中国科技大学电磁学教案6.pdf

B.J.YeB.J.Ye1-6 环路定理一、水流速度场的环量设水中某处有旋设水中某处有旋设水中某处有旋设水中某处有旋涡涡涡涡，对任一闭合曲线对任一闭合曲线对任一闭合曲线对任一闭合曲线L，速度沿该闭合曲速度沿该闭合曲速度沿该闭合曲速度沿该闭合曲线一周的积分称速度线一周的积分称速度线一周的积分称速度线一周的积分称速度的环量的环量的环量的环量，即即即即：在此处用流线表示如图中的圆闭合曲在此处用流线表示如图中的圆闭合曲在此处用流线表示如图中的圆闭合曲在此处用流线表示如图中的圆闭合曲线线线线（这只是一种近似这只是一种近似这只是一种近似这只是一种近似，严格讲是螺旋严格讲是螺旋严格讲是螺旋严格讲是螺旋线线线线）。）。）。）。又设又设又设又设v在线上任一点的大小一样在线上任一点的大小一样在线上任一点的大小一样在线上任一点的大小一样，则则则则且速度越大且速度越大且速度越大且速度越大，速度的环量越速度的环量越速度的环量越速度的环量越大大大大，环量精确地描述了环量精确地描述了环量精确地描述了环量精确地描述了v的旋的旋的旋的旋转程度转程度转程度转程度。二、静电场的环量1静电场中的功静电场中的功静电场中的功静电场中的功静电场静电场静电场静电场E的环量应为的环量应为的环量应为的环量应为：式中式中式中式中L为一闭合曲线为一闭合曲线为一闭合曲线为一闭合曲线。对一般矢量场对一般矢量场对一般矢量场对一般矢量场，环量反环量反环量反环量反映了它的映了它的映了它的映了它的“旋转旋转旋转旋转程度程度程度程度，然而对静电场而言然而对静电场而言然而对静电场而言然而对静电场而言，它它它它还具有特定的物理内容还具有特定的物理内容还具有特定的物理内容还具有特定的物理内容。试探电荷试探电荷试探电荷试探电荷q0在静电场在静电场在静电场在静电场E中沿闭合路径中沿闭合路径中沿闭合路径中沿闭合路径L缓慢移动缓慢移动缓慢移动缓慢移动，则电场所作的功为则电场所作的功为则电场所作的功为则电场所作的功为：它说明静电场的环量表示静电场对沿该闭它说明静电场的环量表示静电场对沿该闭它说明静电场的环量表示静电场对沿该闭它说明静电场的环量表示静电场对沿该闭合路径移动的单位正电荷所作的功合路径移动的单位正电荷所作的功合路径移动的单位正电荷所作的功合路径移动的单位正电荷所作的功。设设设设E是由点电荷是由点电荷是由点电荷是由点电荷 q所产生的静电场所产生的静电场所产生的静电场所产生的静电场，则有则有则有则有：考虑闭合曲线考虑闭合曲线考虑闭合曲线考虑闭合曲线L的的的的PQ段段段段，将将将将q0沿沿沿沿L从点从点从点从点P移移移移到点到点到点到点Q，电场电场电场电场E作的功为作的功为作的功为作的功为说明单个点电荷产生的静电场对试探点电荷说明单个点电荷产生的静电场对试探点电荷说明单个点电荷产生的静电场对试探点电荷说明单个点电荷产生的静电场对试探点电荷所作的功所作的功所作的功所作的功，只与试探电荷的起点和终点的位置有只与试探电荷的起点和终点的位置有只与试探电荷的起点和终点的位置有只与试探电荷的起点和终点的位置有关关关关，而与路径而与路径而与路径而与路径L无关无关无关无关。OPQrPrQB.J.Ye2静电场的环路定理对闭合环路对闭合环路对闭合环路对闭合环路L,则有则有则有则有:如果静电场不是由单个点电荷产生的如果静电场不是由单个点电荷产生的如果静电场不是由单个点电荷产生的如果静电场不是由单个点电荷产生的，而是由某而是由某而是由某而是由某种确定的电荷分布种确定的电荷分布种确定的电荷分布种确定的电荷分布，例如静止的点电荷系或带电例如静止的点电荷系或带电例如静止的点电荷系或带电例如静止的点电荷系或带电体所产生的体所产生的体所产生的体所产生的，由叠加原理可知整个带电系统产生由叠加原理可知整个带电系统产生由叠加原理可知整个带电系统产生由叠加原理可知整个带电系统产生的静电场的环量为零亦为零的静电场的环量为零亦为零的静电场的环量为零亦为零的静电场的环量为零亦为零:它表明任何静电场的环流都为零它表明任何静电场的环流都为零它表明任何静电场的环流都为零它表明任何静电场的环流都为零。这就是这就是这就是这就是静电场的环路定理静电场的环路定理静电场的环路定理静电场的环路定理。它表明它表明它表明它表明，静电场是无静电场是无静电场是无静电场是无旋场旋场旋场旋场。