北师大九年级下专题训练(二、三)二次函数与几何的综合问题---生版.docx

专题训练(二) 求二次函数表达式的常见类型
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类型一 已知三点求表达式
1．已知：如图 3－ZT－1，二次函数 y＝ax ＋bx＋c 的图象经过 A，B，C 三点，求此抛物线的表达式．
2
图 3－ZT－1
2．如图 3－ZT－2①，已知抛物线 y＝ax ＋bx＋c 经过点 A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．
2
（1）求抛物线的表达式；
（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在 x 轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和 y 轴围成的图形的面积 S(图②中阴影部分)．
图 3－ZT－2
►
类型二 已知顶点或对称轴求表达式
3．如图 3－ZT－3，已知抛物线 y＝－x ＋bx＋c 的对称轴为直线 x＝1，且与 x 轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表
2
达式是______________．
图 3－ZT－3
4．在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为 A(1，－4)，且过点 B(3，0)，求该二次函数的表达式．
5．已知抛物线经过点 A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线 x＝2，求该抛物线的表达式．
1

6．如图 3－ZT－4，已知抛物线的顶点为 A(1，4)，与 y 轴交于点 B(0，3)，与 x 轴交于 C，D 两点，点 P 是 x 轴上的一个动
点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）当 PA＋PB 的值最小时，求点 P 的坐标．
图 3－ZT－4
►
类型三 已知抛物线与 x 轴的交点求表达式
7．抛物线与 x 轴交于点(－1，0)和(3，0)，与 y 轴交于点(0，－3)，则此抛物线的表达式为(
A．y＝x ＋2x＋3 B．y＝x －2x－3 C．y＝x －2x＋3 D．y＝x ＋2x－3
)
2
2
2
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8．如图 3－ZT－5，已知抛物线过 A，B，C 三点，点 A 的坐标为(－1，0)，点 B 的坐标为(3，0)，且 3AB＝4OC，则抛物线的
表达式为______________．
图 3－ZT－5
9．已知抛物线的顶点坐标为(1，9)，它与 x 轴有两个交点，两交点间的距离为 6，求抛物线的表达式．
►
类型四 根据图形平移求表达式
10．一个二次函数图象的形状与抛物线 y＝－2x 相同，顶点坐标为(2，1)，则这个二次函数的表达式为_____________________．
2
1
11．将抛物线 y＝ x 平移，使顶点的坐标为(t，t )，并且经过点(1，1)，求平移后抛物线对应的函数表达式．
2
2
2
2

12．把抛物线 y＝x 先向左平移 1 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度，得到如图 3－ZT－6 所示的抛物线．
2
（1）求此抛物线的表达式；
（2）在抛物线上存在一点 M，使△ABM 的面积为 20，请直接写出点 M 的坐标．
图 3－ZT－6
1
13．如图 3－ZT－7，经过点 A(0，－6)的抛物线 y＝ x ＋bx＋c 与 x 轴相交于 B(－2，0)，C 两点．
2
2
（1）求此抛物线的表达式和顶点 D 的坐标；
（2）将（1）中求得的抛物线先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 m(m>0)个单位长度得到新抛物线 y ，若新抛物线 y 的顶
1
1
点 P 在△ABC 内，求 m 的取值范围．
图 3－ZT－7
专题训练(三) 二次函数与几何的综合问题
类型一 二次函数与三角形的结合
9
1．如图 6－ZT－1，直线 l 过 A(4，0)和 B(0，4)两点，它与二次函数 y＝ax 的图象在第一象限内相交于点 P，若 S ＝ ，求
2
2
△AOP
二次函数的表达式．
图 6－ZT－1
3

