上海市复旦附中2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题.docx

上海市复旦附中 2020-2021 学年高二上学期期末考试数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、填空题+1 = 01准线方程为 y的抛物线标准方程为_( )A1,2+ y = 52已知圆 x2和点，则过点 A的圆的切线方程为_2xy223若椭圆 + = 的弦被点14,2平分，则此弦所在直线的斜率为36 9cosqx =R）化为普通方程是_4参数方程（q 为参数，且qy= 2 +sin2qxy ( )x y22225已知椭圆 + =1 a 0- =1有相同的焦点，则a 的值为_与双曲线a249 34x - 2y =16设 F 和 F 为双曲线22的两个焦点，点 在双曲线上，且满足P12DF PFF PF = 60，则的面积是_1212( )1, 1+PA PF取= 4x7已知抛物线 y2的焦点 F 和A，点 为抛物线上的动点，则P到最小值时点 的坐标为_Px2y2x- 2y -12 = 0+ =18椭圆上的点到直线的距离最大值为_16 12x2y2- =1| PF|=69双曲线F F的左右焦点分别为 、 ， 为右支上一点，且，P4 b2121PF PF = 0 则双曲线渐近线的夹角为_12( )-4,02210已知定点 P求圆心 M 的轨迹方程_: x + y = 8x和定圆Q，动圆 M 和圆 外切，且经过点 ，QP( )( ) 0相切于= 4xA, B5-2y r r+ =11设直线 与抛物线 y相交于两点，与圆 xl222点 M ，且 M 为线段_.的中点. 若这样的直线 恰有 4 条，则r 的取值范围是lAB: mx - y - 3m +1 = 0 l : x + my - 3m -1 = 012已知l与相交于点 ，线段PAB 是圆12 ( ) ( )C : x +1 + y +1 = 4的一条动弦，且 AB= 2 3|+ PB|，则 PA 的最小值是22_二、单选题 0 P a,b ab 0，点14已知O的方程 x2是圆O内一点，以 为中22Pmn+ =点的弦所在的直线为 ，直线 的方程为ax by r2 ，则（）A m n，且 与圆O相离nBm n n，且 与圆O相交m nnnC 与 重合，且 与圆O相离Dm n ，且 与圆O相交 xy2215椭圆 + = 上有 个不同的点 P,P ,P , ,P1nP F，椭圆右焦点F ，数列16 15n123n1n的等差数列，则 的最大值为（是公差大于）2018A2017B2018C4036( )2px p 0的焦点 F 作直线交抛物线于 A、 两点，以 ABD403716如图，过抛物线 y2 =B为直径的圆与准线 l 的公共点为 M，若AMF = 60，则MFO的大小为（ ）A15B30C45D不确定三、解答题: y = 4x,与直线 交于 A B 两点,L17已知抛物线C2y = 2x - 4（1）若直线 L 的方程为，求弦的长度；AB（2）O为坐标原点，直线 L 过抛物线的焦点，且 DAOB 面积为2 2，求直线 L 的方程. x2y218已知双曲线 :-=1C43（1）求与双曲线C 有共同的渐近线，且实轴长为 20 的双曲线的标准方程；（2） 为双曲线C 右支上一动点，点 A的坐标是（4，0），求PA的最小值P: x + y = 419已知曲线C，点 N 是曲线C 上的动点，O是坐标原点22（-3，4）（1）已知定点M，动点 满足POP OM ON=+，求动点 的轨迹方程；P2p（2）如图，设点 A为曲线C 与 x 轴的正半轴交点，将点 A绕原点逆时针旋转得到3点 ，B点 N 在曲线C 上运动，若ON mOA nOB+=，求m + n的最大值3( ) ( )x2y2(): + =1 a b 0，四点P 1,1 P 0,1 P -1, 、20已知椭圆C、1223a2b23P 1, 中恰有三点在椭圆C 上。24（1）求C 的方程：+ y =1对称？若存在，请求出（2）椭圆C 上是否存在不同的两点M 、 N 关于直线 x直线 MN 的方程，若不存在，请说明理由；（3）设直线 不经过点 P 且与C 相交于 A、 两点，若直线P A 与直线 P B 的斜率的lB222和为 1，求证： 过定点。l( )()G:2 a -2 x -by2 +b -4 = 0 a,bR21已知曲线( )-1,0G且与曲线 只有一个公共点的直线方程：（1）若a = b = 4 ，求经过点= 4，请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论（2）若 aG如何变化，这两个点都不在曲线 上；b= x(0 x 1)有公共点，求 + 的最小值。