静电场作功与路径无关静电场作功与路径无关静电场作功与路径无关静电场作功与路径无关，只与起点只与起点只与起点只与起点与终点的位置有关与终点的位置有关与终点的位置有关与终点的位置有关；或静电场沿任何闭或静电场沿任何闭或静电场沿任何闭或静电场沿任何闭合环路作功为零合环路作功为零合环路作功为零合环路作功为零。3讨 论环路定理的微分形式电场的这个性质来源于库仑力的有心力特性；而不是平方反比律由数学的斯托克斯公式由数学的斯托克斯公式由数学的斯托克斯公式由数学的斯托克斯公式：0LSE dlE dS=?()()()0 xyzxyzyxxxzzxyxeeeExyzEEEEEEEEEeeexzzxxy=+=?xzxzyxEExzEEzxEExy=反证法反证法反证法反证法，若电力线是闭合曲线若电力线是闭合曲线若电力线是闭合曲线若电力线是闭合曲线，沿电力线沿电力线沿电力线沿电力线一周一周一周一周，则则则则:故电力线不可能是闭合曲线故电力线不可能是闭合曲线故电力线不可能是闭合曲线故电力线不可能是闭合曲线。环路定理可以证明静电场的电力线不可能是闭合曲线B.J.Ye1-7 电势一、电势差与电势1.1.1.1.静电场是保守力场静电场是保守力场静电场是保守力场静电场是保守力场由静电场的环路定理由静电场的环路定理由静电场的环路定理由静电场的环路定理，即电场力作功与路即电场力作功与路即电场力作功与路即电场力作功与路径无关的性质径无关的性质径无关的性质径无关的性质，可知静电场是保守力场可知静电场是保守力场可知静电场是保守力场可知静电场是保守力场。试探点电荷试探点电荷试探点电荷试探点电荷q0沿一周作的功为零沿一周作的功为零沿一周作的功为零沿一周作的功为零，即即即即:由此可得由此可得由此可得由此可得：即沿闭合环路的积分为零即沿闭合环路的积分为零即沿闭合环路的积分为零即沿闭合环路的积分为零，与积分与路径无与积分与路径无与积分与路径无与积分与路径无关等价关等价关等价关等价。2静电场是有势场静电场是有势场静电场是有势场静电场是有势场保守力场必是有势场保守力场必是有势场保守力场必是有势场保守力场必是有势场。我们可以引我们可以引我们可以引我们可以引进电势差和电势的概念进电势差和电势的概念进电势差和电势的概念进电势差和电势的概念。电势能静电场可以与引力场类比静电场可以与引力场类比静电场可以与引力场类比静电场可以与引力场类比，两者都是做功与两者都是做功与两者都是做功与两者都是做功与路径无关的矢量场路径无关的矢量场路径无关的矢量场路径无关的矢量场，即保守力场即保守力场即保守力场即保守力场，都可以引进势都可以引进势都可以引进势都可以引进势能的概念能的概念能的概念能的概念。在引力场中在引力场中在引力场中在引力场中，将质点从场中的点将质点从场中的点将质点从场中的点将质点从场中的点P移移移移到点到点到点到点Q时时时时，引力做功等于由引力做功等于由引力做功等于由引力做功等于由P到到到到Q点势能的减少点势能的减少点势能的减少点势能的减少。B.J.Ye电场力作功电场力作功电场力作功电场力作功，电势能减少电势能减少电势能减少电势能减少水流倾泻而下水流倾泻而下水流倾泻而下水流倾泻而下，水的势能也减少水的势能也减少水的势能也减少水的势能也减少类似地类似地类似地类似地，在静电场中在静电场中在静电场中在静电场中，当把试探电荷当把试探电荷当把试探电荷当把试探电荷P移到点移到点移到点移到点Q时时时时，电场力作的功应当等于由电场力作的功应当等于由电场力作的功应当等于由电场力作的功应当等于由P到到到到Q试探电荷电势试探电荷电势试探电荷电势试探电荷电势能的减少能的减少能的减少能的减少：或或或或WP称电势能称电势能称电势能称电势能P点的电势能点的电势能点的电势能点的电势能，对于分布于有限空对于分布于有限空对于分布于有限空对于分布于有限空间范围内电荷产生的电场来说间范围内电荷产生的电场来说间范围内电荷产生的电场来说间范围内电荷产生的电场来说，可把无限远处可把无限远处可把无限远处可把无限远处的电势能作为零点的电势能作为零点的电势能作为零点的电势能作为零点，即即即即：电势与电势差试探电荷试探电荷试探电荷试探电荷q0要克服电场力做功要克服电场力做功要克服电场力做功要克服电场力做功。但但但但WPQ/q0与试与试与试与试探电荷无关探电荷无关探电荷无关探电荷无关，只与静电场的性质有关只与静电场的性质有关只与静电场的性质有关只与静电场的性质有关。