资源描述
成都石室中学2018-2019 年度上期高2021 届半期考试
数学试题
(总分:150 分,时间:120 分钟 )
第Ⅰ卷(共60 分)
一、选择题(本题共12 道小题,每小题5 分,共60 分)
{
}
{
}
1、设全集为 ,集合
2
, ,则A∩( B)=(
B = x | -1< x £ 3
)
R
A = x | x - 4 < 0
R
A.( 2, 0)
- -
B.( 2, 1)
C.( 2, 1]
D.( 2, 2)
- -
- -
- -
( )
0,+¥
2、下列函数中,既是偶函数又在区间
上单调递减的是(
)
( )
f x = -x
1
1
A.
2
B.
C.
D.
x
f (x) = lg| x|
f (x) =
f (x) = ( )
x
2
3、下列各组函数中表示同一函数的是(
)
f (x) = x 与g(x) = ( x)2
. f (x) =| x |与g(x) = x
A.
C.
B
3
3
x2 -1
f (x) = lne 与g(x) = e
D. f (x) =
与g(x) = x -1(x ¹ -1)
x
ln x
x +1
1
4、函数
的零点所在区间为(
)
f (x) = ln(-x) - x - 2
3
(-4,-3)
B.(-3,-e)
(-e,-2)
C.
D.(-2,-1)
A.
9- | x |
( )
ln x -1
5、函数 ( )
f x =
的定义域为(
)
A.(1,3]
B.(1,2) (2,3]
C.(1,9]
D.(1,2) (2,9]
( )
6、如果函数
(
)的反函数是增函数,那么函数y = -log x +1 的图象大
x
y = a a > 0,a ¹1
a
致是(
)
A
B
C
D
1
7、已知
7
,
7
,c ( )
,则(
log 0.3
)
a =
b =
=
log 3.4
log 3.6
3
2
4
7
A.a>b>c
B.b>a>c
C.a>c>b
D.c>a>b
第 2 页 共 4 页 命题人、审题人:寇明珍 孟 元
( )
( ) ( )
mÎ N 的图象关于原点对称,且在 0,+¥ 上是减函数,
8、已知幂函数 f x = x
m-2
( ) (
)
-
m
2
m
2
若 a +1
< 3 - 2a
,则实数 a 的取值范围是(
)
-
2 3
( , )
3 2
3
(-1, )
2
2 3
(-¥,-1) ( , )
3 2
(-1,3)
A.
9.已知函数
B.
C.
D.
1
( )
f x =
( )(a≠1)在区间(0,4] 上是增函数,则实数 a 的取值范
lg 3- ax
a -1
围为(
)
3
3
( )
( )
+¥
A.(0, )
B.(0, ]
C. 0,1
D. 0,
4
4
( )
( )
( )的图像关于原点对称,则 (
g -
1
2
10、已知
x
,
与
=
) (
)
f 2 = x +1 y = g x
y = f x
2
A. -1- 2
B.1+
C.2
D.0
2
( )
( )
11 、 已 知 函 数 y = f x -1 的 图 象 关 于 x 1 对 称 , 且 对 y = f x , xÎ R , 当
=
( )
( ) ( )
( )
f x - f x
x , x Î(-¥,0] 时,
成立,若 f 2ax < f 2x2+1 对任意的
xÎR 恒成
< 0
1
2
1
2
x - x
2
)
1
立,则 a 的范围(
A. - 2 < a < 2
B. a <1
若关于 x 的方程 ( )
C. a < 2
D. a > 2
ì2 , x £ 0
(
)([ ] )
ï
( ) 2 1 0 恰有四个不同的
12、设函数
x
f x - a f x - =
f (x) =
í
log x, x > 0
ï
î
2
实数解,则实数a 的取值范围为(
)
( )
A. 0 ,1
(
)
B.(-¥,0) (1,+¥) C.(-¥,0] (1,+¥) D. -¥,-1 (-1,0] (1,+¥)
第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(本题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分)
17p
13、已知角a = -
,则角a 的终边在第
象限。
6
1- x2
1+ x2
14、函数 y =
的值域是
.
( ) ( )
, f x = ax×(e +e )+bx +1且 f 2 = -2 ,
3
a,bÎ R
15、已知
x
-x
( )
则 f 2
- =
.