G2（3）若曲线 与线段ya2 b 参考答案1 x2= 4y【解析】【分析】根据准线方程得到抛物线的开口方向和 p 的值，即得抛物线的标准方程.【详解】由题得抛物线的准线方程为y = -1，所以抛物线的开口向上，设抛物线方程为p2 = 2 , =1, = 2= 4y .xpyp，所以抛物线的标准方程为 x22= 4y故答案为： x2【点睛】(1)本题主要考查抛物线的标准方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)求抛物线的标准方程，一般利用待定系数法，先定位，后定量.+ 2y = 52 x【解析】【分析】先由题得到点A在圆上，再设出切线方程为 y- 2 = k(x -1),利用直线和圆相切得到k的值，即得过点 A 的圆的切线方程.【详解】( )A 1,2- 2 = k(x -1),即因为1 + 2 = 5 ，所以点在圆上，设切线方程为ykx-y-k+2=0,22-k + 2+ (-1)125 =,k = -因为直线和圆相切，所以，k2211- x - y + + 2 = 0所以切线方程为，22所以切线方程为 x+ 2y = 5，+ 2y = 5故答案为： x【点睛】（1）本题主要考查圆的切线方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能 Ax + By + CP(x , y ) 到直线l : Ax + By +C = 0=力.(2) 点的距离d00.00A B+221-32【解析】A(x , y ) B(x , y ) .因为(4, 2)试题分析：设弦两端点为，是A,B的中点，所以1122x2y2x2y2x + x = 8, y + y = 4=1，+=1，两式，将A,B两点代入椭圆方程得+112236 936 91212x2- x21y2- y2+= 01相减得整理得，22369y - yx + x12y - y1= -= -k =AB= -2121，即21x - x4(y + y )x - x2212121考点：中点弦问题+ y = 34 x2【解析】【分析】 = cos qx22由题得 ，再把两式相加即得参数方程的普通方程.，两式相加得 x2 + y - 2 =1, x2 + y = 3 .y - 2 = sinqq2【详解】 = cos qx22由题得 y - 2 = sin2+ y = 3所以普通方程为 x2.故答案为: x2 + y = 3【点睛】(1)本题主要考查参数方程化普通方程，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 参数方程消参常用的方法有三种.加减消参：直接把两个方程相加减即可消去参数.代入消参：通过其中的一个方程求出参数的值，再代入另外一个方程化简.恒等式消参：通过方程计算出sina、cosa，再利用三角恒等式sin a + cos a =1消去参数.2254 【解析】【分析】由题得 a - 4 = 9 + 3，解之即得 a 的值.2【详解】由题得 a - 4 = 9 + 3，所以 a=4,2故答案为：4【点睛】（1）本题主要考查椭圆和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)椭圆中 = - ，双曲线中c = a + b .c2a2b2222362【解析】【分析】123 = PF | + PF | -2 PF PF 22PF PF =1，即1212先求出双曲线的a,b,c,再利用 求出121PF - PF =12得三角形的面积.【详解】111 1 33= ,b = ,c = + = ,c =.由题得 a222424 2 4213 = PF | + PF | -2 PF PF 222 ,=11212PF PF1由题得2PF - PF =1121133p= PF PF sin = 2=所以 S.23 222123故答案为：【点睛】2(1)本题主要考查双曲线的几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形的面积，意在考查学 生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答圆锥曲线问题时，看到焦点和焦半径要联想到曲线的定义提高解题效率.1( ，1)74【分析】设点 P 在准线上的射影为 D，由抛物线的定义把问题转化为求|P A|+|PD|的最小值，同时可推断出当 D，P，A 三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得【详解】过点 P 作 PB 垂直于准线，过 A 作 AH 垂直于准线，PA+PF=PA+PBAH，14，1 .