称为电势差称为电势差称为电势差称为电势差，通常对分布在有限空间的电荷通常对分布在有限空间的电荷通常对分布在有限空间的电荷通常对分布在有限空间的电荷,取无穷远点电势为零取无穷远点电势为零取无穷远点电势为零取无穷远点电势为零，则可认为则可认为则可认为则可认为q0在在在在P的电势为的电势为的电势为的电势为那么那么那么那么，PQ两点间的电势差为两点间的电势差为两点间的电势差为两点间的电势差为：或或或或即与参考电势无关即与参考电势无关即与参考电势无关即与参考电势无关。以上把电势能的零点选在无穷远处以上把电势能的零点选在无穷远处以上把电势能的零点选在无穷远处以上把电势能的零点选在无穷远处，相应电势相应电势相应电势相应电势的零点也选在无穷远处的零点也选在无穷远处的零点也选在无穷远处的零点也选在无穷远处。在实际问题中在实际问题中在实际问题中在实际问题中，常以大常以大常以大常以大地或电器外壳的电势为零地或电器外壳的电势为零地或电器外壳的电势为零地或电器外壳的电势为零。改变零点的位置改变零点的位置改变零点的位置改变零点的位置，各各各各点的电势能和电势的数值将随着变化点的电势能和电势的数值将随着变化点的电势能和电势的数值将随着变化点的电势能和电势的数值将随着变化，但都改变但都改变但都改变但都改变一个相同量一个相同量一个相同量一个相同量，以至不会影响两点间的电势能差以以至不会影响两点间的电势能差以以至不会影响两点间的电势能差以以至不会影响两点间的电势能差以及两点间的电势差及两点间的电势差及两点间的电势差及两点间的电势差。电势的单位?电势能的单位与能量的单位相同电势能的单位与能量的单位相同电势能的单位与能量的单位相同电势能的单位与能量的单位相同，用焦耳用焦耳用焦耳用焦耳（J）。）。）。）。而电势的单位与电势能完全不同而电势的单位与电势能完全不同而电势的单位与电势能完全不同而电势的单位与电势能完全不同，电势是纯粹描述电场性质的物理量电势是纯粹描述电场性质的物理量电势是纯粹描述电场性质的物理量电势是纯粹描述电场性质的物理量，与电场与电场与电场与电场中有没有电荷无关中有没有电荷无关中有没有电荷无关中有没有电荷无关。?电势差和电势的单位均为焦耳电势差和电势的单位均为焦耳电势差和电势的单位均为焦耳电势差和电势的单位均为焦耳库仑库仑库仑库仑，在在在在SI中称为伏特中称为伏特中称为伏特中称为伏特，用英文用英文用英文用英文V上式可写成如下关量上式可写成如下关量上式可写成如下关量上式可写成如下关量形式形式形式形式：11J1,1V11C=焦耳伏特或库仑B.J.Ye二、电势的一般表达式1点电荷的电势点电荷的电场强度为点电荷的电场强度为点电荷的电场强度为点电荷的电场强度为由电势的定义可得由电势的定义可得由电势的定义可得由电势的定义可得：2电势叠加原理对点电荷系对点电荷系对点电荷系对点电荷系，有电场的叠加原理有电场的叠加原理有电场的叠加原理有电场的叠加原理，有有有有：此式表明此式表明此式表明此式表明，点电荷组的电势等各个电荷单独点电荷组的电势等各个电荷单独点电荷组的电势等各个电荷单独点电荷组的电势等各个电荷单独存在时电势的存在时电势的存在时电势的存在时电势的代数和代数和代数和代数和。3点电荷组的电势N个点电荷组成的体系个点电荷组成的体系个点电荷组成的体系个点电荷组成的体系，q1,q2,q3,qN,分别位于分别位于分别位于分别位于r1,r2,r3,rN处处处处，位于位于位于位于ri处处处处qi单独在单独在单独在单独在r处产生的电势为处产生的电势为处产生的电势为处产生的电势为:由叠加原理由叠加原理由叠加原理由叠加原理，N个电荷在个电荷在个电荷在个电荷在r处产生的总电势为处产生的总电势为处产生的总电势为处产生的总电势为：4带电体的电势对连续分布的带对连续分布的带对连续分布的带对连续分布的带电体产生的电势时电体产生的电势时电体产生的电势时电体产生的电势时，先把带电体分割成许先把带电体分割成许先把带电体分割成许先把带电体分割成许许多多的点电荷许多多的点电荷许多多的点电荷许多多的点电荷，由由由由电势的叠加原理电势的叠加原理电势的叠加原理电势的叠加原理，连连连连续带电体在续带电体在续带电体在续带电体在r处产生的处产生的处产生的处产生的总电势为总电势为总电势为总电势为：对体带电体对体带电体对体带电体对体带电体、面带电体和线带电体面带电体和线带电体面带电体和线带电体面带电体和线带电体，若其电荷若其电荷若其电荷若其电荷密度分别为密度分别为密度分别为密度分别为 （r），），），），（r）和和和和 （r），），），），则则则则三、等势面1等势面电势为空间坐标的标量函数电势为空间坐标的标量函数电势为空间坐标的标量函数电势为空间坐标的标量函数，是标量场是标量场是标量场是标量场。