运筹学期末练习题.doc

1 三台机器因故障要人看管的概率分别为0.2，0.3，0.1（各台机器是否需要人看管相互独立），求：（1）没有一台机器要看管的概率；
（2）至少有一台机器不要看管的概率；
（3）至多一台机器要看管的概率。
2 从某种试验物中取出24个样品，测量其发热量，计算得=11958，样本标准差=323，问以5％的显著水平是否可认为发热量的期望值是12100(假定发热量是服从正态分布的)?
解: 总体标准差σ未知,拒绝域为, =11958, =323,, 由检验统计量
>2.0687,拒绝,接受
即, 以95%的把握认为试验物的发热量的期望值不是12100.
3 从一批钉子中抽取16枚，测得其长度为(单位：m):2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,
2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11.设钉长分布为正态，试在下列情况下求总体期望值的90％置信区间： (1)已知=0.Ol(cm)；(2) 为未知。
4 设两位化验员A、B独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次测定，其测定值的方差依次为0.5419和0.6065，设和分别是A、B两化验员测量数据总体的方差，且总体服从正态分布，求方差比/的置信度为90％的置信区间。
5 某种产品共有10件,其中有次品4件.现从中任取4件,求取出的4件产品中次品数X的数学期望和方差.
6.甲乙两队比赛，若有一队先胜四场，则比赛结束。假定甲队在每场比赛中获胜的概率为0.6，乙队为0.4，求比赛场数的数学期望和方差。
7.一批零件中有9个合格品与3个废品,在安装机器时,从这批零件中任取1个,如果取出的是废品就不再放回.求在取得合格品之前,已经取出的废品数的数学期望和方差.
8.设随机变量X的概率分布密度函数为
,
求X的数学期望和方差.
9.设随机变量X的概率分布密度函数为
.
求X的数学期望和方差.
10 从一批钉子中随机抽取16枚，测得其长度（单位：）为
2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10
2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11
假设钉子的长度，求总体均值的置信度为99%的置信区间。
11 设随机变量X与Y是相互独立的，其概率密度分别为
=，=
求：（1）联合概率密度函数；（2）
解（1）随机变量X与Y相互独立，故
==
（2）由于X与Y相互独立，故
=
==
12 设总体X具有分布律
X
1
2
3
Pk
θ2
2θ(1－θ)
(1－θ) 2
其中θ(0<θ<1)为未知参数。已知取得了样本值x1=1，x2=2，x3=1，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。
解：（1）

则得到θ的矩估计值为
（2）似然函数

ln L(θ )=ln2+5lnθ+ln(1－θ)
求导
得到唯一解为
13 设总体X的概率分别为

其中θ（0<θ<）是未知参数，利用总体X的如下样本值
3， 1， 3， 0， 3， 1， 2， 3
求θ的矩估计值和最大似然估计值。

14 设，求的最大似然估计量及矩估计量。
15 设总体，求对a, b的矩估计量。
16 抽测5个不同品种的若干头母猪的窝产仔数，结果见下表。
五个不同品种母猪的窝产仔数
品种号
观 察 值xij (头/窝)
1
8
13
12
9
9
2
7
8
10
9
7
3
13
14
10
11
12
4
13
9
8
8
10
5
12
11
15
14
13
试用方差分析法完成以下检验不同品种母猪平均窝产仔数的差异是否显著的过程（）。
1 补全方差分析表
方差分析表
变异来源
平方和
自由度
均方
F值
组间
73.20

组内
62.80

总变异
136.00

2 根据F0.05(4,20) =2.87,F0.01(4,20) =4.43，检验的结果是什么？
解：
不同品种母猪的窝产仔数的方差分析表
变异来源
平方和
自由度
均方
F值
品种间
73.20
4
18.30
5.83
误差
62.80
20
3.14