2．如图 6－ZT－2，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝ax ＋bx＋c 与 x 轴相交于点 A(－1，0)和点 B，与 y 轴交于点 C，
2
对称轴为直线 x＝1.
（1）求点 C 的坐标(用含 a 的代数式表示)；
（2）连接 AC，BC，若△ABC 的面积为 6，求此抛物线的表达式．
图 6－ZT－2
►
类型二 二次函数与平行四边形的结合
3．如图 6－ZT－3，四边形 ABCD 是平行四边形，过点 A，C，D 作抛物线 y＝ax ＋bx＋c，点 A，B，D 的坐标分别为(－2，0)，
2
(3，0)，(0，4)．求抛物线的表达式．
图 6－ZT－3
►
类型三 二次函数与特殊平行四边形的结合
4．如图 6－ZT－4，直线 y＝－3x＋3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，抛物线 y＝a(x－2) ＋k 经过点 A，B，且与 x 轴交于另
2
一点 C，其顶点为 P.
（1）求 a，k 的值；
（2）抛物线的对称轴上有一点 Q，使△ABQ 是以 AB 为底边的等腰三角形，求点 Q 的坐标；
（3）在抛物线及其对称轴上分别取点 M，N，使以 A，C，M，N 为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．
图 6－ZT－4
1
9
5．如图 6－ZT－5 所示，顶点坐标为( ，－ )的抛物线 y＝ax ＋bx＋c 过点 M(2，0)．
2
2
4
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 A 是抛物线与 x 轴的交点(不与点 M 重合)，点 B 是抛物线与 y 轴的交点，点 C 是直线 y＝x＋1 上一点(位于 x 轴下方)，
k
点 D 是反比例函数 y＝ (k>0)图象上一点．若以点 A，B，C，D 为顶点的四边形是菱形，求 k 的值．
x
图 6－ZT－5
►
类型四 二次函数与几何变换的综合
4

6．如图 6－ZT－6 所示，已知抛物线 E：y＝－2x －4x，将其向右平移 2 个单位长度后得到抛物线 F.
2
（1）求抛物线 F 的表达式；
（2）设抛物线 F 和 x 轴相交于点 O，B(点 B 位于点 O 的右侧)，顶点为 C，点 A 位于 y 轴的负半轴上，且到 x 轴的距离等于点
C 到 x 轴的距离的 2 倍，求 AB 所在直线的表达式．
图 6－ZT－6
7．已知二次函数 y＝2x ＋4x＋k－1.
2
（1）当二次函数的图象与 x 轴有交点时，求 k 的取值范围；
（2）若 A(x ，0)与 B(x ，0)是二次函数图象上的两个点，且当 x＝x ＋x 时，y＝－6，求二次函数的表达式，并在所提供的
1
1
直角坐标系中画出它的大致图象；
2
2
1
（3）在（2）的条件下，将抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线 y＝ x＋
2
m(m<3)与新图象有两个公共点，且 m 为整数时，求 m 的值．
图 6－ZT－7
5

