上海市复旦附中2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题.docx

上海市复旦附中 2020-2021 学年高二上学期期末考试数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
+1 = 0
1．准线方程为 y
的抛物线标准方程为_______
( )
A
1,2
+ y = 5
2．已知圆 x2
和点
，则过点 A的圆的切线方程为______
2
x
y
2
2
3．若椭圆 + = 的弦被点
1
4,2
平分，则此弦所在直线的斜率为
36 9
cosq
ìx =
ÎR
）化为普通方程是_____
4．参数方程í
（q 为参数，且q
y
= 2 +sin2q
î
x
y ( )
x y
2
2
2
2
5．已知椭圆 + =
1 a > 0
- =1
有相同的焦点，则a 的值为______
与双曲线
a
2
4
9 3
4x - 2y =1
6．设 F 和 F 为双曲线
2
2
的两个焦点，点 在双曲线上，且满足
P
1
2
DF PF
ÐF PF = 60°，则
的面积是_______
1
2
1
2
( )
1, 1
+
PA PF
取
= 4x
7．已知抛物线 y2
的焦点 F 和
A
，点 为抛物线上的动点，则
P
到最小值时点 的坐标为________
P
x2
y
2
x
- 2y -12 = 0
+ =1
8．椭圆
上的点到直线
的距离最大值为_______
16 12
x
2
y
2
- =1
| PF|=6
9．双曲线
F F
的左右焦点分别为 、 ， 为右支上一点，且
，
P
4 b2
1
2
1
PF ×PF = 0 则双曲线渐近线的夹角为_______
1
2
( )
-4,0
2
2
10．已知定点 P
求圆心 M 的轨迹方程_______
: x + y = 8x
和定圆Q
，动圆 M 和圆 外切，且经过点 ，
Q
P
( )
( )
> 0
相切于
= 4x
A, B
5
-
2
y r r
+ =
11．设直线 与抛物线 y
相交于
两点，与圆 x
l
2
2
2
点 M ，且 M 为线段
__________.
的中点. 若这样的直线 恰有 4 条，则r 的取值范围是
l
AB
: mx - y - 3m +1 = 0 l : x + my - 3m -1 = 0
12．已知l
与
相交于点 ，线段
P
AB 是圆
1
2

( ) ( )
C : x +1 + y +1 = 4的一条动弦，且 AB
= 2 3
|
+ PB|
，则 PA 的最小值是
2
2
___________．
二、单选题
< 0
2
2
13．当ab
时，方程
ax ay
-
= 所表示的曲线是（
）
b
x
x
B．焦点在 轴的双曲线
A．焦点在 轴的椭圆
y
y
C．焦点在 轴的椭圆
D．焦点在 轴的双曲线
( ) ( )( )
+ y = r r > 0 P a,b ab ¹ 0
，点
14．已知O的方程 x2
是圆O内一点，以 为中
2
2
P
m
n
+ =
点的弦所在的直线为 ，直线 的方程为ax by r2 ，则（
）
A． m n，且 与圆O相离
n
B．
m n n
，且 与圆O相交
m n
n
^
n
C． 与 重合，且 与圆O相离
D．m n ，且 与圆O相交
{ }
x
y
2
2
15．椭圆 + = 上有 个不同的点 P
,P ,P , ,P
1
n
P F
，椭圆右焦点F ，数列
16 15
n
1
2
3
n
1
n
的等差数列，则 的最大值为（
是公差大于
）
2018
A．2017
B．2018
C．4036
( )
2px p > 0
的焦点 F 作直线交抛物线于 A、 两点，以 AB
D．4037
16．如图，过抛物线 y2 =
B
为直径的圆与准线 l 的公共点为 M，若ÐAMF = 60°，则ÐMFO的大小为（ ）
A．15°
B．30°
C．45°
D．不确定
三、解答题
: y = 4x
,
与直线 交于 A B 两点,
L
17．已知抛物线C
2
y = 2x - 4
（1）若直线 L 的方程为
，求弦
的长度；
AB
（2）O为坐标原点，直线 L 过抛物线的焦点，且 DAOB 面积为
2 2
，求直线 L 的方程.

