二倍角公式教学设计.doc

[人教 A 版教学设计]
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
广州市第三中学 数学科 刘窗洲
一、教学目标：
1、培养学生利用化归思想(指将一般化归为特殊)导出倍角公式，了解倍角公式与两
角和公式的内在联系并熟练倍角公式结构 。
2、领会重点与难点，包括倍角公式的形成和公式的变形(突出 的两种变形)并理解 倍角 的 相对性 。
3、会利用倍角公式进行求值运算、化简，培养学生运算、分析和逻辑推理能力 。
二、重点与难点：
1、重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式 。
2、难点是倍角公式的形成 及 公式的变形 。
三、教学过程(师生互动):
1、公式的导出：(先与学生一起复习两角和的正弦、余弦、正切公式，以达到温故而知新。)
☆　复习回顾： 　

我们已经学习了和角公式，还掌握了和角公式与差角公式可以互相化归 。那么，如何把和角公式化归为二倍角公式呢 ? 现在研究二倍角，线索是两角和的正弦、余弦、正切公式，请同学们自己先试一试发现“二倍角” 与 “两角和” 的内在联系 。让学生领悟到：

☆ 举一例引导化归思想：

★★★ ( ★ 表示任意角)
当 取特殊角 时，上述公式表示为:
即： ，接着依此类推让学生自行动手体会由一般过渡到特殊的化归思想 。
☆　双向沟通： (请把化归的结果填入下面的式中)
简记：
简记：
且 简记：

我们发现 公式的右边既有 也有 ，假设已知 的值，要求 的值，就必然要再求到 的值，然后再代入公式求解 。
如果每次都如此，则会变得工作重复，试问是否可通过公式变形用 或 来单
独表示 以达到公式简洁，从而避免重复工作，提高解题速度 。

利用 ， 公式 还可以变形为：

或

☆ 阶段小结：倍角公式与两角和公式的内在联系是：令 = (实现一般化归为特殊) 。

上面这些公式都叫做倍角公式 。有了倍角公式，就可以用单角的三角函数表示二倍
角的三角函数 。让同学们自己填写公式，是为了使大家学会怎样去发现数学规律，并体
会化归(这里是将一般化归为特殊)这一基本数学思想所起的作用 。

2、公式的运用：
☆ 师生互动：教师在黑板上板书且同时启发学生注意公式结构中等号两边角度倍数
的对比、系数的对比、幂次数的对比学生思考并回答问题以达到熟练公式结构的目的 。
注意以下题组的变化：(让学生自己发现变化之处)

在以上问题中主要突出的是倍角的相对性，以及公式左右两边的角的变化 。为了
进一步巩固所学公式与更深入熟练地掌握公式变形，特意由浅入深设计三个梯度的课堂练
习以达到相关目的 。
☆ 梯度一：(熟练公式结构)
（1） (公式的逆用)
（2） (公式的逆用)
（3） (公式的逆用)
（4） (公式的逆用)
（5） (公式的逆用)
☆ 梯度二：(倍角的相对性)
(1) (2)
(3) (公式的逆用伴有系数的变化)
(4) (公式的逆用伴有系数的变化)
(5) (公式的逆用伴有系数的变化)
(6) (公式的逆用)

☆ 梯度三：(公式的灵活运用)
（1）

(分析：先引导学生观察分析正弦的二倍角公式的右边为 即一个正弦、
一个余弦，而本题为两个正弦且角度也不同，提醒学生进行思考且注意变形手段，变成角度相同且一个正弦、一个余弦再求值 。)

(2)

(分析：引导学生观察分析，此题设计的目的是让学生学会构造法与滚雪球法，体会
公式的灵活多变，发现数学美 。)
解：原式

（3）
(此题留为课后练习，让学生进一步思考 。)
☆ 经过三个梯度的训练，学生对公式的结构与公式的应用达到基本熟练之后，下一
步应该提供机会让学生利用倍角公式进行求值运算、化简，以培养学生运算、分析和逻辑
推理能力 ，这也正是本课时的教学目标之一与难点之一 。

3、典型例题:
☆ 例 1、已知 ，，求 ，， 的值 ?
[分析] 本题求值时，由于运用了公式 ，所以要根据角 的范围确定取哪一个平方根 。另外，在求 值时，应使用公式的三种等价式中的: .
因为本题在前几节书中类似问题曾在多处出现，故可将详细解题步骤用实物投影展示
给学生，以节约课堂时间 。
解：∵ ， (角的范围目的在于确定的正负取值)
∴
∴
(公式有三种选择，应以方便计算为出发点)

本题结束后，可考虑将原题进行如下一组变换:
☆ 变式 1、已知 ，，求 ，， 的值 ?
☆ 变式 2、已知 ，，求 ，， 的值 ?
(以上题组学生能口述解答方法即可，目的是训练并提高学生灵活选择公式的能力)

☆ 例 2、化简: , .
[分析] 本题要化简，则根号里面必须产生某式的平方，启发学生联想到有没有一个
公式右边能产生平方 。一旦学生联想到余弦的二倍角公式便让其自己动手去完成化简 。
由于有可能学生们选择了公式的三种不同等价式：

则产生三种思路与三种解法，但其结果应该是一致的，只不过速度的快慢、解法的简易与
复杂有差异，学生解答后再请其自己叙述其解题思路，并能互相交流、对比以达到优化教
学的效果 ，如若出现另类解法 ，只要不违背数学思想应给予正面鼓励以促进学生积极思
维 。
教师可介绍一种相对理想的解法且板书：
解：∵ ，则
∴ 原式
(解答中角度 范围的确定目的是去绝对值时正负值的取舍，这也是本题目标训练之
一，即符号看象限 。)

在本题结束后，亦可考虑将原题进行如下一组变换，以加强训练学生灵活选择公式的
意识与能力，也为后面的升幂公式学习打下基础 。

☆ 变式 1、化简: , .
☆ 变式 2、化简: , .
☆ 变式 3、化简: , .

(此题组留为课后练习，学生继续思考、巩固所学知识从而升华课堂教学 。)

☆ 例 2、在 中，，，求 的值？
[分析] 本题是涉及三角形的求值问题，可溯引学生熟练三角形中的三角问题，让数学回归生活、生产实际问题。难点在于突破角度的限制性，符号确定与公式的正确选择。
解：在 中，由 ，，
得 ，
，

又 ，
所以 ，
于是
(此题还有多种求解方法，学生可继续思考、各抒己见、课内课后可充分交流从而提高课堂教学的有效性 。)
若教师想检验和提高学生的数学思考能力，不防鼓励学生自己动手改变题目的某些已知条件，尝试并且体验编题的乐趣。
☆ 如姊妹题、在 中，，，求 的值？

四、小结：让学生自己总结学习心得与体会反思 .

五、作业：人教 A 版课本 第 148 页 第 1、2、3、4 题

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