此时最小，点 P 与点 A 的纵坐标相同，所以点 P 为14故答案为，1【点睛】(1)本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2) 解答圆锥曲线问题时，看到焦点和焦半径要联想到曲线的定义提高解题效率.8 4 5【详解】x4cosq设椭圆的参数方程为，y2 3sinq4cosq - 4 3sinq -124 554 55pdq - 3 q -3cos sin2cos q +-3 ，53 p当 cos4 55q+ 1 时，d ，此时所求点为(2，3)min36p 2arctan9 -2【分析】利用双曲线的定义，求出PF = 2，通过焦点三角形面积公式求出 b，然后求出双曲线的渐2近线方程，即可得到双曲线渐近线的夹角【详解】PF = 2， PF PF= 0,PF PF根据题意，212121= b cot45 = PF PF = 6,b = 6,由焦点三角形面积公式S2022126渐近线为 y = x ，262p 2arctan夹角为 -6p 2arctan-故答案为【点睛】2本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，注意焦点三角形面积公式的应用x y22- =110双曲线的左支4 12【分析】画出图形，利用双曲线的定义转化求解即可【详解】结合图象可得，|MQ|MP|=4，可得 a=2，c=4，则 b=2 3，x2y2- =1M 的轨迹为双曲线的左支4 12x2y2- =1故答案为双曲线的左支4 12 【点睛】(1)本题主要考查点的轨迹方程,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 求轨迹方程的四种主要方法:待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程.代入法：如果点 M 的运动是由于点 的运动引起的，可以先用点M 的坐标表示点 的坐PP标，然后代入点 满足的方程，即得动点M 的轨迹方程.直接法：直接把已知的方程和P(x, y)j条件化简即得动点的轨迹方程.参数法：动点M的运动主要是由于某个参数 的变(j)x = f化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即j)，再消参.y = g(11（2，4）【解析】( ) ( )x = ty + m，y B x ，y，A x设直线l 的方程为，1122= 4xy - 4ty - 4m = 02把直线l 的方程代入抛物线方程 y2，整理可得：y + y = 4t ， y y = -4m则 =16t +16m 0，2121 2( ) ( )x + x = ty + m + ty + m = 4t + 2m则21212( )2t2 + m，2t 线段的中点 MAB( )由题意可得直线 AB 与直线 MC 垂直，且C 5，0 0时，有2t - 0= -1当tK KMCAB1 = -1即，整理得m = 3- 2t22t2 + m -5 t把 m = 3- 2t 代入到 =16t +16m 022 可得3- t 0，即0 t 322由于圆心 到直线 AB 的距离等于半径C5- m1+ t222 + 2t1+ td = 2 1+ t = r即222 r 4，此时满足题意且不垂直于x 轴的直线有两条= 0x = 5 r，当t时，这样的直线 恰有2 条，即l0 r 1+ 2因为圆 和圆 的圆心距为D22，P所以两圆外离，所以| |最小值为PD3 2 -1- 2 = 2 2 -1，所以|PA + PB|的最小值为 42 2.2 2.故答案为：4【点睛】平面向量具有代数与几何双重身份，是沟通代数与几何的桥梁。平面向量模的最值问题一般以选择题或填空题的形式出现。解决此类问题关键在于正确运用相关知识，进行合理转化，常用方法有（1）利用向量基本知识转化为函数最值问题；（2）利用坐标进行转化，结合图形求最值；（3）利用向量模的性质求解；（4）利用几何意义，数形结合求解。13D【分析】b- x = -y，即得曲线是焦点在 轴的双曲线.先化简方程得 y22a【详解】bb- x = -y0，所以曲线是焦点在 轴的双曲线.