总变异
136.00
24

根据，查临界F值得：F0.05(4,20) =2.87,F0.01(4,20) =4.43，因为F＞F0.01(4,20)，表明品种间产仔数的差异达到1%显著水平.
17 把下面的方差分析表填写完整，
方差来源
平方和
自由度
修正（方差）
组间
131.37
（1）
（3）
组内
（2）
15
（4）
总和
332.48
19
临界值
参考答案：（1）4（2）201.11（3）32.84（4）13.41
18为研究雌激素对子宫发育的影响，现有4窝不同品系未成年的大白鼠，每窝3只，随机分别注射不同剂量的雌激素，然后在相同条件下试验，并称得它们的子宫重量，见下表，
各品系大白鼠不同剂量雌激素的子宫重量(g)
品系(A)
雌激素注射剂量(mg/100g)(B)
B1(0.2)
B2(0.4)
B3(0.8)
A1
106
116
145
A2
42
68
115
A3
70
111
133
A4
42
63
87
试作方差分析完成以下检验不同品系和不同雌激素剂量对大白鼠子宫的发育是否有显著影响的过程（）.
1 补全方差分析表.
方差分析表
变异来源
平方和
自由度
均方
F值
A因素(品系)
6457.6667

B因素(剂量)
6074.0000

误差
543.3333

总变异
13075.0000

2根据F0.01(3,6)=9.78；F0.01(2,6)=10.92.检验的结果是什么？
解：
方差分析表
变异来源
平方和
自由度
均方
F值
A因素(品系)
6457.6667
3
2152.5556
23.77
B因素(剂量)
6074.0000
2
3037.0000
33.54
误差
543.3333
6
90.5556

根据，查临界F值，F0.01(3,6)=9.78；根据，查临界F值，F0.01(2,6)=10.92.
因为A因素的F值23.77＞F0.01(3,6)，差异极显著；B因素的F值33.54＞F0.01(2,6)，差异极显著.说明不同品系和不同雌激素剂量对大白鼠子宫的发育均有极显著影响.
18．某地高校教育经费（x）与高校学生人数（y）连续6年的统计资料如下：
教育经费（万元）（）
316
343
373
393
418
455
在校学生数（万人）（）
11
16
18
20
22
25
要求：（1）建立议程回归直线方程，估计教育经费为500万元的在校学生数；
（2）计算估计标准误差.
（3）是否具有推论意义？（）.
参考答案：（1）， 29.84338（2）
19. 设对某产品的价格P与供给量S的一组观察数据如下表：
价格P（百元）
2
3
4
5
6
8
10
12
供给量S（吨）
15
20
25
30
35
45
60
80
据此求：（1）该产品的价格P关于供给量S的回归直线.
（2）的无偏估计.
（3）是否具有推论意义？（）.
参考答案：（1），（2）（3），不显著.
20在一项关于软塑料管的实用研究中，工程师们想估计软管所承受的平均压力。他们随机抽取了9个压力读数，样本均值和标准差分别为3.62kg和0.45kg。假定压力读数近视服从正态分布，试求总体平均压力的置信度为0.99时的置信区间。（）
解：
因为，，
所以，
于是，总体平均压力的置信区间为，
（10分）
由题意知，，，，
，
代入上式，得总体平均压力的99%置信区间为

=[3.12, 4.12]
21 已知二维随机变量()的分布律如下：

求随机变量X和Y的边缘分布律，并判断X和Y是否相互独立。
22随机变量在1，2，3，4中随机取值，随机变量在1到中随机取整数值，则二维随机变量的联合概率分布列与两个边缘分布列分别为

； ； .

概率 .
23 二维随机变量的联合概率分布为 ，且与相互独立，则 ； .
24 若随机变量服从的分布，，且与相互独立，求二维随机变量的联合概率分布及概率
25 设与是相互独立的随机变量，，.写出二维随机变量的联合密度函数，并求的二次方程有实根的概率。

26设某电子元件的寿命服从正态分布，抽样检查10个元件，得样本均值，样本标准差。求总体均值置信水平为的置信区间。（，）

27 已知二维随机变量()的分布律如下：

求随机变量X和Y的边缘分布律，并判断X和Y是否相互独立。