x2
y2
18．已知双曲线 :
-
=1．
C
4
3
（1）求与双曲线C 有共同的渐近线，且实轴长为 20 的双曲线的标准方程；
（2） 为双曲线C 右支上一动点，点 A的坐标是（4，0），求
PA
的最小值．
P
: x + y = 4
19．已知曲线C
，点 N 是曲线C 上的动点，O是坐标原点．
2
2
（-3，4）
（1）已知定点M
，动点 满足
P
OP OM ON
=
+
，求动点 的轨迹方程；
P
2p
（2）如图，设点 A为曲线C 与 x 轴的正半轴交点，将点 A绕原点逆时针旋转
得到
3
点 ，
B
点 N 在曲线C 上运动，若
ON mOA nOB
+
=
，求
m + n的最大值．
æ
ö
3
( ) ( )
x
2
y
2
(
)
: + =1 a > b > 0
，四点
P 1,1 P 0,1 P ç-1, ÷
、
20．已知椭圆C
、
、
ç
÷
1
2
2
3
a
2
b
2
è
ø
æ
ö
3
P ç1, ÷
中恰有三点在椭圆C 上。
ç
÷
2
4
è
ø
（1）求C 的方程：
+ y =1对称？若存在，请求出
（2）椭圆C 上是否存在不同的两点M 、 N 关于直线 x
直线 MN 的方程，若不存在，请说明理由；
（3）设直线 不经过点 P 且与C 相交于 A、 两点，若直线P A 与直线 P B 的斜率的
l
B
2
2
2
和为 1，求证： 过定点。
l
( )
(
)
G:2 a -2 x -by2 +b -4 = 0 a,bÎR
21．已知曲线
( )
-1,0
G
且与曲线 只有一个公共点的直线方程：
（1）若a = b = 4 ，求经过点
= 4，请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论
（2）若 a
G
如何变化，这两个点都不在曲线 上；
b
= x(0 £ x £1)
有公共点，求 + 的最小值。
G
2
（3）若曲线 与线段
y
a2 b

参考答案
1． x2
= 4y
【解析】
【分析】
根据准线方程得到抛物线的开口方向和 p 的值，即得抛物线的标准方程.
【详解】
由题得抛物线的准线方程为y = -1，所以抛物线的开口向上，设抛物线方程为
p
2 = 2 ,\ =1,\ = 2
= 4y .
x
py
p
，所以抛物线的标准方程为 x2
2
= 4y
故答案为： x2
【点睛】
(1)本题主要考查抛物线的标准方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合
分析推理能力.(2)求抛物线的标准方程，一般利用待定系数法，先定位，后定量.
+ 2y = 5
2． x
【解析】
【分析】
先由题得到点A在圆上，再设出切线方程为 y
- 2 = k(x -1),利用直线和圆相切得到k的值，
即得过点 A 的圆的切线方程.
【详解】
( )
A 1,2
- 2 = k(x -1),
即
因为1 + 2 = 5 ，所以点
在圆上，设切线方程为
y
kx-y-k+2=0,
2
2
-k + 2
+ (-1)
1
2
5 =
,\k = -
因为直线和圆相切，所以
，
k
2
2
1
1
- x - y + + 2 = 0
所以切线方程为
，
2
2
所以切线方程为 x
+ 2y = 5，
+ 2y = 5
故答案为： x
【点睛】
（1）本题主要考查圆的切线方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能

Ax + By + C
P(x , y ) 到直线l : Ax + By +C = 0
=
力.(2) 点
的距离
d
0
0
.
0
0
A B
+
2
2
1
-
3．
2
【解析】
A(x , y ) B(x , y ) .
因为(4, 2)
试题分析：设弦两端点为
，
是
A,B
的中点，所以
1
1
2
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x + x = 8, y + y = 4
=1
，
+
=1，两式
，将
A,B
两点代入椭圆方程得
+
1
1
2
2
36 9
36 9
1
2
1
2
x
2
- x
2
1
y
2
- y
2
+
= 0
1
相减得
整理得
，
2
2
36
9
y - y
x + x
1
2
y - y
1
= -
= -
k =
AB
= -
2
1
2
1
，即
2
1
．
x - x
4(y + y )
x - x
2
2
1
2
1
2
1
考点：中点弦问题
+ y = 3
4． x2
【解析】
【分析】
ì = cos q
x
2
2
由题得 í
，再把两式相加即得参数方程的普通方程.
，两式相加得 x2 + y - 2 =1,\ x2 + y = 3 .
îy - 2 = sin
q
q
2
【详解】
ì = cos q
x
2
2
由题得 í
îy - 2 = sin
2
+ y = 3
所以普通方程为 x2
.
故答案为: x2 + y = 3
【点睛】
(1)本题主要考查参数方程化普通方程，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算
能力.(2) 参数方程消参常用的方法有三种.①加减消参：直接把两个方程相加减即可消去参
数.②代入消参：通过其中的一个方程求出参数的值，再代入另外一个方程化简.③恒等式消
参：通过方程计算出sina、cosa
，再利用三角恒等式sin a + cos a =1消去参数.
2
2
5．4