标量场标量场标量场标量场常用等值面来进行形象的几何描述电势的等值面称为常用等值面来进行形象的几何描述电势的等值面称为常用等值面来进行形象的几何描述电势的等值面称为常用等值面来进行形象的几何描述电势的等值面称为等势面等势面等势面等势面，在同一等势面上在同一等势面上在同一等势面上在同一等势面上，电势处处相等电势处处相等电势处处相等电势处处相等。B.J.Ye两个正电荷的等势面两个正电荷的等势面两个正电荷的等势面两个正电荷的等势面电荷非均匀分布的棱锥体电荷非均匀分布的棱锥体电荷非均匀分布的棱锥体电荷非均匀分布的棱锥体电荷非均匀分布的立方体电荷非均匀分布的立方体电荷非均匀分布的立方体电荷非均匀分布的立方体电荷非均匀分布的正方体电荷非均匀分布的正方体电荷非均匀分布的正方体电荷非均匀分布的正方体电荷均匀分布的双曲线电荷均匀分布的双曲线电荷均匀分布的双曲线电荷均匀分布的双曲线B.J.Ye正弦分布正弦分布正弦分布正弦分布(=x)的圆环的圆环的圆环的圆环2等势面的特性一根电场线不可能与同一等势面相交两一根电场线不可能与同一等势面相交两一根电场线不可能与同一等势面相交两一根电场线不可能与同一等势面相交两次或多次次或多次次或多次次或多次。空间某点的电场强度应与该处的等势面空间某点的电场强度应与该处的等势面空间某点的电场强度应与该处的等势面空间某点的电场强度应与该处的等势面垂直垂直垂直垂直。用反证法来证明用反证法来证明用反证法来证明用反证法来证明。设该结论不真设该结论不真设该结论不真设该结论不真，即电即电即电即电场强度不垂直等势面场强度不垂直等势面场强度不垂直等势面场强度不垂直等势面，这时电场强度可分解这时电场强度可分解这时电场强度可分解这时电场强度可分解为沿等势面的法向和切向的两个分量为沿等势面的法向和切向的两个分量为沿等势面的法向和切向的两个分量为沿等势面的法向和切向的两个分量，且切且切且切且切向分量却不为向分量却不为向分量却不为向分量却不为0。再由电势的公式再由电势的公式再由电势的公式再由电势的公式，等势面上等势面上等势面上等势面上位于该切向方向的两点之间将存在电势差位于该切向方向的两点之间将存在电势差位于该切向方向的两点之间将存在电势差位于该切向方向的两点之间将存在电势差，以至与等势面的定义发生矛盾以至与等势面的定义发生矛盾以至与等势面的定义发生矛盾以至与等势面的定义发生矛盾，所以原结论所以原结论所以原结论所以原结论成立成立成立成立。由这个结论可知由这个结论可知由这个结论可知由这个结论可知，电场线和等势面之电场线和等势面之电场线和等势面之电场线和等势面之间将处处正交间将处处正交间将处处正交间将处处正交。电场强度的大小也可用等势面的疏密程电场强度的大小也可用等势面的疏密程电场强度的大小也可用等势面的疏密程电场强度的大小也可用等势面的疏密程度来量度度来量度度来量度度来量度。为此可设想相邻等势面的电势差都一样为此可设想相邻等势面的电势差都一样为此可设想相邻等势面的电势差都一样为此可设想相邻等势面的电势差都一样，那那那那末将单位正电荷沿法线方向从一个等势面移到末将单位正电荷沿法线方向从一个等势面移到末将单位正电荷沿法线方向从一个等势面移到末将单位正电荷沿法线方向从一个等势面移到与其相邻的等势面上与其相邻的等势面上与其相邻的等势面上与其相邻的等势面上，电场所作的功的大小也电场所作的功的大小也电场所作的功的大小也电场所作的功的大小也会一样会一样会一样会一样。这功的大小为电场强度与相邻等势面这功的大小为电场强度与相邻等势面这功的大小为电场强度与相邻等势面这功的大小为电场强度与相邻等势面间距离的乘积间距离的乘积间距离的乘积间距离的乘积。因此因此因此因此，等势面间距越小等势面间距越小等势面间距越小等势面间距越小，电场电场电场电场就越大就越大就越大就越大。等势面间距的大小正反映了等势面的等势面间距的大小正反映了等势面的等势面间距的大小正反映了等势面的等势面间距的大小正反映了等势面的疏密程度疏密程度疏密程度疏密程度。所以所以所以所以，电场的大小可用等势面的疏电场的大小可用等势面的疏电场的大小可用等势面的疏电场的大小可用等势面的疏密程度来量度密程度来量度密程度来量度密程度来量度。四、E与U的关系电势是标量电势是标量电势是标量电势是标量，从电荷分布计算电势比计算从电荷分布计算电势比计算从电荷分布计算电势比计算从电荷分布计算电势比计算场强方便场强方便场强方便场强方便若能从电势分布求出场强若能从电势分布求出场强若能从电势分布求出场强若能从电势分布求出场强，这显然这显然这显然这显然是非常有意义的是非常有意义的是非常有意义的是非常有意义的。