期末复习：勾股定理.doc

初二期末复习专题二 勾股定理 姓名：____________
考点一：勾股定理
（1）勾股定理：
（2）结论：①有一个角是30°的直角三角形，_____________________________________;
②直角三角形斜边的中线，_____________________________________.
（3）勾股定理的验证
例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。
（1）在Rt△ABC中，∠C=90°
①若c=61，b=60，则a=__________； ②若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________.
（2）如果直角三角形的两直角边长分别为，2n（n>1），那么它的斜边长是（　　）
A.2n B.n+1 C.n2－1 D.
（3）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）
A.25 B.14 C.7 D.7或25
例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。
已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）
A.24 B.36 C.48 D.60
例3：探索勾股定理的证明
有四个斜边为C.两直角边长为a,b的全等三角形，拼成如图所示的五边形，利用这个图形证明勾股定理。

考点二：勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：
（2）常见的勾股数：
（3）直角三角形的判定方法：
例1：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状
（1）下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；
③△ABC中，a：b：c=3：4：5；④△ABC中，三边长分别为8，15，17．其中是直角三角形的个数（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（　　）
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
考点三：勾股定理的应用
例1：面积问题
（1）下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角
三角形，若正方形ABCD的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A. 13 B. 26 C. 47 D. 94
（2）如图1，△ABC为直角三角形，分别以AB，BC，AC为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系得：_______________;如图2所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积之间的关系为：_______________.

（图1） （图2） （图3）
例2：求长度问题
（1）如图3，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为______.

（2）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。

例3：最短路程问题 （图1） （图2）
（1）如图1，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线，若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是 。（结果保留根式）
（2）如图2，有一个长、宽、高为3米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短距离为 。
例4：航海问题
（1）一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．

（2）（深圳）如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。

例5：网格问题
（1）如图1，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是：____________；BC边上的高是____________.
_
B
_
C
_
A
（2）在图2中画出三边长分别为、、，正方形网格中的△DEF，若小方格边长为1，则△DEF的面积是____________.

（图1） （图2）

例6：图形问题
（1）如图，求该四边形的面积

（2）已知：如上图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°； ④BE2=2（AD2+AB2），其中结论正确的个数是（　　）

A．
1
B．
2
C．
3
D．
4

（3）如图，已知，在△ABC中，∠A= 45°，AC= ，AB= +1，则边BC的长为 ，∠ACB= °．

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