基于改进粒子群优化算法的投资组合优化研究.pdf

Jun.20232023年6 月JOURNALOFDONGGUANUNIVERSITYOFTECHNOLOGYVol.30No.3第30 卷第3期学院学报东莞理基于改进粒子群优化算法的投资组合优化研究吴昊魏文红张宇辉（东莞理工学院计算机科学与技术学院，广东东莞523808)摘要：传统粒子群优化算法存在种群单一，容易陷入局部最优解的问题，为提高粒子种群多样性，避免陷入局部最优，本文提出了一种基于改进的粒子群优化算法。该算法通过更改惯性权重、速度位置更新公式平衡算法全局搜索能力和局部勘探能力，避免粒子陷入局部最优，与此同时添加变异算子增加粒子种群的多样性。实验结果表明，改进的粒子群优化算法在求解投资组合优化问题时具有更快的收敛速度，并且能够求得更大的夏普比率。关键词：粒子群优化算法；种群多样性；局部最优；投资组合优化；夏普比率中图分类号：TP391文献标志码：A文章编号：10 0 9-0 312（2 0 2 3）0 3-0 0 32-0 9投资组合是投资者将一定数额的资金按照一定的比例分配到不同的股票或者证券当中。投资者进行投资组合的目的主要是在分散风险的同时获得相对高额收益。随着我国股票市场的飞速发展，越来越多的人会选择将资金投入到股票市场，以获得高额的回报收益，但是股票投资是一个高波动、高风险、高回报的投资方式。投资组合优化就是在投资组合中找到最优的投资组合，以便在降低个股投资风险的同时获得相对高额的收益。这种投资组合优化便成为了现代投资理论中的一个极具吸引力的研究课题。投资组合优化是一个NP难问题。1952 年，Markowitz提出了关于投资组合的均值一方差（M e a n-Va r i a n c e）模型（简称M-V模型）2，该模型奠定了现代投资组合优化问题的理论基础。模型采用股票组合的均值表示投资组合的预期收益率，用方差表示投资组合的风险。投资者总希望在能够承担的风险内获得较高的投资组合收益。基本的M-V模型可以如下表示：Nmax E=W(1)i1NNminR:W,Wcovj,(2)=111Ns.t.W=10W,1,(3）其中，W，表示第i种股票所持有的比例，；表示第i种股票的预期收益率，cou；表示股票i，j 之间的协方差。投资组合优化的目的是找到一组解W（W i，Wz，W s，W,）使式（1）最大，式（2）最小，即收益最大，风险最小。M-V模型被提出后，基于该模型的许多改进模型陆续被提出，如半方差3、带失真的均值方差4-5】、均值绝对偏差(6）等模型。但这些模型并未改变问题的复杂度，无论使用哪种模型，都存在NP难的问题。随着智能计算的发展，一些启发式算法如遗传算法7-9、模拟退火算法10 和神经网络1等算法被应用到解决该类问题上，这类算法虽然可以降低问题复杂度，但会因参数过多、计算复杂，需要经过大量的迭代，降低运算的效率。粒子群优化（Pa r t i c l e Sw a r mO p t i mi z a t i o n，PSO）算法能进行大范围的随机搜索，和其它智能算法相比，粒子群优化算法求得的最优解具有更高的精度、更快的收敛速度且参数设置较少，编程相对容易，但基本粒子群优化算法同时也存在容易陷人局部最优等缺点，需要对其进行改进。在投资组合优化的应用中，Talebi等人12 从德黑兰证券交易所选取股票数据，由此构建四种不同的投资组合，采用PSO算法解决了投资组收稿日期：2 0 2 2-0 9-11基金项目：国家科技创新2 0 30-“新一代人工智能”重大项目（2 0 18 AAA0101301)；广东省普通高校“人工智能”重点领域专项项目（2 0 19K ZD ZX10 11）；东莞市社会发展科技项目（2 0 2 118 0 0 90 47 2 2）。作者简介：吴昊（1998 一），男，河南漯河人，硕士生，主要从事智能计算研究，Email：98 1147 98 5 q q.c o m。*通讯作者：魏文红（197 7 一），男，江西南昌人，教授，博士，主要从事智能计算研究，Email：w e i w h d g u t.e d u.c n33吴昊，等：基于改进粒子群优化算法的投资组合优化研究第3 期合优化问题，得到了最优的资产分配策略。Shar-ma等人13】研究了PSO在期权定价中的特点并对PSO做出改进，通过减少PSO参数的数量，建立PSO粒子之间的合作关系，改进后的PSO算法有助于在更短的时间内达到最优的解决方案。Zhao等人14】提出了基于双向局部搜索（BLS）策略的粒子群优化方法，有效求解了复杂约束投资组合优化问题。刘冬华15】以以捕食策略对粒子群算法进行改进，改进后的算法有效改善了传统PSO存在的缺陷，并将算法应用到投资组合优化问题的求解当中。