2．如图 6－ZT－2，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝ax ＋bx＋c 与 x 轴相交于点 A(－1，0)和点 B，与 y 轴交于点 C，
2
对称轴为直线 x＝1.
（1）求点 C 的坐标(用含 a 的代数式表示)；
（2）连接 AC，BC，若△ABC 的面积为 6，求此抛物线的表达式．
图 6－ZT－2
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类型二 二次函数与平行四边形的结合
3．如图 6－ZT－3，四边形 ABCD 是平行四边形，过点 A，C，D 作抛物线 y＝ax ＋bx＋c，点 A，B，D 的坐标分别为(－2，0)，
2
(3，0)，(0，4)．求抛物线的表达式．
图 6－ZT－3
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类型三 二次函数与特殊平行四边形的结合
4．如图 6－ZT－4，直线 y＝－3x＋3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，抛物线 y＝a(x－2) ＋k 经过点 A，B，且与 x 轴交于另
2
一点 C，其顶点为 P.
（1）求 a，k 的值；
（2）抛物线的对称轴上有一点 Q，使△ABQ 是以 AB 为底边的等腰三角形，求点 Q 的坐标；
（3）在抛物线及其对称轴上分别取点 M，N，使以 A，C，M，N 为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．
图 6－ZT－4
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5．如图 6－ZT－5 所示，顶点坐标为( ，－ )的抛物线 y＝ax ＋bx＋c 过点 M(2，0)．
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（1）求抛物线的表达式；
（2）点 A 是抛物线与 x 轴的交点(不与点 M 重合)，点 B 是抛物线与 y 轴的交点，点 C 是直线 y＝x＋1 上一点(位于 x 轴下方)，
k
点 D 是反比例函数 y＝ (k>0)图象上一点．若以点 A，B，C，D 为顶点的四边形是菱形，求 k 的值．
x
图 6－ZT－5
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类型四 二次函数与几何变换的综合
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6．如图 6－ZT－6 所示，已知抛物线 E：y＝－2x －4x，将其向右平移 2 个单位长度后得到抛物线 F.
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（1）求抛物线 F 的表达式；
（2）设抛物线 F 和 x 轴相交于点 O，B(点 B 位于点 O 的右侧)，顶点为 C，点 A 位于 y 轴的负半轴上，且到 x 轴的距离等于点
C 到 x 轴的距离的 2 倍，求 AB 所在直线的表达式．
图 6－ZT－6
7．已知二次函数 y＝2x ＋4x＋k－1.
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（1）当二次函数的图象与 x 轴有交点时，求 k 的取值范围；
（2）若 A(x ，0)与 B(x ，0)是二次函数图象上的两个点，且当 x＝x ＋x 时，y＝－6，求二次函数的表达式，并在所提供的
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直角坐标系中画出它的大致图象；
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（3）在（2）的条件下，将抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线 y＝ x＋
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m(m<3)与新图象有两个公共点，且 m 为整数时，求 m 的值．
图 6－ZT－7
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2．如图 6－ZT－2，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝ax ＋bx＋c 与 x 轴相交于点 A(－1，0)和点 B，与 y 轴交于点 C，
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对称轴为直线 x＝1.
（1）求点 C 的坐标(用含 a 的代数式表示)；
（2）连接 AC，BC，若△ABC 的面积为 6，求此抛物线的表达式．
图 6－ZT－2
►
类型二 二次函数与平行四边形的结合
3．如图 6－ZT－3，四边形 ABCD 是平行四边形，过点 A，C，D 作抛物线 y＝ax ＋bx＋c，点 A，B，D 的坐标分别为(－2，0)，
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(3，0)，(0，4)．求抛物线的表达式．
图 6－ZT－3
►
类型三 二次函数与特殊平行四边形的结合
4．如图 6－ZT－4，直线 y＝－3x＋3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，抛物线 y＝a(x－2) ＋k 经过点 A，B，且与 x 轴交于另
2
一点 C，其顶点为 P.
（1）求 a，k 的值；
（2）抛物线的对称轴上有一点 Q，使△ABQ 是以 AB 为底边的等腰三角形，求点 Q 的坐标；
（3）在抛物线及其对称轴上分别取点 M，N，使以 A，C，M，N 为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．
图 6－ZT－4
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5．如图 6－ZT－5 所示，顶点坐标为( ，－ )的抛物线 y＝ax ＋bx＋c 过点 M(2，0)．
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（1）求抛物线的表达式；
（2）点 A 是抛物线与 x 轴的交点(不与点 M 重合)，点 B 是抛物线与 y 轴的交点，点 C 是直线 y＝x＋1 上一点(位于 x 轴下方)，
k
点 D 是反比例函数 y＝ (k>0)图象上一点．若以点 A，B，C，D 为顶点的四边形是菱形，求 k 的值．
x
图 6－ZT－5
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类型四 二次函数与几何变换的综合
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6．如图 6－ZT－6 所示，已知抛物线 E：y＝－2x －4x，将其向右平移 2 个单位长度后得到抛物线 F.
2
（1）求抛物线 F 的表达式；
（2）设抛物线 F 和 x 轴相交于点 O，B(点 B 位于点 O 的右侧)，顶点为 C，点 A 位于 y 轴的负半轴上，且到 x 轴的距离等于点
C 到 x 轴的距离的 2 倍，求 AB 所在直线的表达式．
图 6－ZT－6
7．已知二次函数 y＝2x ＋4x＋k－1.
2
（1）当二次函数的图象与 x 轴有交点时，求 k 的取值范围；
（2）若 A(x ，0)与 B(x ，0)是二次函数图象上的两个点，且当 x＝x ＋x 时，y＝－6，求二次函数的表达式，并在所提供的
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1
直角坐标系中画出它的大致图象；
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1
（3）在（2）的条件下，将抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线 y＝ x＋
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m(m<3)与新图象有两个公共点，且 m 为整数时，求 m 的值．
图 6－ZT－7
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