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16、给出下列说法:
{
}与集合
{
}是相等集合;
①集合
|
2
1,
B = x Î Z x = k + 3,k Î Z
|
2
A = x Î Z x = k - k Î Z
( )
②不存在实数 ,使
2 2
= x + mx +
1 为奇函数;
f (2) f (4)
m
f x
f (2018)
(x + y) = f (x) f (y)
③若 f
,且 f(1)=2,则
+...+
=
2018 ;
+
f (1) f (3)
f (2017)
y f x x
④对于函数 = ( ) ( ÎR) 在同一直角坐标系中,若
f (1- x) = f (x -1),则函数
y = f (x)
y f x x
的图象关于直线 = 对称;
x
1
⑤对于函数 = ( ) ( ÎR) 在同一直角坐标系中,函数
与
y = f (1- x) y = f (x -1)
的
图象关于直线 = 对称;其中正确说法是
0
。
x
三、解答题(本题共 6 道小题,共 70 分)
{ }
{
}
17、(本题 10 分)已知集合
( )
2
3-
x
{
}
A = xÎR | log x -1 <1 , B
= y | y = 2
, C = x | 2a £ x < a + 6 .
2
(1)求集合 、 ;
A
B
(2)若
,求 的取值范围.
a
B C = C
2
3
9
4
8
27
æ
ç
è
ö2
÷
æ
ç
è
ö- +2lg5 lg4+log 25 log 4 log 9
+ × ×
18、(本题 12 分)(1)计算
-
-
÷
ø
ø
2
3
5
( )
(2)若关于 的二次方程 2 2
x + mx + = - m
m
2 在区间 0,1 内有两个根,求 的取值
x
1
范围.
19、(本题 12 分)在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良
好的某种消费品专卖店以5.8 万元的优惠价格转让给了尚有5 万元无息贷款没有偿还
的小型企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低
生活费的开支 3600 元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料
中有:①这种消费品的进价为每件 14 元;②该店月销量 Q(百件)与销
售价格 P(元)的关系如图所示;③每月需各种开支2000 元.
(1)当商品的销售价格为每件多少元时,月利润余额最大?并求最大余
额;(利润余额=销售利润-各种开支-最低生活费)
(2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?
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( )
(
-x
> 0且 ¹ 1)
20、(本题 12 分)设函数
= -
f x a a a
a
x
( )
( )
( )
(1)若 1 > 0 ,求不等式 - 2+
7 + f x -5 < 0
的解集;其中单调性只需判断
f
f x
(
)
( )
( )
[ )
1,+¥
上恒成立,求 的最
m
3
2
( )
f 1 =
g x = a + a - 4 f x - m ³ 0
(3)若
,且
在
2x
-2x
大值。
21、(本题 12 分)已知函数
( )定义在( )
上且满足下列两个条件:
f x
-1,1
( )
Î -
1,1 时 , 有
( )
( ) ( ) æ + ö
x y
① 对 任 意
都 有
;② 当 ,
x y
x, yÎ -1,1
f x + f y = f
ç
ç
÷
÷
1+ xy
è
ø
( ) ( )
f x + f y
> 0
.
x + y
( ) ( )
上是奇函数;
-1,1
(1)证明函数
在
f x
(2)判断并证明
( )的单调性.
f x
æ 1 ö
( ) ( ) 1
(3)若
,试求函数
的零点.
ç- ÷ = -1
G x = f x +
f
2
2
è
ø
( )
( )
f x kx
= +
( )
k Î R
是偶函数.
log 9 +1
22、(本题 12 分)已知函数
(1)求 的值;
,
x
9
k
1
2
( )
(2)若函数 =
y f x
的图象在直线 =
+ 上方,求 的取值范围;
x b b
y
( )
h x
1
[
]
( )
,是否存在实数 使得 的
h x
( )
(3)若函数
=
9
f x 2 x
+
+ 2m×3 +1
,x
Î 0,log 8
m
x
9
最小值为 0?若存在,求出 的值,若不存在,请说明理由.