【解析】
【分析】
由题得 a - 4 = 9 + 3，解之即得 a 的值.
2
【详解】
由题得 a - 4 = 9 + 3，所以 a=4,
2
故答案为：4
【点睛】
（1）本题主要考查椭圆和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和
分析推理能力.(2)椭圆中 = - ，双曲线中c = a + b .
c
2
a
2
b
2
2
2
2
3
6．
2
【解析】
【分析】
1
2
ì
3 = PF | + PF | -2 PF PF ´
ï
2
2
PF PF =1
，即
1
2
1
2
先求出双曲线的
a,b,c,再利用 í
求出
1
2
ï
1
PF - PF =
î
1
2
得三角形的面积.
【详解】
1
1
1 1 3
3
= ,b = ,\c = + = ,\c =
.
由题得 a2
2
2
4
2
4 2 4
2
1
ì
3 = PF | + PF | -2 PF PF ´
ï
2
2
2 ,\
=1
1
2
1
2
PF PF
1
由题得
í
ï
î
2
PF - PF =
1
1
2
1
1
3
3
p
= × PF PF ×sin = ×2×
=
所以 S
.
2
3 2
2
2
1
2
3
故答案为：
【点睛】
2
(1)本题主要考查双曲线的几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形的面积，意在考查学

生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答圆锥曲线问题时，看到焦点和焦半径
要联想到曲线的定义提高解题效率.
1
( ，1)
7．
4
【分析】
设点 P 在准线上的射影为 D，由抛物线的定义把问题转化为求|P A|+|PD|的最小值，同时可
推断出当 D，P，A 三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得．
【详解】
过点 P 作 PB 垂直于准线，过 A 作 AH 垂直于准线，PA+PF=PA+PB≤AH，
1
4
æ
ö
，1
÷ .
此时最小，点 P 与点 A 的纵坐标相同，所以点 P 为ç
è
ø
1
4
æ
故答案为ç
è
ö
，1
÷
ø
【点睛】
(1)本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线的最值，意在考查学生对这些知识的
掌握水平和数形结合分析推理能力.(2) 解答圆锥曲线问题时，看到焦点和焦半径要联想到曲
线的定义提高解题效率.
8． 4 5
【详解】
x＝4cosq
设椭圆的参数方程为{
，
y＝2 3sinq
4cosq - 4 3sinq -12
4 5
5
4 5
5
p
æ
ö
÷
ø
d＝
＝
q - 3 q -3＝
cos sin
2cos q +
-3 ，
ç
5
3
è

p
æ
当 cosç
è
ö
4 5
5
q
+
÷ ＝1 时，d ＝
，此时所求点为(2，－3)
min
3
ø
6
p 2arctan
9． -
2
【分析】
利用双曲线的定义，求出
PF = 2
，通过焦点三角形面积公式求出 b，然后求出双曲线的渐
2
近线方程，即可得到双曲线渐近线的夹角．
【详解】
PF = 2
×
， PF PF
= 0,\PF ^ PF
根据题意
，
2
1
2
1
2
1
= b cot45 = × PF × PF = 6,\b = 6
,
由焦点三角形面积公式S
2
0
2
2
1
2
6
渐近线为 y = ±
x ，
2
6
2
p 2arctan
夹角为 -
6
p 2arctan
-
故答案为
【点睛】
2
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，注意焦点三角形面积公式的应用．
x y
2
2
- =1
10．双曲线
的左支
4 12
【分析】
画出图形，利用双曲线的定义转化求解即可．
【详解】
结合图象可得，|MQ|﹣|MP|=4，可得 a=2，c=4，则 b=2 3
，
x
2
y
2
- =1
M 的轨迹为双曲线
的左支．
4 12
x
2
y
2
- =1
故答案为双曲线
的左支．
4 12

