教案（直线与圆的位置关系）.doc

直线和圆的位置关系(二)
教学目标：
1、理解直线和圆的位置关系．
2、掌握直线和圆的位置关系的数量关系判断方法及其运用．
教学重点：
确理解直线和圆的位置关系，会判断直线与圆的位置关系．
教学难点：
直线和圆的方程的应用
教学过程：
一、新课引入：
我们已经学习过用点到圆心的距离和圆半径的大小关系来判断点和圆的位置关系，现在我们用同样的数学思想方法来研究直线和圆的位置关系，请同学们回忆：1．点和圆有哪几种位置关系？2．怎样判定点和圆的位置关系？同样地，怎样判定直线和点和圆的位置关系？
二、新课讲解：
（一）直线和圆的位置关系的判定方法：
方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系.
①Δ＞0，直线和圆相交.②Δ=0，直线和圆相切.③Δ＜0，直线和圆相离.
方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.
①d＜R，直线和圆相交. ②d=R，直线和圆相切. ③d＞R，直线和圆相离.
（二）直线和圆相交或相切时要注意垂径直角三角形和切线直角三角形的性质运用：如图1，在圆中,与垂径直角三角形有关的结论有：①直线OM是弦AB的垂直平分线；②圆的半径r、弦心距d、弦长a之间的关系为： ；③若，则；;如图2,在切线直角三角形中，为圆的切线，则①；②；③设,则；④

图2

图1

【例1】已知直线x+2y=0被和圆x2+y2－6x－2y－15=0，求：（1）它们的交点坐标（2）求直线被圆所截得的弦长
解：由x2+y2－6x－2y－15=0，得（x－3）2+（y－1）2=25.
知圆心为（3，1），r=5.由点（3，1）到直线x+2y=0的距离d==.
可得弦长为2，弦长为4.
同类练习1：设圆上的点A（2，3）关于直线 的对称点仍在此圆上，且该圆与直线 相交的弦长为 ，求圆的方程.
提示： ）
同类练习2：一个圆与直线 相切于点P（4，-1），且圆心在直线 上，求圆的方程。提示：

【例2】 已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
分析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.
（1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.
得
∵m∈R，∴
2x+y－7=0， x=3，
x+y－4=0， y=1，
即l恒过定点A（3，1）.∵圆心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半径），
∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.
（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－，
∴l的方程为2x－y－5=0.

【例3】自点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程.
解：圆（x－2）2＋（y－2）2＝1关于x轴的对称方程是（x－2）2＋（y＋2）2＝1.
设l方程为y－3＝k（x＋3），由于对称圆心（2，－2）到l距离为圆的半径1，从而可得k1＝－，k2＝－．故所求l的方程是3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.
【例4】 已知圆x2+y2+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.（若O为圆心且OP⊥OQ，结果又如何呢）
解：将x=3－2y代入方程x2+y2+x－6y+m=0，得5y2－20y+12+m=0.
设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则y1、y2满足条件
y1+y2=4，y1y2=.
∵OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=0. 而x1=3－2y1，x2=3－2y2，
∴x1x2=9－6（y1+y2）+4y1y2.
∴m=3，此时Δ＞0，圆心坐标为（－，3），半径r=.

【例5】 已知⊙O方程为x2+y2=4，定点A（4，0），求过点A且和⊙O相切的动圆圆心的轨迹.
解：设动圆圆心为P（x，y），因为动圆过定点A，所以|PA|即动圆半径.
当动圆P与⊙O外切时，|PO|=|PA|+2；
当动圆P与⊙O内切时，|PO|=|PA|－2.
综合这两种情况，得||PO|－|PA||=2.
将此关系式坐标化，得|－|=2.
化简可得（x－2）2－=1.

随堂练习
1 若直线与圆相交于P、Q两点，且（其中O为原点），则k的值为( )
（A） （B） （C） （D）
2已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝，则　＝　　　 .
3. 设直线过点，且与圆相切，则的斜率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4 已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率k的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）

三、课堂小结：
1．从图形公共点看，直线和圆有两个公共点，直线和圆相交，直线是圆的割线；直线和圆有唯一公共点，直线和圆相切，直线是圆的切线；直线和圆没有公共点，直线和圆相离．
2．直线和圆的位置关系的数量关系：即直线l和⊙o相交 d＜r；直线l和⊙o相切 d=r；直线l和⊙o相离 d＞r．
3．目前判断一条直线是圆的切线的方法有二：其一是直线和圆有唯一公共点，特别要强调“唯一”一词的意义；其二是圆心到直线的距离等于圆的半径．

四、布置作业 教材p．132练习A组2．教材p．133习题B组4

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