化简得 y22，因为 ab0,所以aa故答案为 D【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.14A【分析】利用直线 m 是以 P 为中点的弦所在的直线可求得其斜率，进而根据直线n 的方程可判断出两直线平行；表示出点到直线 n 的距离，根据点 P 在圆内判断出 a，b 和 r 的关系，进而判断出圆心到直线 n 的距离大于半径，判断出二者的关系是相离【详解】直线 m 是以 P 为中点的弦所在的直线直线 mPO，am 的斜率为 ，b a直线 n 的斜率为 ，bnmr2圆心到直线 n 的距离为a2+ b2P 在圆内，a +b r ，222| r2|r，直线 n 与圆相离.a2+ b2故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查直线的位置关系，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判断直线与圆的位置关系常用的方法，(几何法)：比较圆心到直线的距离 与圆的半径r 的大小关系：dd r 直线与圆相离. d15C【分析】由已知求出 c，可得椭圆上点到点 F 距离的最大最小值，由等差数列的通项公式求得公差，1再由公差大于【详解】求得 n 的最大值2018由已知椭圆方程可得：a =16，b =15，则 c=122|P F|=ac=3，当 n 最大时，|P F|=a+c=51n2设公差为 d，则 5=3+（n1）d，d=，n -121由，可得 n4037，n -1 2018n 的最大值为 4036故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查椭圆的简单几何性质，考查等差数列的通项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题解题的关键是分析得到当 n 最大时，|P F|=a+c=5n16B 【分析】画出图形，利用抛物线的简单几何性质转化求解即可【详解】取 AB 中点 C，连结 MC，过抛物线 y2=2px（p0）的焦点 F 作直线交抛物线于 A、B 两点，以 AB 为直径的圆与准线 l 的公共点为 M，根据抛物线性质，MC 平行于 x 轴，且 MFAB，AMF=60，CAM=CMA=30，CMF=MFO=30，故答案为：B【点睛】（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查平面几何知识，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是证明 MC 平行于 x 轴，且 MFAB.17（1）= 3 5 .（2） x= y +1.AB【分析】（1，-2） （4，4） = my +1，先根据,即得弦长 AB.(2) 设直线方程 x(1) 联立方程求出 A、 BDAOB- = 4 2y yy y-2 2和 的值.m面积为【详解】（1）联立方程，求出 A得到，再利用韦达定理求出1212（1，-2） （4，4）AB= 3 5、 B，1= my +1，根据题意， 1 - = 2 2,所以 y y1- = 4 2，（2）设直线方程 xy y2122 (y - y ) = 32,(y + y ) - 4y y = 32，所以22121212- 4my - 4 = 0联立直线和抛物线的方程得 y2，+ y = 4m y y = -4， y，121 216 2 +16 = 32 = 1，mm= y +1， x所以直线 的方程为 x= y +1.l【点睛】(1)本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键通过面积分析推理得到y - y = 4 2 .12y2x24003 217-x2y2118（1）- = 或100（2）=1100 753【分析】x2y2，再分 m0 和 m0 讨论，求出双曲线的标准方程.(2) 设 P（x, y）（1）设-=1，4m 3m7( )2= x - 4 + y = x -8x +13求出 PA222，利用二次函数求出 PA 的最小值.4【详解】x2y2=1，当 m 0 4m =100 m = 25，m 0，且只一个共公点， a - 2 + - 2 4 f2b2，( )( )a - 4 b - 4 0， 数形结合可得，a + b 1622( )0 0( ) ( )aa- 2 D 0 b 0，- 2 + - 2 4 0,1，且有两个公共点， a2b2，ff，b( )f 1