【点睛】
(1)本题主要考查点的轨迹方程,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 求轨
迹方程的四种主要方法:①待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、
圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程.②
代入法：如果点 M 的运动是由于点 的运动引起的，可以先用点M 的坐标表示点 的坐
P
P
标，然后代入点 满足的方程，即得动点M 的轨迹方程.③直接法：直接把已知的方程和
P
(x, y)
j
条件化简即得动点的轨迹方程.④参数法：动点M
的运动主要是由于某个参数 的变
(j)
ìx = f
化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即í
j)，再消参.
îy = g(
11．（2，4）
【解析】
( ) ( )
x = ty + m
，y B x ，y
，
A x
设直线l 的方程为
，
1
1
2
2
= 4x
y - 4ty - 4m = 0
2
把直线l 的方程代入抛物线方程 y2
，整理可得：
y + y = 4t ， y y = -4m
则 =16t +16m > 0，
2
1
2
1 2
( ) ( )
x + x = ty + m + ty + m = 4t + 2m
则
2
1
2
1
2
( )
2t2 + m，2t
\ 线段
的中点 M
AB
( )
由题意可得直线 AB 与直线 MC 垂直，且C 5，0
¹ 0时，有
2t - 0
= -1
当t
K K
MC
AB
1
´ = -1
即
，整理得m = 3- 2t
2
2t2 + m -5 t
把 m = 3- 2t 代入到 =16t +16m > 0
2
2

可得3- t > 0，即0 < t < 3
2
2
由于圆心 到直线 AB 的距离等于半径
C
5- m
1+ t
2
2
2 + 2t
1+ t
d =
=
= 2 1+ t = r
即
2
2
\2 < r < 4，此时满足题意且不垂直于x 轴的直线有两条
= 0
x = 5± r
，
当t
时，这样的直线 恰有2 条，即
l
\0 < r < 5
( )
2，4
综上所述，若这样的直线l 恰有4 条，则 r 的取值范围是
点睛：本题主要考查的知识点是直线与抛物线，圆的位置关系，考查了学生分析解决问题的
( ) ( )
x = ty + m
，y
B x ，y
，把直线l 的方
A x
能力，属于中档题．设直线l 的方程为
，
，
1
1
2
2
程代入抛物线方程 y2 = 4x
，根据判别式求得线段 AB 的中点 的坐标，分别讨论t
¹
0
时，
M
t = 0时 的取值范围，即可得到答案
r
12． 4 2 - 2
【分析】
由两直线方程可知两直线垂直，且分别过定点（3，1）、（1，3），所以点 的轨迹为以两
P
|PA + PB|
定点连线段为直径的圆，方程为（ ﹣2） +（ ﹣2） =2。因为要求
的最小值，可
x
2
y
2
作垂直线段
⊥ ，根据向量的运算可得，|PA+ PB|=2 PD
CD AB
CD
，根据条件求得 的长度
( )
（x +1) + y +1 =1
为 1，所以点 的轨迹为
2
。根据两圆方程可知点 的轨迹与点 的轨
D
D
2
P
迹外离，故|PA + PB|
【详解】
的最小值为两圆的圆心距减去两圆的半径。
∵ ： ﹣ ﹣3 +1=0 与 ： + ﹣3 ﹣1=0，
l mx y m l x my
m
1
2
∴ ⊥ ， 过定点（3，1）， 过定点（1，3），
l l l
l
1
2
1
2
∴点 的轨迹方程为圆（ ﹣2） +（ ﹣2） =2，
P
x
2
y
2
作垂直线段
⊥ ， = 2 -（ 3） =1，
CD AB CD
2
2
( )
（x +1) + y +1 =1
,
2
所以点 的轨迹为
D
2
则|PA+ PB|=|PC + CA+ PC + CB = 2 PC + CD = 2 PD |，