刘衍民等人16】运用广义学习策略和动态变异概率提升了PSO算法的性能，使粒子种群的多样性得到提升，并将改进的算法应用于对CvaR投资组合模型的求解中。常先英17 提出的改进粒子群算法以粒子的中心位置和邻域为导向，并将此算法用于求解CvaR模型，通过实验证明了此算法比原来更高效，但算法未考虑粒子局部搜索性能的改进。倪衍森18 等人将缩进因子的改进粒子群优化算法应用CVaR模型中以保证粒子的迭代过程都能在可行域中进行，但该算法不能改善粒子的局部搜索性能，也未提升种群多样性。本文从提升种群的多样性和避免陷人局部最优两方面对粒子群优化算法做出改进，并应用到均值方差模型的求解当中，通过实验证明改进的粒子群优化算法在求解投资组合优化问题时具有更快的收敛速度1模型构建投资组合优化问题是双重目标优化问题，即需要考虑如何在降低风险的同时收益最大化。为更好地平衡收益和风险之间的关系，将问题简单化，本文将两个优化目标合并为一个优化目标19，引人一个风险控制参数入。用入来衡量投资者对于风险的厌恶程度。入越小表明投资者能够承担更大的风险，若入=0 则说明投资者为了追求高额的收益可以不考虑任何风险；反之，入越大表明投资者越保守，越厌恶风险。传统的M-V模型是在理想的情况下成立，但在实际情况中，有许多约束条件需要考虑到。比如，基本约束条件包括所购买的股票金额不能高于所投资的金额，入的参数范围应该属于0-1；边界约束包括投资者对每只股票都有一定的购买权重上限8 和购买权重下限（假设对股票i的购买权重上限为8；，一般不考虑购买权重下限，将下限设定为0）。结合传统的M-V模型，本文构建的投资组合优化模型如下：NNNmin(入W.W,couj-(1-)ZW.),(4)S.t.W二(5)0W,1,(6)入 E0,1,(7)W.8;1(8)要降低风险的同时收益最大化，需利用一个风险控制参数入，使风险率减去收益率得到式（4），即可满足在降低风险的同时收益最大化，简化所求问题，其中式（5）、式（6）、式（7）为基本约束条件，式（8）为边界约束条件。2粒子群优化算法粒子群优化（ParticleSwarmOptimization，PSO）2 0】算法是受到鸟类觅食行为的启发而提出的一种群体智能优化算法。粒子群优化算法本质上是一种随机搜索算法，适合在动态、多目标优化环境中寻优。该算法具有参数少、收敛速度快、鲁棒性强等特点假设有N个粒子被初始化，用于搜索D维空间。对于粒子i，用X,=（x i，x 2，x，x i D）表示粒子的位置，用V=（u i，U z 2，U 3，U D）表示粒子的速度，Pbes表示个体最优解的位置，gbest表示种群的最优解的位置。在寻找最优值时，粒子根据式（9）和式（10）分别进行速度和位置更新：V(t+1)=V(t)+ciri(t)pes(t)-X(t)+C2r2(t)Egbes(t)-X,(t),(9)X,(t+1)=X(t)+V(t+1),(10)其中，C1、C2 为学习因子，i、2 为0，1之间的随机数。式（9）主要包含三部分，第一部分为“惯性”部分，表示粒子维持先前运动的趋势，第二部分为“认知”部分，表示粒子向自身历史最佳位置逼近的趋势，第三部分为“社会”部分，表示粒子向群体或邻域历史最佳位置逼近的趋势。为更好地平衡原始速度对新速度产生的影响，1998 年ShiYuhui提出了带有惯性权重的改进粒子群算法2 1，由于有较好的收敛性，被默认为标准粒子群算法（bpso），其粒子的速度和位342023年东莞理工学院学报置更新公式为式(11)和式（12）：V(t+1)=wV(t)+ciri(t)pbes(t)-X,(t)+C2r2(t)gbest(t)-X,(t),(11)X,(t+1)=X,(t)+V(t+1),(12)其中，表示在多大程度上保留原来的速度。当越大时，表示全局收敛能力较强，局部收敛能力较弱；当越小时，表示局部收敛能力较强，全局收敛能力较弱。3改进粒子群优化算法3.1惯性权重的改变在粒子群算法中，惯性权重影响着粒子的全局和局部的探索能力，是重要的参数之一。在搜索初期，粒子需要进行全局搜索时，较大；搜索后期接近最优解时，粒子应该更注重局部搜索以避免错过最优解，此时较小。在标准粒子群算法中，惯性权重采用线性递减法。虽然线性递减的方法可以在一定程度上平衡全局与局部的搜索，但一旦遇到复杂的非线性多元函数问题，就容易陷人局部最优。因此本文采用文献【2 2 提出的基于Logistic混沌映射来表示惯性权重。Logistic映射是非线性映射，产生的混沌序列具有良好随机性和空间遍历性，在进化计算中得到广泛应用。式（13）表示了Logistic映射关系，式(14)是表示惯性权重?的更新公式，R(t+1)=R(t)(1-R(t),(13)其中R(0)=rand()，R。