1.电势梯度三个非常靠近的等势面三个非常靠近的等势面三个非常靠近的等势面三个非常靠近的等势面A，B和和和和C，它们的电势它们的电势它们的电势它们的电势值分别为值分别为值分别为值分别为：UU ,U ,UU+单位点电荷从单位点电荷从单位点电荷从单位点电荷从B移至移至移至移至C，电场力做的功等于电场力做的功等于电场力做的功等于电场力做的功等于电势能的减少电势能的减少电势能的减少电势能的减少，即即即即：或或或或：亦即亦即亦即亦即：电势的方向导数电势的方向导数电势的方向导数电势的方向导数B.J.Ye可见可见可见可见，改变同样的改变同样的改变同样的改变同样的 U，沿不同的方向沿不同的方向沿不同的方向沿不同的方向，由于由于由于由于 l的长度不同的长度不同的长度不同的长度不同，El的改变并不相同的改变并不相同的改变并不相同的改变并不相同。在数学中在数学中在数学中在数学中，对于任何一个标量场中对于任何一个标量场中对于任何一个标量场中对于任何一个标量场中，可定义其可定义其可定义其可定义其梯度梯度梯度梯度，它是矢量它是矢量它是矢量它是矢量，大小等于该标量函数沿其等值面大小等于该标量函数沿其等值面大小等于该标量函数沿其等值面大小等于该标量函数沿其等值面的法线方向的方向导数的法线方向的方向导数的法线方向的方向导数的法线方向的方向导数，方向沿等值面的法线方方向沿等值面的法线方方向沿等值面的法线方方向沿等值面的法线方向向向向，并用并用并用并用grad表示梯度表示梯度表示梯度表示梯度，于是于是于是于是:UgradUUnn=?2.电场强度与U的关系当当当当l取法线方向时取法线方向时取法线方向时取法线方向时，电势在该方向的变化率电势在该方向的变化率电势在该方向的变化率电势在该方向的变化率最大最大最大最大，亦即电势的梯度最大亦即电势的梯度最大亦即电势的梯度最大亦即电势的梯度最大，根据矢量的定根据矢量的定根据矢量的定根据矢量的定义义义义，矢量绝对值最大的分量就是矢量本身矢量绝对值最大的分量就是矢量本身矢量绝对值最大的分量就是矢量本身矢量绝对值最大的分量就是矢量本身，所所所所以我们得到电场强度的大小为以我们得到电场强度的大小为以我们得到电场强度的大小为以我们得到电场强度的大小为：nUnUEEn=当当当当 n趋于零时趋于零时趋于零时趋于零时，有有有有：nUnUlimE0n=由电势的梯度和上式由电势的梯度和上式由电势的梯度和上式由电势的梯度和上式，我们有我们有我们有我们有：即静电场中任何一点的电场强度的大小在数值即静电场中任何一点的电场强度的大小在数值即静电场中任何一点的电场强度的大小在数值即静电场中任何一点的电场强度的大小在数值上等于该点电势梯度的大小上等于该点电势梯度的大小上等于该点电势梯度的大小上等于该点电势梯度的大小，方向与电势梯度的方向与电势梯度的方向与电势梯度的方向与电势梯度的方向相反方向相反方向相反方向相反，指向电势降落的方向指向电势降落的方向指向电势降落的方向指向电势降落的方向。在直角坐标系中在直角坐标系中在直角坐标系中在直角坐标系中，场强场强场强场强E可用由下式来表示可用由下式来表示可用由下式来表示可用由下式来表示，即即即即：引人微商运算符引人微商运算符引人微商运算符引人微商运算符“”，在直角坐标系中在直角坐标系中在直角坐标系中在直角坐标系中：在球坐标系中在球坐标系中在球坐标系中在球坐标系中：已知电势的值已知电势的值已知电势的值已知电势的值，就可求得电场强度的值就可求得电场强度的值就可求得电场强度的值就可求得电场强度的值。3讨论电势电势电势电势U（x，y，z）是标量是标量是标量是标量，只有一个分只有一个分只有一个分只有一个分量量量量，但场强是矢量但场强是矢量但场强是矢量但场强是矢量，有三个分量有三个分量有三个分量有三个分量，为何由为何由为何由为何由E=-U能给出三个函数能给出三个函数能给出三个函数能给出三个函数Ex、Ey和和和和Ez呢呢呢呢？其实其实其实其实，静电场并非一个完全任意的矢量静电场并非一个完全任意的矢量静电场并非一个完全任意的矢量静电场并非一个完全任意的矢量场场场场，它必须满足环路定理它必须满足环路定理它必须满足环路定理它必须满足环路定理，因而因而因而因而E的三个分量并的三个分量并的三个分量并的三个分量并不是独立的不是独立的不是独立的不是独立的。