三阶非线性系统的线性边值问题.pdf

第44卷第3期2023年6 月文章编号：16 7 3-9590(2 0 2 3)0 3-0 117-0 4大连交通大学学报JOURNALOFDALIANJIAOTONGUNIVERSITYVol.44No.3Jun.2023三阶非线性系统的线性边值问题王国灿（大连交通大学理学院，辽宁大连116 0 2 8）摘要：研究一类三阶非线性系统的线性边值问题，利用微分不等式理论和积分算子给出解的存在性，结果表明所用技巧可以被应用到其他相应的边值问题研究中。关键词：三阶微分；存在性；积分算子；微分不等式文献标识码：AD0I:10.13291/ki.djdxac.2023.03.021关于三阶非线性方程的多种边值问题已有不少研究资料和系列成果 1-6,但有关三阶非线性系统(多个方程)边值问题的相关研究并不多见 7 本文利用二阶方程组的已知结论和上下解技巧8，讨论某一类三阶非线性系统的线性边值问题：x=f(t,x,x,x)x(0)=A,a,x(0)-azx(0)=B,b,x(1)+bzx(1)=C研究系统(1)与(2)的解的存在性,这里f和A、B、C是n维向量，1va2、b i、b,是n阶半正定矩阵,且a,+a,b,+b,是正定矩阵,函数f在0,1 RRR上连续。1预备定理考虑下列一个二阶微分方程组的线性边值问题：u=f(t,Tu,u,u)(3)a,u(0)-azu(0)=B,b,u(1)+b,u(1)=C式中:T,u;=;(t)+t K(t,s)u,(s)ds;函数K(t,s)在 0,10,1上连续非负;(t)在 0,1上连续,i=1,2,n;uf和AB、C是n维向量,avz、b,b,是n阶半正定矩阵,且a+a,b,+b,是正定矩阵,函数f在 0,1RRR上连续。定义向量不等式(t）u(t)(t)表示其分量之间有相同的不等关系,即;（t）u(t)(t)（i=1,2,n);符号|u(t)|,ITu(t）|r 也表示其分量间有关系u（t）r，l T,u(t)|r,这里u(t)是u中的第i个分(1)量,其余类似;符号u,表示（ui，,u i-1,;,ui+1，.,un）;符号uTa,表示（T,u,T,-ui-,T,i,(2)Tilui+,T,un);符号ua,表示(u,ui-1,at,ui-1,u,);符号f(t,ura,ua,ua）表示f(t,T,ui,.,T,-ui-1,T,a;,Tui+1,.,T,un,ur,.,ui-,i,ui+,un,u,u-,ui+1,u，）,其他以此类推。定理1如果下列条件成立：(1)f(t,u,w)在 0,1 RR上连续,且对任意的r;0（i=1,2,n）,存在 0，+）上的正值连续函数h（s），满足-ds=+8,使得h;(s)(4)当o t l，u l r 时，If(t,u,w)lh;(|w;1)。(2)存在函数;(t),(t)E C0,1 满足:;(t)(t),0 t 1(5)(t)fi(t,ua,ua,),0t1(6)(t)f(t,up,ug,),0 t 1(7)收稿日期:2 0 2 2-0 1-15第一作者：王国灿(196 3一）,男,教授。E-mail:118大连交通大学学报第44卷(14)对实向量B、C有：a(0)-az(0)Ba(0)-a,(0)(8)b,(1)+b2(1)Cbi(1)+b(1)(9)则 u=f(t,u,u),a,u(0)-azu(0)=B,b,u(1)+b,u(1)=C存在解u(t),且(t)u(t)(t),0tl。这是文献8 中的定理。定理2 如果下列条件成立：(1)f(t,v,u,w)在 0,1 RRR上连续,且对任意的r；0（i=1,2,n），存在+800，+）上的正值连续函数h（s），满足0Sds=+,使得当0 t1,lu|r,lu|h;(s)r时,lf(t,u,u,w)/h;(|w;l)。(2)对固定t,u,w,f(t,v,u,w）关于v;单调不增。(3)存在函数;(t),;(t)C0,1 满足:;(t)(t),0 t 1(10)(t)f(t,ur,ua,ua,),0 t 1(11)T;(t)f(t,ure,up,ug,),0 t 1(12)TP;则对于实向量B、C有：a(0)-az(0)Ba(0)-a(0)(13)b,(1)+bz(1)Cbi(1)+b,(1)此时边值问题（3）（4)存在解向量u(t），且不等式(t)u(t)(t),0t1成立。证明:令初始迭代函数u()（t)=(t)，则考虑到在 0,1 0,1上K,(t,s）0,以及定理条件（1）（3），可以从下列边值问题得到序列(u1f:u=f(t,Tu,u,u)a(0)-z(0)Ba(0)-a(0)(16)br(1)+bz(1)C bi(1)+b,(1)(17)它们具有以下性质：(t).u(m)(t)u(m-)(t).:u()(t)(t),0t1事实上,当n=1时,取u()(t)=(t）,则知(t)和(t)是方程u=f(t,Tu()u,u）的上解与下解,且:a(0)-az(0)Ba(0)-a,(0)(19)b,(1)+bz(1)Cb,(1)+b,(1)(20)依据定理1可知边值问题：u=f(t,Tu(0),u,u),au(0)-a,u(0)=B,b,u(1)+b,u(1)=C(21)存在解u(t)(任取其中一个解),使得(t)u()(t)(t)=u()(t),0t1。当m=h时,存在解u()(t)且(t)u()(t)u(k-1)(t)(t),0t1,则当m=k+1时,边值问题为：(15)(18)u=f(t,Tu(*),u,u),aju(0)-azu(0)=B,bru(1)+bzu(1)=C当0 t1时,有：f(t,Ta),a,ua,)f(t,Ta,ua,a,)a(t)(t,Ta(),us(),ura(%)f(t,Tasg-1),us(),ra(h)=u(t)且aj(0)-a,a(0)Ba,u()(0)-a,u()(0)br(1)+b,(1)C b,u()(1)+b,u()(1)1(22)(23)(24)(25)(26)第3 期从而存在u(+1)(t），满足(t）u(k 1)(t）u()(t）(t),0t1,据归纳法可得不等式(1 8)对任意自然数均成立。