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第2 6 卷第3期2023年5月doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2023.03.002高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.26,No.3May,2023累次积分中积分上下限的确定王宇航，蔡清，刘春平（扬州大学数学科学学院，江苏扬州2 2 50 0 2)摘要利用截面法给出了三次积分交换积分次序的解题步骤，并对两道习题给出了确定积分上下限的详细过程。关键词累次积分；截面法；积分上限；积分下限中图分类号0 17 2.2文献标识码AThe Upper and Lower Limits of Iterated IntegralsWANG Yuhang,CAI Qing,and LIU Chunping(Institute of Mathematics,Yangzhou University,Yangzhou 225002,China)Abstract Using the method of sections,the different integration orders of an iterated integral are studied,and the detailed processes of determining the upper and lower limits of the iterated integrals are illustratedby two exercises.Keywords iterated integral,section,upper limit of integral,lower limit of integral1引言吉米多维奇数学分析习题集有如下一道题目：【40 8 3】1】交换三次积分的积分次序dyf(a,y,z)dz.它也是数学分析教材2 中的一道习题.学习过程中我们发现虽然有辅导书提供了具体答案，但不少同学对此类题型中如何确定积分上下限仍感到困惑。为叙述方便，我们先抄录文献1中的部分解答：解如果先对积分，再对，积分，则积分域在Ocy平面上的投影域由方程文章编号10 0 8-1399（2 0 2 3)0 3-0 0 0 3-0 3所表示的曲线围成，于是ddzfdy-如果先对积分，再对y，积分，则积分域在Oy平面上的投影域由方程y=1,=0,y=z及=o,y=l,y=z,y=-所表示的曲线围成，于是d之dd之1.（2）(3)1(4)=1,之=0,之=?及=0,=1,z=?,=?+1收稿日期：2 0 2 2-0 7-0 6修改日期：2 0 2 2-11-11基金项目：扬州大学大学生创新创业训练计划项目（X20220235）；扬州大学教改项目（YZUJX2020-A2）；江苏省教改项目（2 0 2 1JSJG 0 13），扬州大学卓越本科课程建设工程项目(2022ZYKCC-12).作者简介：王宇航（2 0 0 2 一），男，江苏淮安人，扬州大学数学科学学院本科在读.Email:.通讯作者：刘春平（196 4一），女，江苏高邮人，博士，教授，主要从事数学分析教学和微分方程研究.Email:.审视上述解答，同学普遍困惑的是：空间积分区(1)域朝坐标面投影为什么能得到（1）式以及（3）式?从（1）式、（3）式又如何分别得到（2）式、（4）式？更进一步地，一般的三次积分交换积分次序后如何确定积分的上下限？我们知道，为交换三次积分的积分次序，只要以交换二次积分次序的方法交换相邻两个变量的积分次序即可，经过几次，就可得任意三次积分的积分次序例如，欲将三次积分次序改换为,可以通过施行如下改换完成：改换为;4改换为;改换为.