能用一个标量函数能用一个标量函数能用一个标量函数能用一个标量函数U来描写静电来描写静电来描写静电来描写静电场场场场，并由之得到一个矢量场并由之得到一个矢量场并由之得到一个矢量场并由之得到一个矢量场（场强场强场强场强），），），），是由静是由静是由静是由静电场是保守场的性质决定的电场是保守场的性质决定的电场是保守场的性质决定的电场是保守场的性质决定的。静电场的环路定理是从库仑定律导出的静电场的环路定理是从库仑定律导出的静电场的环路定理是从库仑定律导出的静电场的环路定理是从库仑定律导出的，因为库因为库因为库因为库仑定律已概括了静电场是有心力场这一特性仑定律已概括了静电场是有心力场这一特性仑定律已概括了静电场是有心力场这一特性仑定律已概括了静电场是有心力场这一特性，凡凡凡凡是有心力场是有心力场是有心力场是有心力场，其环流都恒为零其环流都恒为零其环流都恒为零其环流都恒为零。能够用一个标量能够用一个标量能够用一个标量能够用一个标量势函数描写静电场的前提是静电场为有心力场势函数描写静电场的前提是静电场为有心力场势函数描写静电场的前提是静电场为有心力场势函数描写静电场的前提是静电场为有心力场，而且只要求静电场是有心力场就足够了而且只要求静电场是有心力场就足够了而且只要求静电场是有心力场就足够了而且只要求静电场是有心力场就足够了。至于势函数的具体形式至于势函数的具体形式至于势函数的具体形式至于势函数的具体形式，还取决于有心力的还取决于有心力的还取决于有心力的还取决于有心力的具体形式具体形式具体形式具体形式，即需借助于高斯定理即需借助于高斯定理即需借助于高斯定理即需借助于高斯定理。由电荷分布所由电荷分布所由电荷分布所由电荷分布所确定的电势函数公式确定的电势函数公式确定的电势函数公式确定的电势函数公式，已包括了电荷间相互作用已包括了电荷间相互作用已包括了电荷间相互作用已包括了电荷间相互作用的平方反比律这一内容的平方反比律这一内容的平方反比律这一内容的平方反比律这一内容，即已包含了库仑定律的即已包含了库仑定律的即已包含了库仑定律的即已包含了库仑定律的全部信息全部信息全部信息全部信息。描写静电场的两个方程是描写静电场的两个方程是描写静电场的两个方程是描写静电场的两个方程是：B.J.Ye由环路定理可得到由环路定理可得到由环路定理可得到由环路定理可得到E和和和和U的关系的关系的关系的关系，即即即即E=-U，代入到高斯定理就有代入到高斯定理就有代入到高斯定理就有代入到高斯定理就有：20U=称称称称泊松方程泊松方程泊松方程泊松方程，在直角坐标系中在直角坐标系中在直角坐标系中在直角坐标系中，可写成可写成可写成可写成：2222220UUUxyz+=已知电荷分布已知电荷分布已知电荷分布已知电荷分布，通过求解该方程通过求解该方程通过求解该方程通过求解该方程，亦可得到电亦可得到电亦可得到电亦可得到电势分布势分布势分布势分布。2222220UUUxyz+=如果空间无电荷如果空间无电荷如果空间无电荷如果空间无电荷,则则则则泊松方程泊松方程泊松方程泊松方程变为变为变为变为拉拉拉拉普拉斯方程普拉斯方程普拉斯方程普拉斯方程:20U=或:电势函数的值与电势的零参考点的选择有电势函数的值与电势的零参考点的选择有电势函数的值与电势的零参考点的选择有电势函数的值与电势的零参考点的选择有关关关关，而电势零参考点的选择有很大的任意而电势零参考点的选择有很大的任意而电势零参考点的选择有很大的任意而电势零参考点的选择有很大的任意性性性性，电场中任何一点都可以作为电势的零电场中任何一点都可以作为电势的零电场中任何一点都可以作为电势的零电场中任何一点都可以作为电势的零点点点点。把电势的零点取在无穷远处是因为分布在把电势的零点取在无穷远处是因为分布在把电势的零点取在无穷远处是因为分布在把电势的零点取在无穷远处是因为分布在有限区域中的电荷产生的电场在远离电荷处的有限区域中的电荷产生的电场在远离电荷处的有限区域中的电荷产生的电场在远离电荷处的有限区域中的电荷产生的电场在远离电荷处的场强按场强按场强按场强按 1r2减少减少减少减少，故无限远处任意两点的电势故无限远处任意两点的电势故无限远处任意两点的电势故无限远处任意两点的电势差为零差为零差为零差为零，无限远处是电势的等势区域无限远处是电势的等势区域无限远处是电势的等势区域无限远处是电势的等势区域，因而我因而我因而我因而我们可以把电势的零点取在这个区域中们可以把电势的零点取在这个区域中们可以把电势的零点取在这个区域中们可以把电势的零点取在这个区域中。