( ) ( )
2 +1 + 2 +1 = 3 2 >1+ 2
因为圆 和圆 的圆心距为
D
2
2
，
P
所以两圆外离，
所以| |最小值为
PD
3 2 -1- 2 = 2 2 -1，
所以|PA + PB|
的最小值为 4
2 ﹣2.
2 ﹣2.
故答案为：4
【点睛】
平面向量具有代数与几何双重身份，是沟通代数与几何的桥梁。平面向量模的最值问题一般
以选择题或填空题的形式出现。解决此类问题关键在于正确运用相关知识，进行合理转化，
常用方法有（1）利用向量基本知识转化为函数最值问题；（2）利用坐标进行转化，结合图
形求最值；（3）利用向量模的性质求解；（4）利用几何意义，数形结合求解。
13．D
【分析】
b
- x = -
y
，即得曲线是焦点在 轴的双曲线.
先化简方程得 y
2
2
a
【详解】
b
b
- x = -
-
y
＞0，所以曲线是焦点在 轴的双曲线.
化简得 y
2
2
，因为 ab＜0,所以
a
a
故答案为 D
【点睛】
本题主要考查双曲线的标准方程，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.
14．A
【分析】
利用直线 m 是以 P 为中点的弦所在的直线可求得其斜率，进而根据直线n 的方程可判断出
两直线平行；表示出点到直线 n 的距离，根据点 P 在圆内判断出 a，b 和 r 的关系，进而判
断出圆心到直线 n 的距离大于半径，判断出二者的关系是相离．
【详解】
直线 m 是以 P 为中点的弦所在的直线
∴直线 m⊥PO，
a
∴m 的斜率为﹣ ，
b

a
∵直线 n 的斜率为﹣ ，
b
∴n∥m
r
2
圆心到直线 n 的距离为
a
2
+ b
2
∵P 在圆内，∴a +b ＜r ，
2
2
2
| r
2
∴
|＞r，∴直线 n 与圆相离.
a
2
+ b
2
故答案为：A
【点睛】
(1)本题主要考查直线的位置关系，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的
掌握水平和分析推理能力.(2) 判断直线与圆的位置关系常用的方法，(几何法)：比较圆心
到直线的距离 与圆的半径r 的大小关系：①d
②
d
< r Û 直线与圆相交；
d = r Û 直线与圆相切； > r Û 直线与圆相离.
③ d
15．C
【分析】
由已知求出 c，可得椭圆上点到点 F 距离的最大最小值，由等差数列的通项公式求得公差，
1
再由公差大于
【详解】
求得 n 的最大值．
2018
由已知椭圆方程可得：a =16，b =15，则 c=1．
2
2
∴|P F|=a﹣c=3，当 n 最大时，|P F|=a+c=5．
1
n
2
设公差为 d，则 5=3+（n﹣1）d，∴d=
，
n -1
2
1
>
由
，可得 n＜4037，
n -1 2018
∴n 的最大值为 4036．
故答案为：C
【点睛】
（1）本题主要考查椭圆的简单几何性质，考查等差数列的通项，意在考查学生对这些知识
的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题解题的关键是分析得到当 n 最大时，|P F|=a+c=5．
n
16．B

【分析】
画出图形，利用抛物线的简单几何性质转化求解即可．
【详解】
取 AB 中点 C，连结 MC，
过抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点 F 作直线交抛物线于 A、B 两点，
以 AB 为直径的圆与准线 l 的公共点为 M，
根据抛物线性质，∴MC 平行于 x 轴，且 MF⊥AB，
∵∠AMF=60°，∴∠CAM=∠CMA=30°，
∴∠CMF=∠MFO=30°，
故答案为：B
【点睛】
（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查平面几何知识，意在考查学生对这些知识
的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是证明 MC 平行于 x 轴，且 MF⊥AB.
17．（1）
= 3 5 .（2） x
= ±y +1.
AB
【分析】
（1，-2） （4，4） = my +1，先根据
,即得弦长 AB.(2) 设直线方程 x
(1) 联立方程求出 A
、 B
DAOB
- = 4 2
y y
y y
-
2 2
和 的值.
m
面积为
【详解】
（1）联立方程，求出 A
得到
，再利用韦达定理求出
1
2
1
2
（1，-2） （4，4）
AB
= 3 5
、 B
，∴
1
= my +1，根据题意， ´1´ - = 2 2,
所以 y y
1
- = 4 2
，
（2）设直线方程 x
y y
2
1
2
2