不难看出，这种交换三次积分次序的方法是一种间接法下面，本文给出另外一种方法.2三次积分交换积分次序的直接法回忆一下直角坐标系下计算三重积分的两种方法（为简洁起见，只写了其中一种情形下的计算公式，另外两种情形有类似的计算公式）：方法1投影法（先一后二法）若函数f(，y，)在=(,)/(,y)z(,y),(,)ED)上可积,其中D是积分区域在Ocy面上的投影区域，则三重积分f(,y,z)do=D方法2 截面法(先二后一法）-若函数f(,，)在=(,)(,)ED,ab)上可积,其中D是垂直于轴的平面截积分区域所得的截面，则三重积分f(,y,)du=dzf(c,y,z)drdy.(6)D对交换三次积分次序的题型，如果题目事先给定某种积分次序，则由（5）式，我们很容易知道积分区域在Qcy坐标面上的投影区域,再由变量介于曲面（,）和（,）之间，可以大致了解积分区域的形状一般说来，空间区域比较难画，但其垂直于坐标轴的截面是平面区域，通过一些分析还是可以精确画出的.根据（6）式，结合二重积分化为累次积分的方法，我们给出交换三次积分次序的一种直接解法，其解题步骤如下：(i）根据题目所给条件，写出积分区域2 的解析式，勾画或想象一下的粗略形状，确定其变量变化范围所属的一个长方体；(ii）按照指定的积分次序，利用截面法中的（6)式，在Ocy面上画出截面的形状，即平面区域D，（另两种情形是分别在Oyz面、Ocz面上画出截面D、D,的形状);(ii）根据D,（或者Dr、D,）的形状，用二重积分的累次积分法确定积分变量的上下限，最终得到题目要求的三次积分的积分上下限.3两道习题的直接解法和间接解法本节，我们对两道习题分别用直接法和间接法交换三次积分次序为简洁起见，仅考虑将三次积高等数学研究分次序改换为，其它情形可类似讨论。+y2【40 8 311 d.dy解法1（i）积分区域的解析式为0+,01,01.是一个以D=(,)101,01)为底，以旋转抛物面=十为顶的曲顶柱体.注意到(1,1)=2,易知2 C0,10,10,2.（i i）积分次序选最后对积分时，根据截面法中的(6)式,有I二dzf(a,y,z)drdy.(.y)用垂直于轴的平面截积分区域，得截面分别如drd1f(,y,2)dz.(5)(,)2023年5月f(a,y,z)dz.图（1)(0 1)、图(2)(12)所示,视为定值，可解出几个交点的坐标分别为P=（O，Vz），Q=(Vz,0),R=(Vz-1,1),S=(1,Vz-1).y=1PDzx=10X图(1)(0 1)（i）根据图（1）以及图（2），选择先对积分，再对积分时,有VEfdady=dydrdyD从而I=d之fdrdy+dzfdadyDd之dz解法2改换为;由()10 1,0 1)知+dyd.c改换为;y=1RDS0 x=1 x图(2)(12)_dyfda;+dfd之.第2 6 卷第3期由(,)10,0 1),视为定值（0 y1），在Oc面上画出积分区域（见图(3)）,其中A=（0,y）,B=（1,y+1).根据图(3)交换与的积分次序，有2d.fdz王宇航，蔡清，刘春平：累次积分中积分上下限的确定积分，再对积分时，有fdrdy=dy1-yfda+从而d之5fd.x,dyd解法2由(,)0,0,视为dyd之改换为.由（(,)10,0 1)画出图（4)，再由（(,)+1,0 1)画出图(5),ZZByA0图(3)根据图（4）、图（5）交换与的积分次序，注意到dyd改换为;由(,)0 1,0 1)可得图(7),故dyd.fdz.改换为;Z21x=1J=1图(4)d.定值（0 y1)，在O面上画出积分区域（见图（8)），根据图（8）交换与的积分次序，有dafd之J=1dz图(5)fd.dzB/2ddyx+y=1dzA0从而0个x=1-yXd之d之【40 8 11解法1（i）积分区域的解析式为2是一个以D=(,)101-,01)为底，以平面=十为顶的斜顶柱体，注意到（，y）在D上的最大值和最小值分别为1和0,故2 C0,1 X 0,1 0,1.（i i）积分次序选最后对积分时，根据截面法中的(6)式,有(,y,z)dady.D用垂直于之轴的平面截积分区域Q,得截面如图（6）所示，视为定值，可得交点坐标P=（0,)，Q=(z,0).（i i i）根据图（6），选择先对dzdyd.xdyf(,y,z)dz.PX+y=1D2X+y=2Q图(6)图(7)改换为.