但是但是但是但是，当电荷分布在无限大区域中时当电荷分布在无限大区域中时当电荷分布在无限大区域中时当电荷分布在无限大区域中时，无无无无限远处并不是等势区域限远处并不是等势区域限远处并不是等势区域限远处并不是等势区域。在这种情况中在这种情况中在这种情况中在这种情况中，虽然虽然虽然虽然可以取远处某一确定点作为电势的零点可以取远处某一确定点作为电势的零点可以取远处某一确定点作为电势的零点可以取远处某一确定点作为电势的零点，但却但却但却但却不能把无限远处作为电势的零参考点不能把无限远处作为电势的零参考点不能把无限远处作为电势的零参考点不能把无限远处作为电势的零参考点（无限远无限远无限远无限远处是一个区域处是一个区域处是一个区域处是一个区域）。）。）。）。在均匀电场在均匀电场在均匀电场在均匀电场E0中放入一个中放入一个中放入一个中放入一个点电荷点电荷点电荷点电荷q,则空间的电势如何则空间的电势如何则空间的电势如何则空间的电势如何?对均匀电场对均匀电场对均匀电场对均匀电场,不能取无限不能取无限不能取无限不能取无限远处为电势零点远处为电势零点远处为电势零点远处为电势零点,取原点取原点取原点取原点O为为为为参考点参考点参考点参考点,则则则则:cos01rEU=对点电荷对点电荷对点电荷对点电荷,不能取原点为电势零不能取原点为电势零不能取原点为电势零不能取原点为电势零点点点点,可取无限远处为电势零点可取无限远处为电势零点可取无限远处为电势零点可取无限远处为电势零点,则则则则:rqU024=0000214cosUrqrEUUUU+=+=合电势为合电势为合电势为合电势为:无限远处与无限远处与无限远处与无限远处与 原原原原点均不能作为点均不能作为点均不能作为点均不能作为电势零点电势零点电势零点电势零点.除这两点外任除这两点外任除这两点外任除这两点外任一点的电势都一点的电势都一点的电势都一点的电势都可做参考点可做参考点可做参考点可做参考点.U0取值由该取值由该取值由该取值由该点决定点决定点决定点决定.0321UUUUU+=原点 ,cos01rEU=均匀外场中放入一半径为均匀外场中放入一半径为均匀外场中放入一半径为均匀外场中放入一半径为R,带电量为带电量为带电量为带电量为Q的导体球的导体球的导体球的导体球,球外任球外任球外任球外任一点的电势为一点的电势为一点的电势为一点的电势为:无限远 ,4,4002=RrRQRrrQU ,cos,cos02303=原点均可，无限远或RrrERrrREU+=Rr ,4QRr ,cos4cos00023000URUrRErQrEU除无限远外除无限远外除无限远外除无限远外,其它点均可作电势零点其它点均可作电势零点其它点均可作电势零点其它点均可作电势零点.一旦该一旦该一旦该一旦该点选定点选定点选定点选定,U0就确定就确定就确定就确定.B.J.Ye五、应用举例例例例例 求电偶极子求电偶极子求电偶极子求电偶极子的电势及电场的电势及电场的电势及电场的电势及电场的分布的分布的分布的分布。解解解解取电偶极子的中点为坐标原点取电偶极子的中点为坐标原点取电偶极子的中点为坐标原点取电偶极子的中点为坐标原点O，rl，则则则则：由数学的级数展开由数学的级数展开由数学的级数展开由数学的级数展开，近似可以得到近似可以得到近似可以得到近似可以得到：把上两式代入把上两式代入把上两式代入把上两式代入，注意注意注意注意z=rcos ，有有有有考虑到电偶极子的方向考虑到电偶极子的方向考虑到电偶极子的方向考虑到电偶极子的方向，P点的电势为点的电势为点的电势为点的电势为由该式和电场强度与电势的关系式可求得由该式和电场强度与电势的关系式可求得由该式和电场强度与电势的关系式可求得由该式和电场强度与电势的关系式可求得：有有有有：=0Ersinp41Ercosp241E3030r在电偶极子的延长线上在电偶极子的延长线上在电偶极子的延长线上在电偶极子的延长线上，=0，有有有有30rrp241EE=在电偶极子的中垂面上在电偶极子的中垂面上在电偶极子的中垂面上在电偶极子的中垂面上，=/2，有有有有电偶极子的电场强度也可写成电偶极子的电场强度也可写成电偶极子的电场强度也可写成电偶极子的电场强度也可写成：“-”来源于来源于来源于来源于 的正方向是的正方向是的正方向是的正方向是Z的负方向的负方向的负方向的负方向例例例例 求面电荷密度为求面电荷密度为求面电荷密度为求面电荷密度为 的均匀带电薄圆盘轴线上的均匀带电薄圆盘轴线上的均匀带电薄圆盘轴线上的均匀带电薄圆盘轴线上的电势与电场分布的电势与电场分布的电势与电场分布的电势与电场分布，圆盘半径为圆盘半径为圆盘半径为圆盘半径为R。