(y - y ) = 32,\(y + y ) - 4y y = 32
，
所以
2
2
1
2
1
2
1
2
- 4my - 4 = 0
联立直线和抛物线的方程得 y2
，
+ y = 4m y y = -4
，
∴ y
，
1
2
1 2
∴16 2 +16 = 32 Þ = ±1，
m
m
= ± y +1，
∴ x
所以直线 的方程为 x
= ± y +1.
l
【点睛】
(1)本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知
识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键通过面积分析推理得到
y - y = 4 2 .
1
2
y2
x2
400
3 21
7
-
x2
y
2
1
18．（1）
- = 或100
（2）
=1
100 75
3
【分析】
x
2
y
2
，再分 m＞0 和 m＜0 讨论，求出双曲线的标准方程.(2) 设 P
（x, y）
（1）设
-
=1
，
4m 3m
7
( )2
= x - 4 + y = x -8x +13
求出 PA
2
2
2
，利用二次函数求出 PA 的最小值.
4
【详解】
x
2
y
2
=1，当 m >
0 4m =100Þ m = 25
，
m < 0，
；当
（1）设
-
4m 3m
y
2
x
2
100
=1,
-
x
2
y
2
-3m =100 Þ m = -
- =1
或100
400
3
，∴标准方程为
3
100 75
7
4
27
7
( )
3 21
P（x, y）（x＞0）
，∴ PA
= - 4
+ = x
-8x +13 ³
（2）设
2
x
2
y
2
2
，即最小值为
7
【点睛】
(1)本题主要考查双曲线的标准方程的求法，考查函数的最值，意在考查学生对这些知识的
掌握水平和分析推理计算能力.(2)求双曲线的标准方程一般利用待定系数法，先定位，后定

量，如果双曲线的位置关系不确定要分类讨论.
19．见解析
【分析】
ì = +
3
( )
x x
, y
N(x , y )
,根据
(1) 设 P x
，
得到í
1
OP OM ON
=
+
= y - 4，代入曲线方程即得动点
1
1
îy1
的轨迹方程.(2)先利用已知求出点 B 的坐标，再求出m + n - mn =1，再利用重要不等
P
2
2
式求出
m + n的最大值.
【详解】
ì = +
x x
3
( )
P x, y
(
)
N(x , y ) ,
= x +3,y -4 ，所以í
设
，
ON OP OM
-
=
1
= y - 4，
1
1
îy1
( ) ( )
( ) ( )
x + 3 + y - 4 = 4.
+ 3
+ y - 4
= 4
∴ x
2
2
，所以动点 的轨迹方程为
P
2
2
（2）
( )
= 2m - n, 3n
ON = mOA+ nOB
+ y = 4，
,
因为 x2
2
( )
2m - n + 3n = 4 Þ m + n - mn =1
2
2
2
2
2m + 2n - 2 = 2mn £ m + n Þ m + n £ 2
2
2
2
2
2
2
( )
( )
+ n
2
£ 2 m + n £ 4 Þ m+ n £ 2
= =1
，当且仅当m n 时等号成立
∴ m
2
2
【点睛】
（1）本题主要考查动点的轨迹方程，考查向量的坐标运算，考查函数最值的求法，意在考
查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. (2) 求轨迹方程的四种主要方法:①待定系
数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出
曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程.②代入法：如果点 M 的运动
是由于点 的运动引起的，可以先用点M 的坐标表示点 的坐标，然后代入点 满足的方
P
P
P
程，即得动点 M 的轨迹方程.③直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方
(x, y)
j
程.④参数法：动点 M
的运动主要是由于某个参数 的变化引起的，可以选参、设参，
(j)
ì =
x f
然后用这个参数表示动点的坐标，即í
j)，再消参.
îy = g(