从条件(1)、(3)、（4)可知：p:(t)q;(s)p:(t)q;(t)-q;(t)p(t)这里 G,(t,s)P:(s)q;(t)(p:(t)q;(t)-q;(t)p(t)azu（0）=0,b,u(1）+b z u（1）=0 的两个线性无关的解，Qt）为边值问题u=0,a,u(0）-a,u（0)=人B，b,u(1）+b,u（1）=C的唯一解,从而由定理所给条件（1)知,存在两个非负常数Ni,Nz,使得：又根据边值问题um=f(t,T u(m-1),u(),u m),a j u(m)(（0)-a,u(0)=B,b r u()(1)+b,u（）（1)=C可以得到序列 u（，u ）在区间0,1 上满足一致有界及等度连续，于是由阿尔采一阿斯科利拉定理和拉贝格控制收敛定理，可知结论为真。2主要结果下面利用上述的已知结论，分析边值问题（1）（2)解的存在性。定理3 假设下列条件满足：（1)f(t,x,x ,x ）在0,1 RRR上连续,且对任意的r;0（i=1,2,n）,存在0,+）上的正值连续函数h（s），满足ds=+,使得当0 t1，lx|r，l|r时,h;(s)If(t,x,x,x)/h,(/x,1)。(2)对固定t,x,x，f(t,x,x ,x ）关于x;单调不增。(3)存在函数;(t),(t)=C0,1 满足:则对于实向量A、B、C有：边值问题(1)（2)存在解向量(t），而且不等式(t）(t）(t），0 t 1 成立。证明：令=u，由此可得x;（t）=A;+u(s)d s=T,u i，于是三阶边值问题(1）（3)可以转化为下述二阶问题：(36)a,u(0)-azu(0)=B,b,u(1)+b,u(1)=C(37)王国灿，等：三阶非线性系统的线性边值问题u(t):G(t,s)f(s,Tasm-1),ua,ua,)ds+Q.(t),0st1，p(t),q(t)为边值问题u;=0,a,u(0）-,0ts1u(m)(t)|Ni,Iu(m)|N2,0t1,n=1,2,.S;(t)(t),(t)(t),0 t 1(t)f(t,ura,a,ua,ua,),0 t 1(t)f(t,urp:,up,ug,ug,),0 t 1(0)A(0)aj(0)-z(0)Ba(0)-a(0)b,(1)+bz(1)C b(1)+b,(1)119(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)u=f(t,Tu,u,u)120大连交通大学学报第4 4 卷选取;(t)=;(t)-8,;(t)=(t)+82i,其中8:=;(0)-A,82=A,-;(0),从而;(0)=(0)=A,使;=i,;=i,显然有ii。;(t)=A,+i(s)ds,(t)=A,+/此外,从定理条件(3)及f的单调性可知,当0 t1时,有：if(t,ur,t,uTat,f.(t,urTa,(0)-az,(0)Ba,(0)-a(0)br(1)+bz(1)Cbi(1)+b,(1)于是（t）,（t）是问题（3 6）（3 7)的下解、上解，据定理2,边值问题（3 6）（3 7)存在解u（t），且（t）u(t)（t),0 t l。注意到关系式x(t)=u(t）,可见x;(t)=A,+/u,(s)ds,同时有(t)x(t)(t),0t 1成立。参考文献：1王国灿.某一类非线性三点边值条件的三阶奇摄动边值问题J.大连交通大学学报，2 0 1 8,3 9（5）：1 1 1-113.2王国灿.三阶非线性三点边值问题解的存在性和唯一性J.大连交通大学学报,2 0 1 2,3 3（3）：8 6-8 9.3裴明鹤，吕学哲.两类非线性三阶三点边值问题解的存在性J.北华大学学报（自然科学版），2 0 1 5，1 6(1):1-4.4 王国灿,李莉.三阶非线性三点边值问题解的存在性和唯一性J.大连交通大学学报，2 0 1 5,3 6（3）：1 0 9-112.;(s)ds5GAO Y X,WANG F Q.Existence of solutions of three-point boundary value problems for third-order nonlineardifferential equation J.Journal of Natural Science ofHeilongjiang University,2015,32(4):421-427.6 丁海云，倪明康.高阶非线性奇摄动微分方程的三点边值问题J.应用数学学报，2 0 1 3,3 6（2）：3 1 5-3 2 3.7 林苏榕.三阶非线性向量微分方程奇摄动边值问题解的高阶近似J.福建师范大学学报（自然科学版），2013,39(1):9-14.8 LASKISHMIKANTHAM.An intorduction to nonlinearvalue problems M.New York:Academic Press,1974.(38)(39)(40)(41)(42)Robin Boundary Value Problem of A Class of Third Order Nonlinear SystemsWANG Guocan(School of Science,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China)Abstract:Robin boundary value problems for third order nonlinear systems are studied by the method of dif-ferential inequality theories.Based on suit condition,the existence of solution was established.The resultshow that this technique can be applied in solving other boundary value problem.Keywords:third order differential;existence;integral operator;differential inequality