由（(,)10,0 1)画出图(9)，再由（,）1,0 1)画出图（10)，0J=1图(9)交换y与之的积分次序，有dyfdr-4小结三次积分按积分变量不同的排列方式共有六种不同次序给定一个三次积分，要写出交换积分次序后其它五种三次积分，其关键是积分上下限的确定由于三次积分的积分区域是空间区域，在不易X画出其立体图形时确定积分上下限一直是解题的难(下转第16 页）图(8)2=1图(10)d1fd.c.16当 0 且0时，若 c一1,则dyd.y=c-1,则=0;若0 y0且0时,则dyc-1,则0;若 y=ct-1,则=0;若0 yc-1,则d.dydd；dy当-10时,则dy0;若-1d.y0且0;若趋于1,则趋于8.dydy当0 c1时，系统（2)的轨道族与负y轴有两个交点.当c=1时，系统（2)的轨道与y轴的两个交点分别为y1=0与y2=0.综上分析，如图1所示，我们有下述结论。-10-5图1系统（2）的全局相图定理2 系统（2)的全局相图如下：（a）当c0时，通积分（7)定义的解轨道为空集；(b）当c=0时，通积分（7)定义了系统（2)的退化平衡点（0,0)和y=一1两条特殊的解轨道；高等数学研究（c）当0 c0；之间，见图1中的点虚线；（d）当c=1时，通积分（7）定义了两条“临界”曲线或直线，它们分别过点（0，0）和（0，1）；（e）当c1时，通积分（7)定义了系统（2）一族过退化平衡点（0，0)且位于上半平面的闭轨道族，以及一族位于y=一1下方且以=一1为水平渐近线的开轨道，见图1中虚线和点线两条代表性曲线.d.注3系统(2)存在一族经过退化平衡点（0，0）的闭轨族.4结论本文的目的是在初等方法的框架内，探讨微分方程的可积性并分析其轨线族的全局分布.我们针对一类特殊的一阶常微分方程，分别介绍了基于变量代换和极坐标变换的初等方法，探讨该一阶常微分方程的可积性和全局相图等较为前沿的研究课题.论文对于了解微分方程的可积性及其全局轨道分布等前沿课题，有一定的帮助.论文类似的思路，也可以用于其它类型的一阶常微分方程.510*x-1c=00.5-24842023年5月参考文献1 Isaac A.Garcia,Grau M,A survey on the inverse in-tegrating factor J.Qualitative Theory of DynamicalSystems,2010,9(1-2):115-166.2 L.Gairo,J.Llibre,Integrability of the 2D Lotka-Volt-erra system via polynomial first integrals and polyno-mial inverse integrating factors JJ.Journal of PhysicsA:Mathematical and General,2000,33:2407-2417.3周正新，等.几类一阶微分方程的逆积分因子与可积性J扬州大学学报（自然科学版）,2 0 18，2 1（2)：13-16.4韩伟栋，沈建和.积分因子的一种直接求解方法J.大学数学，2 0 2 1，37（2）：58-6 3.5王高雄，朱思铭，周之铭，王寿松常微分方程MI.3版.北京：高等教育版社，2 0 0 6.(上接第5页)点.本文给出了交换三次积分次序的一种直接方法，并以两道经典习题为例，详述了将三次积分次序改换为的直接解法(解法1)和间接解法（解法2)比较两种方法可知：如果我们能够知道垂直于坐标轴的截面的形状（平面区域），宜采用直接法解题，因为这种解法可一步到位地确定任意指定次序的累次积分的上下限；而如果不能想象空间图形，对截面形状毫无所知时，可采用间接法一次次交换相邻两个变量的积分次序去实现目标两种解法各有长处，具体解题时应灵活使用.致谢衷心感谢专家对稿件提出的修改建议.参考文献1费定晖，周学圣，等.吉米多维奇数学分析习题集题解6M.4版.济南：山东科学技术出版社，2 0 14.2华东师范大学数学科学学院编.数学分析（下册)M.5版.北京：高等教育出版社，2 0 19.