B.J.Ye解解解解 作图作图作图作图，轴线上任一点轴线上任一点轴线上任一点轴线上任一点Z的电势为的电势为的电势为的电势为：这里这里这里这里，dS=rd dr，r-r =(z2+r2)1/2,故故故故+=+=+=+=zzRzzRzzRzrrdrzrrddrzURR22022022002200202202,22241)(所以所以所以所以，电场强度电场强度电场强度电场强度E为为为为：Z0Z0ZR2,都均匀带电都均匀带电都均匀带电都均匀带电，电荷电荷电荷电荷面密度分别面密度分别面密度分别面密度分别为为为为 1与与与与 2，试求大的半球底面圆直径试求大的半球底面圆直径试求大的半球底面圆直径试求大的半球底面圆直径 AOB上的电势上的电势上的电势上的电势分布分布分布分布。解解解解由于球面内电势恒定由于球面内电势恒定由于球面内电势恒定由于球面内电势恒定,球面外电势与到球心的球面外电势与到球心的球面外电势与到球心的球面外电势与到球心的距离成反比距离成反比距离成反比距离成反比,电势电势电势电势连续分连续分连续分连续分布布布布,容易求出容易求出容易求出容易求出。显然显然显然显然,均匀带电球面在球内均匀带电球面在球内均匀带电球面在球内均匀带电球面在球内、外任一点的电势外任一点的电势外任一点的电势外任一点的电势,是两个是两个是两个是两个半球面贡献之和半球面贡献之和半球面贡献之和半球面贡献之和,因电势是标量因电势是标量因电势是标量因电势是标量,半球面在任一点的电势应半球面在任一点的电势应半球面在任一点的电势应半球面在任一点的电势应为球面在该点的电势之半为球面在该点的电势之半为球面在该点的电势之半为球面在该点的电势之半。半径为半径为半径为半径为 R1,电荷面密度为电荷面密度为电荷面密度为电荷面密度为 1的完整均匀带电大球的完整均匀带电大球的完整均匀带电大球的完整均匀带电大球面在球内面在球内面在球内面在球内(包括直径包括直径包括直径包括直径 AOB)的电势恒定的电势恒定的电势恒定的电势恒定,表表表表示示示示为为为为U1,则则则则：011101211011444RRRRQU=半个大球面在半个大球面在半个大球面在半个大球面在AOB上的电势应为上式的一半上的电势应为上式的一半上的电势应为上式的一半上的电势应为上式的一半。01111221RUU=半径为半径为半径为半径为R2,电荷面密度为电荷面密度为电荷面密度为电荷面密度为 2的完整均匀带电小球的完整均匀带电小球的完整均匀带电小球的完整均匀带电小球面在球内的电势恒定面在球内的电势恒定面在球内的电势恒定面在球内的电势恒定,在球外的电势与在球外的电势与在球外的电势与在球外的电势与该处到球该处到球该处到球该处到球心的距离心的距离心的距离心的距离成反比成反比成反比成反比。把完整小球面在把完整小球面在把完整小球面在把完整小球面在 AOB 上各点上各点上各点上各点的电势表的电势表的电势表的电势表示示示示为为为为 U2,则则则则：,4 ,4120222022=Rr RrQR rRQU式中式中式中式中：22224RQ=同样同样同样同样，半个小球面在半个小球面在半个小球面在半个小球面在AOB上产生的电势是上式的一上产生的电势是上式的一上产生的电势是上式的一上产生的电势是上式的一半半半半；所以总电势为二者之和所以总电势为二者之和所以总电势为二者之和所以总电势为二者之和：+=+=1222211020221121 ),(21 ,2RrRrRRRrRRUUU例例例例一个立方体有一个立方体有一个立方体有一个立方体有5个面接地个面接地个面接地个面接地,而第而第而第而第6个面与其个面与其个面与其个面与其余余余余5个面绝缘个面绝缘个面绝缘个面绝缘,电势为电势为电势为电势为U,则立方体中心的电则立方体中心的电则立方体中心的电则立方体中心的电势是多少势是多少势是多少势是多少?解解解解由电势的叠加原理由电势的叠加原理由电势的叠加原理由电势的叠加原理,中心点的电势由中心点的电势由中心点的电势由中心点的电势由6个个个个面电势叠加而成面电势叠加而成面电势叠加而成面电势叠加而成:662211610UkUkUkUkUiii+=因为因为因为因为6个面几何形状对称个面几何形状对称个面几何形状对称个面几何形状对称,所以系数所以系数所以系数所以系数ki相同相同相同相同,)(