( )
-2,-1
x
2
y
2
20．（1） + = （2）
1
4 1
【解析】
【分析】
(1) 结合椭圆几何特征，可得P 、 P 、 P 在椭圆上，解方程即得椭圆的方程.(2) 设直线
2
3
4
4 1
,
æ
ö
y = x + m
MN 为
，线段MN 中点为 ，利用椭圆的中点弦性质求得中点D ç
÷ ，即得
D
3 3
è
ø
5
: y = kx + b ，根据已知得到b = 2k -1，所以直线l : y = kx + 2k -1，即得直
m=- .(3) 设 I
3
线经过的定点坐标.
【详解】
3
( )
2
1
（1）结合椭圆几何特征，可得P 、 P 、 P 在椭圆上，所以 b=1, 2
2
=1,
+
2
3
4
a
2
1
x
2
y
2
+ =1
解得方程为
.
4 1
b
a
2
2
y = x + m，线段 MN 中点为 D ，根据椭圆中点弦性质k k
（2）设直线 MN 为
= -
，
1 2
1
1
æ 4 1 ö
5
3
k k = - Þ l : y = - x，联立 x
+ y =1
,
y x
\ : = -
解得中点 D ç
÷ ， l
4
4
3 3
è ø
MN OF
OD
MN
1
4
æ
ö
: y = kx + b
+
+ 2
+ -1 = 0
，
（3）设 I
，联立得ç
k2 ÷ kbx b2
è
ø
( )( )
b -1 x + x
y
1
-1 y -1
2kb
k + k =
+
= 2k +
= 2k -
=1Þ b = 2k -1
1
2
2
x
x
2
x x
1 2
b +1
P A
P B
2
2
1
直线l
: y = kx + 2k -1，所以 k(x+2)-1-y=0,所以 x+2=0 且-1-y=0,所以 x=-2,y=-1,
( )
-2,-1
所以直线经过定点
【点睛】
.
(1)本题主要考查椭圆方程的求法，直线方程的求法和直线的定点问题，考查直线和椭圆的
位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 对满足一定条件曲线上
两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，证明直线过定点，一般有两种

方法.①特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，
然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.②分
Î R
离参数法：一般可以根据需要选定参数l
，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离
(x, y)l + f (x, y)l + f (x, y) = 0
f x y i
( , )( =1,2,3)
为关于
i
参数得到等式 f
2
，（一般地，
1
2
3
(x, y) = 0
ì f
ï
1
x, y
( , ) = 0
í f x y
的二元一次关系式）由上述原理可得方程组
，从而求得该定点.
2
ï
f (x, y) = 0
î
3
= ±2y -1或 y
= 0
（2）16
21．（1） x
【解析】
【分析】
= x
=
-1
1 0 ，再根据D = 0
y - my + =
，联立得
(1)由题得曲线为 y2
，设直线 x my
即得 m
2
4x - by + b - 4 = 0
= 0
=1，当b ¹ 0
， x ，无论
的值和直线的方程.(2)由题得曲线为
，当b
2
( ) ( )
,1
q,1
=1
¹
1
¹ 1
， q .(3)
b 如何变化，曲线都不可能为 y2
，所以两点可以是
p
和
， p
2
( )
[ ]
a ， a b
Î 0,1 Þ ³ 4
bx2 - 2 a - 2 x -b + 4 = 0，当b =
0
=
联立得
， x
+ ³ 16
2
2
a - 2
¹ 0
D,
当b
，对 b 分类讨论得到a + b 的最小值.
2
2
【详解】
（1）曲线为 y2
= x
=
-1
y - my + =
1 0 D = 0 Þ ± 2
，设直线 x my
，联立得
，
m
2
= ±2y -1 y = 0
或
∴所求直线方程为 x
4
4
4
4x - by + b - 4 = 0
= 0， x =1，当b ¹ 0
， y2 =
+1-
\ ¹ 0
b
（2）曲线为
，当b
x
。
，
2
b
b
( ) ( )
,1
q,1
=1
¹
1
¹ 1
， q
∴无论b 如何变化，曲线都不可能为 y2
，∴两点可以是
p
和
， p
2
( )
[ ]
a ，
Î 0,1 Þ ³ 4
bx2 - 2 a - 2 x -b + 4 = 0，当b =
0
=
（3）联立得
a2 + b2 ³ 16
¹ 0
， x
a - 2
a
- 2
[ ]
Î 0,1
，数形结合可得a b
( ) ( )
D = 0
- 2 + - 2 = 4
当b
，①
， a
2
b
2
，
+ ³ 20
2
2
b
( ) ( )
0 f 1 £ 0
，
( ) ( )
D > 0，且只一个共公点， a - 2 + - 2 > 4 f
②
2
b
2
，
( )( )
a - 4 b - 4 £ 0，

数形结合可得，a + b ³ 16
2
2
( )
0 ³ 0
( ) ( )
a
a
- 2
[ ]
D > 0 b > 0
，
- 2 + - 2 > 4
Î 0,1
③
，且有两个公共点， a
2
b
2
，
，
，
，
f
f
，
，
b
( )
f 1