0,0.2 5,0.7 5,1)，t 为迭代的次数，为参数，为了使R(t）始终位于0，1内，则E0，4，当E0，1时，系统的极限行为可以趋于固定值0，本文中取0.5w(t)=R(t)minmax(14)Tmax其中，本文中max=0.9,min=0.4，R（t）是由式（13）产生的随机数。T表示当前的迭代次数，Tmx表示最大的迭代次数。3.2速度、位置方程的改进为了能有效地增强前期粒子的全局搜索能力，增加后期粒子的局部搜索能力，本文提出自适应的粒子速度位置更新机制，通过当前粒子的适应度值与平均粒子的适应度值来判断粒子位于前期搜索还是后期搜索，利用式（15）计算当前的自适应度值。fit(x;(t)P;=N(15)N二1其中，fit（x（t)）表示粒子i在当前位置的适应度函数值，N为种群的个数。当p较大时，表示当前粒子的适应度值比种群的平均适应度值大很多，此时需要扩大全局的搜索；当p：较小时，表示当前粒子的适应度值比种群的平均适应度值相差不大，此时应扩大局部搜索。采用X=X+（1-）V更新粒子位置能够提高算法的全局搜索能力，采用X=X+V更新粒子位置能够提高算法的局部搜索能力。文献【2 3提出了一种均值粒子群优化（M e a n PSO）算法，利用个体最优和群体最优的Pbes(t)+gbes(t)Pber(t)-gbes(t)线性组合和分22别替代式（11）中的Pbes（t）和gbes（t）。MeanPSO粒子的搜索空间更广，使算法在前期有更大的可能搜索到全局最优解。搜索后期p；较小，粒子应更注重局部搜索，以免错过全局最优解。因此得到新的粒子速度位置更新公式式(16）和式（17)。V(t+1)=22wV(t)+ciri(t)pbes(t)-X,(t)+C2r2(t)gbes(t)-X,(t)else(16)X,(t+1)=wX,(t)+(1-w)V,(t+1)P;randLX,(t)+V(t+1)else(17)结合式（15）、式（16）、式（17），提出新的速度、位置更新公式式（18）、式（19）如下：22(X(t+1)=wX,(t)+(1-)V(t+1)(18)rV(t+1)=oV(t)+ciri(t)Pbes(t)-X,(t)+C2r2(t)gbes(t)-X,(t)X,(t+1)=X(t)+V(t+1)(19)35吴昊，等：基于改进粒子群优化算法的投组合优化研究第3期根据式（15）判断选取合适的速度位置更新公式。当p；8 时，说明当前粒子的适应度远大于种群的平均适应度值，粒子较为分散，属于搜索的前期，用式（18）进行速度和位置的更新，可扩大粒子的全局搜索能力，能更快速地找到最优解；当P；时，说明当前粒子的适应度和种群的平均适应度相差不大，粒子较为集中，属于搜索的后期，采用式（19）进行速度和位置更新，能够保证粒子的局部搜索能力，以寻找最优解。3.3单值变异算子由于PSO算法依赖群体之间的相互关系，粒子本身无变异机制，所以一旦陷入局部极值就很难跳出，因此本文引人类似于遗传算法的变异算子。引入变异算子，可以防止粒子陷人局部极值，增强粒子的多样性。但频繁的变异操作会导致收敛速度变慢同时破坏粒子向最优解的移动，因此本文采用轮盘赌策略，判断是否需要对粒子进行变异操作。首先确定变异概率p。，产生0，1之间的一个随机数r，如果rrand08速度、位置进行随机变异操作09else if p;10根据公式（18）进行速度、位置更新11else12根据公式（19）进行速度、位置更新13end14end15t=t+116 end17输出全局最优解gbest开始初始化参数计算粒子的适应度值计算粒子的个体最优值计算粒子的全局最优值N是否进行变异操作Y利用公式(18)(19)进行使用轮盘赌进行速度位置更新速度位置更新误差达到理想范围或者N达到最大送代次数Y结束图1pso_A算法流程图4实验分析4.1值参数6 取值对算法性能的影响在3.2 节中引人参数8 用来判断粒子位于全局搜索还是局部搜索。文献2 3中阈值为0，1之间的随机数，笔者认为阈值随机变化不利于准确确定粒子的当前状态，并将通过实验证明此观点，确定的最优值。实验选取表1中的4个测试函数（D=100），独立运行50 次，得到表2 结果。从表2 中结果可知，取0.8 时，对于单峰函数f，算法的收敛精度最高；对于多峰函数2、J4，算法的收敛速度最快；对于函数s，算法的收敛精度都要优于取1和随机数时的结果。因此为了更加准确地判断粒子的当前状态，本文8 取0.8。表2 中括号内的数字表示算法求得最优解时的平均迭代次数。4.2股票数据为证实改进的粒子群优化算法在求解均值方差模型投资组合优化问题上的有效性，本文选择了与标准粒子群优化算法（bpso）、文献【2 3提出的均值粒子群优化算法（Mean_pso）在求解362023年东莞理工学院学报表14个基本测试函数NoFunctionFormulationRangefoptSchwefelDDf=-10,100十2.22D-1f=sin?