作环节，环节一是让学生把4枝笔放入3个笔盒中，环节二是把5本书放进2个抽屉里。学生动手摆放并简要记录各种摆放情况。学生在操作合作中选用了画图、列表、数的组成等多种方式记录，发现并描述、理解最简单的“抽屉原理”现象：把4枝笔放入3个笔盒中，总有一个笔盒里至少有2枝铅笔；把5本书放进2个抽屉里总有一个抽屉里的至少会放进 3本书。学生在摆放、记录的过程中较直观的理解了什么是“抽屉”，什么是“待分的物体”，为寻找“抽屉原理”的一般模型奠定基础。
教学片断三：让思维活动经验在探究中提升
师：刚才我们发现，把4枝笔放进3个笔盒中，不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔，那：把 6枝铅笔放在5个盒子里呢？ 
　 　   把7枝笔放进6个盒子里呢? 
　  　　 把8枝笔放进7个盒子里呢? 
　  　  把9枝笔放进8个盒子里呢?
…… 
　 你发现什么?　（笔的枝数比盒子数多1,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。）
追问：如果笔比笔盒多2、多3、或多4呢？
生1：有一个会放进更多
生2：不会
学生讨论发现：只要笔的数量不超过2倍，结果都一样。
师：（追问）如果超过2倍呢？
出示例2 ： 把5本书放进2个抽屉里。
同桌操作，得出结论。
思考： 把7本书放进2个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书? 
　  　　　 把11本书放进3个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书? 
(留给学生思考的空间,师巡视了解各种情况) 
  追问：不用操作，你能用数学的方法，比较简单的形式证明这个结论吗？　
 引导学生列式：　 5÷2=2本……1本　　  2+1=3本
　 　　　　　　　　   7÷2=3本……1本　　  3+1=4本
　  　　　　　　　11÷3=3本……2本　   3+1=4本
　 观察以上列式你能发现什么?　
生1：用商+余数
生2：不对，应该是商+1
学生讨论：“商+余数”还是“商+1”？
引导学生小结：“总有一个抽屉里的至少有 　 本”只要用 “商+ 1”就可以得到。
练习：（略）
现在你知道刚才猜花色游戏中的奥秘吗？
生：5张牌相当于5个物体，4中花色相当于4个抽屉……
[反思]
思维活动经验是所有活动经验中最为上层的。在教学中有意识地关注知识形成过程以及数学思想方法的渗透，让学生经历思考的过程，积累相应的思维活动经验，能大大的提高学生的数学素养。在学生经过操作得出结论“把4枝笔放入3个笔盒中，总有一个笔盒里至少有2枝铅笔”后，追问：把5枝笔放入4个笔盒中、6枝笔放入5个笔盒中……100枝笔放入99个笔盒中个笔盒中，会怎样？让学生的思维产生碰撞，理解：只要笔的数量比笔盒多1，这个结论都成立；随之引导学生思考问题：若是多2、多3或多4呢；在例2的操作完成之后，继续追问：不用操作，你能用数学的方式来解释类似的问题吗？让学生在合作探究之后得出：可以用有余数的除法表示这一数学规律；在练习环节之后，让学生思考猜花色游戏中的奥秘，在“解惑”的同时使学生初步建立“抽屉原理”问题的一般模型。一系列的追问引发学生的思维步步深入，并通过讨论和说理活动，培养了学生的推理能力和初步的逻辑能力，帮助学生积累数学思维活动经验。
不同的学生有不同的思维方式和发展潜能。教学中关注学生的这些个性差异，应该允许学生存在思维方式的多样化和思维水平的不同层次。课堂上我也给学生足够的时间和空间，鼓励学生大胆发表自己的观点和想法，进而拓宽学生的思维。由易到难进行设计形式多样化的练习。学生的智力活动与他对周围事物的作用紧密联系，即学生的理解来自他们作用于物体的活动。“抽屉问题”具有一定的思维性和抽象性，学生往往缺乏感性经验，只有通过实际操作获得直接经验，才便于理解其方法，从而发现其规律。教师不是学生学习的指挥者，而是学生学习活动的伙伴。教学中学生是学习的主体，教师只是与学生共同探索、共同研究，与学生一起解决问题、构建模型，让学生在问题中“学”和“悟”。
本节内容“抽屉原理”是在观察、操作、思考与推理的基础上理解和发现的，但当学生面对生活中的具体问题时，能否将这个具体问题和“抽屉问题”联系起来，能否找到该问题中的具体情境和“抽屉原理”的“一般化模型”之间的内在关系，是解题的关键。
总之，通过观摩“抽屉原理”的教学，使我认识到：“抽屉原理”本身或许并不复杂，但它的应用广泛且灵活多变，只要放手让学生自主思考，先采用自己的方法进行“证明”，然后再进行交流，才能促进学生逻辑推理能力的发展，培养学生分析、推理、解决问题的能力以及探索数学问题的兴趣。