(TWi)(w;-1)21+10sin(w;+1)+(wd-1)?1+sin2(2wad),十台Levy-10,10 0 x-1Wi二14D-1D10sin2(my+Z(y:-1)1+10sin(my+1)+(y,-1)+ZU(x,10,100,4),Penalized-50,50 0k(x;一a),xa0，-axamk(-x;-a),xi-aD-1f=10sin(my1+(y-1)1+10sin(myi)+(y,-1)+(x,5,00 4),DJ4Penalized2-50,500k（x-，xaY),ux,0，-axamLk(-x;-a),xia表2 6 取不同值的优化结果0.60.81rand2.46e-2461.15e-2521.01e-2441.91e-2451.50e-321.50e-321.50e-321.50e-322(110)(94)(105)(115)4.71e-334.71e-336.11e-238.85e-161.35e-321.35e-321.35e-321.35e-32(112)(110)(200)(130)均值方差模型问题上进行实验对比。本文选用上证指数、HSI（恒生指数）、DJI（道琼斯指数）、IXIC（纳斯达克指数）、XIN9（富时中国A50指数）5个证券市场指数进行测试。利用Tushare金融数据接口采集5个证券市场指数的真实日行情数据。数据内容主要包括：指数代码，以及2 0 0 8年1月1日到2 0 18 年12 月31日各指数日收盘价数据。为更好地模拟现实投资，个股i的持有权重W保留小数点后四位图2 表示以10 0 为基点的5个证券市场指数的股价走势图。相关系数表示两个市场指数之间的相关性，当两个市场指数同增或同减时相关系数为正，否则为负。如果相关系数的绝对值大于0.5，则表明这两个股票市场指数具有较强的相关性。图3为股票市场指数的相关系数热力图。从图3中可以看出5个股票市场指数的相关系数绝对值均小于0.5，说明相关性较弱，因此选取5个股票市场指数进行投资组合能够有效地降低相应的风险。表3表示5个股票指数的均值与标准差，均225000001.SHHSI200DJI-IXIC175XIN915012510075502505001 00015002.0002.500图2股价走势图-1.0HS1000001-0.00210.00380.0190.055-0.8ISH-0.002110.007-0.0510.037-0.60.00380.00710.190.027-0.4DIXI0.019-0.0510.1910.025-0.26NIX0.0550.0370.0270.0251-0.0000001.SHHSIDJIIXICXIN9图3相关系数热力图值表示股票指数的年化预期收益率，标准差代表个股的风险。37吴昊，等：基于改进粒子群优化算法的投资组合优化研究第3期表3个股均值和标准差股票指数代码均值标准差000001.SH0.070.5070.25911231101525883HSI0.005 9740.2471874285882355DJI-0.051 2130.187 091 510 239 065 95IXIC-0.084 9580.2168794578887889XIN90.063.2330.279 452 999 548 071 84.3评价指标1）预期收益率：投资组合的预期收益率是均值方差模型的主要评价指标，预期收益率越大，说明能够获得的收益越大，预期收益率越大越好。2）风险率：用标准差表示投资组合的风险率，投资组合的目的是为了分散投资风险，因此标准差越小越好。3）夏普比率：夏普比率表示相对于风险的收益率，夏普比率越大越好，计算公式如式（2 0）。R-RSharpe Ration(20)其中，R，表示投资组合收益率，R，表示无风险收益率，表示投资组合收益率的标准差。4.4参数设置利用控制变量思想，主要考察改进的粒子群优化算法比标准粒子群优化算法、均值粒子群优化算法是否能更加有效地求解均值方差模型，并验证引人风险控制参数入是否能更好地拟合均值方差模型。根据多次实验，最终的实验参数设置如表4。表4参数设置参数值种群规模NP50最大送代次数iternum250最大惯性权重max0.9最小惯性权重Wmin0.4学习因子1CI1.85学习因子2C22粒子最大速度Vmax20粒子最小速度Vmin-20变异概率P。0.054.5实验结果为验证引人风险控制参数入能否更好地拟合均值方差模型，分别取入为0.2、0.5、0.8 进行三次实验。为消除偶然性，在不同的参数情况下，运行50 次取平均结果。表5表示不同入值分别运行50 次得到的最优解、收益率、标准差和夏普比率的平均结果，表5结果数据表入算法参数权重最优解收益率/%标准差夏普比率bpso(0.664 1,0.018 7,0.000 1,0.000 0,0.317 1)-0.072019.89590.19570.50560.2Mean_pso(0.665 2,0.000 0,0.006 2,0.001 5,0.327 1)-0.071 299.90870.197 20.5023pso_A(0.559 8,0.000 0,0.000 0,0.000 0,0.440 2)-0.0725510.001 40.193 00.5179bpso(0.442 8,0.048 6,0.001 6,0.000 0,0.507 0)0.031029.65590.18570.51970.5Mean_pso(0.568 9,0.000 5,0.0010,0.000 2,0.429 4)-0.031 309.98270.190 00.5172pso_A(0.504 4,0.049 7,0.000 0,0.000 0,0.445 9)-0.031 459.678.40.18410.5257bpso(0.328 7,0.220 5,0.159 8,0.021 6,0.269 4)0.001956.099 30.132 90.458 60.8Mean_pso(0.326 4,0.2345,0.1464,0.0255,0.2672)0.001 946.12410.133 10.459.8pso_A(0.3288,0.2330,0.1471,0.0236,0.2675)0.001906.15600.13340.461 2比较表5得到的实验数据，无论入取何值，pso_A算法均能得到较大的夏普比率，说明通过pso_A算法计算得到的投资组合能够在控制风险的同时收益最大化。入为0.2 和0.5时，通过pso_A算法计算得到的风险率都是最小的，虽然入为0.8时计算得到的风险率比bpso算法高，但是夏普比率较高，说明pso_A算法得到的投资组合是在风险可控的范围内可获得尽可能高的收益。对比表5和表3的实验数据可知，当入为0.2时，投资组合的风险大于个股风险的最小值。当入为0.8 时，投资组合的收益小于个股收益的最大值。当入为0.5时，投资组合的风险小于个股风险的最小值，收益大于个股收益的最大值。这进一步说明了当投资者控制好风险参数，投资0.100.080.060.040.020.00-0.02-0.040.120.140.160.180.200.22risk图4有效前沿2023年38东莞理工学院学报组合比个股投资的风险低，而获得的收益较高。采用蒙特卡洛模拟产生40 0 0 个随机的投资组合，生成风险与收益的有效前沿，如图4。图5为三种算法在不同的入值下优化投资组合的收敛过程。从图5中可以看出，无论入取何值时，pso_A算法具有更快的收敛速度，且能取得更小的结果。图6 表示三种算法在不同入值下优化投资组合的收益图。从图6 中可以看出，pso_A算法相比较bpso算法和Mean_pso算法能够更快地获得较高的收益。图7 表示三种算法不同入值下的有效前沿。从图7 中可以看出，随着控制风险参数入的增大，风险率越来越小，说明投资者越来越保守，这证明了风险控制参数入能够很好地拟合均值方差模型。-0.0550-0.022一bpso-bpso-bpso-0.0575-Mean_pso-Mean_pso0.002.6-Mean_pso-.-pso_A-0.024-Pso_A0.002.5-pSo_A-0.06000.002.40.06254-0.026sinsoi0.0023-0.065 0-0.0280.0022-0.06750.0021-0.0700-0.0300.002.0-0.0725-0.0320.0019050100150200250050100150200250050100150200250iteriteriter(a)入=0.2(b)入=0.5(c)入=0.8图5收敛曲线图0.1000.1000.0650.0950.0950.0900.0900.0600.0850.0850.0800.0550.0800.075bpso-bpso0.0500.070bpso0.075-Mean_pso-Mean_pso-Meanpso-pso_A0.065-pSo_Apso_A0.0700.045050100150200250050100150200250050100150200250iteriteriter(a)入=0.2(b)入=0.5(c)入=0.8图6收益图0.100.100.080.080.080.060.060.060.040.040.040.020.020.020.00bpsoMean_pso0.00bpsoMean_pso0.00Mean_psobpso-0.02pso_A-0.02pso_A-0.02pso_A-0.04equal_weight-0.04equal_weight-0.04equal_weight0.12 0.140.16 0.180.200.220.120.14 0.160.180.200.120.140.160.180.20riskriskrisk(a)入=0.2(b)入=0.5(c)入=0.8图7有效前沿5结语pso_A算法通过在标准粒子群优化算法的基础上加入变异算子、改变速度位置更新公式、通过Logistic映射改变惯性权重，改进后的算法在求解均值方差的投资模型中，能够以更快的速度收敛寻找到最优解，并且能够获得较大的夏普比率，说明在控制风险的同时能获得收益的最大化，引入风险控制参数入能够更好地控制风险，确保在风险一定时获得较高的收益。同时通过和个股实验数据的对比可知，进行投资组合可以有效地39吴昊，等：基于改进粒子群优化算法的投资组合优化研究第3期降低投资风险，这说明进行投资组合的必要性。但实际的投资组合优化问题中往往有很多不确定的因素存在，因此在未来的工作中，将增加选股池中股票的数量以及通过改进的粒子群算法进行神经网络优化，并通过神经网络解决相关问题。参考文献1LI G C,XIAO Q X.Hybrid meta-heuristic algorithm for solving cardinality constrained portfolio optimizationJ.Application Research of Com-puters,2013,30(8):2292-2297.2HARRY Markowitz.Portfolio selectionJ.Journal of Finance,1952,7(1):77-91.3MARKOWITZ H M.Portfolio selection:efficient diversification of investments MJ.New York:Yale University Press,John Wiley,1991.4KONNO H.Portfolio optimization of small scale fund using mean-absolute deviation model J.International Jourmal of Theoretical and AppliedFinance,2003,6(4):403-418.5KONNO H,KOSHIZUKA T.Mean-absolute deviation modelJ.IIE 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traditional particle swarm optimization algorithm has the problem that the population is single and easily fallsinto local optimum solution.In order to improve the particle pupulation diversity and avoid falling into local optimum,an improvedparticle swarm optimization algorithm is proposed in this paper.The algorithm balances the global search ability and local explorationability of the algorithm by changing the inertia weights and velocity position update formula to avoid the particles falling into local op-timum,while adding variational operators to increase the diversity of the particle population.Experimental results show that the im-proved particle swarm optimization algorithm has faster convergence speed and can find larger Sharpe ratios when solving portfolio op-timization problems.Key words particle swarm op