m
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成都石室中学2018-2019 年度上期高2021 届半期考试
数学试题答案
一、选择题 1-5 CADBD
二、填空题 13、 三
三、解答题
6-10 CCBAD
14、 (-1,1] 15、 4
11-12 AD
16、 ①②③
( )
{
}
log x -1 <1 得:1< < 3 ∴A = x |1 < x < 3
17、解:(1)解
∵3- x2 £ 3
∴
x
2
{
}
0 < 23-x2£ 8
∴
B = x | 0 < x £ 8
......5 分
2a ³ a + 6 ,即a ³ 6 时,C = Æ Í B
(2)由
= 得 Í , 当
B C C C B
2a > 0
îa + 6 £ 8
ì
{
}
当 < 时,
6
= | 2 £ < + 6 ,若C £ A ,则
x a x a í
解得0 < a £ 2
a
C
综
上
所
述
,
a
的
取
值
范
围
是
( ] [ )
0,2
6,+¥
......10 分
2
3
9 æ 2 ö
-
3
- -
+2lg5 + 2lg 2+log 5 ×log 2 ×log 3
2 2 2
ç ÷
18、(1)解:原式= 4
3
è
3
ø
2
3
5
=
9
4
3
2
è ø
æ ö
2
-
+(2 lg5 + lg 2)+8 log 5×log 2×log 3 =10
.....5
ç ÷
2
3
5
分
(2)令f(x)=x2+2mx+2m+1 则它与x 轴交点均落在区间(0,1)内,如图(2)所示,列
不等式组
ì
1
2
ï
m>- ,
( )
í
) ï
ï ( )
1
1 = 4m + 2 > 0
1
ï f
m>- ,
í
2
(
2
D=4m2- 4 2m +1 ³ 0
0 < -m <1
ï
ï
îm≥1+ 2或m≤1- 2,
-1<m<0.
î
故
m
.
的
取
值
范
围
是
1
2
(- ,1- 2]
......12 分
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1 x2+1
2 x +1
法 2:x2+2mx+1=-2m 在(0,1)有解等价于 = -
在(0,1)有解,令
m
( )
( )
( ) ( )
2
1 t -
2
1 +1
1
2
2
( )
= x +1Î 1,2 则记
( )
h t
æ
ö
= -
= -
+ - 2 在t Î 1, 2 , 2,2 ¯ ,
t
çt
è
÷
t
t
ø
1
2
所以当 = 2 时,
( )取最大值1- 2 ,m∈(0,1)时 ( ) ( ) ( )
h t h
>
1 = h 2 = -
,故
t
h t
1
2
(- ,1- 2]
m 的取值范围是
......12 分
(
)
19、解:设该店月利润余额为 L,则由题设得 =
L Q P
-
14 ´100 - 3600 - 2000,①
(
)
ì-2P + 50 14 £ P £ 20
ï
由销量图易得 =
Q í 3
代入①式得
(
)
- P + 40 20 < P £ 26
ï
î 2
(
)( )
(
)
ì -2P + 50 P -14 ´100 -5600 14 £ P £ 20
ï
L = íæ 3
ö
(
)
(
)
- P + 40 P -14 ´100 -5600 20 < P £ 26
ç
÷
ï
2
îè
ø
......6 分
1250
3
(1)当14 £ P £ 20时,
L = 450
元,此时
P =19.5元 ;当 20 < P £ 26时,
=
Lmax
max
61
3
元 , 此 时 =
元
故 当 =
19.5
元 时 , 月 利 润 余 额 最 大 , 为 450
P
P
元
......9 分
(2)设可在 n 年后脱贫,依题意有12n´450-50000-58000³ 0
解得n ³ 20
即
贫
最
早
可
望
在
20
年
后
脱
......12 分
2
1 a -1
> 0且 ¹1
>1
( )
a
a
,所以a
20、解:(1)
,又
> 0
f 1 = a - =
a
a
( )在 R 上单调递增。
f x
a 单调递增,a 单调递减,故
-x
x
( )
又∵ - =
f x a-x
( )
f x
( )
∴ 是 R 上的奇函数,
f x
- = -
a
x
且 ÎR
x
( )
( )
( )
f -x + 7 < f 5- x
得
2
( )
由 - +
f x
7 + f x -5 < 0
2
∴
- 2 +
x
7 < 5 - x
∴
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(
) ( )
xÎ -¥,-1
2,+¥
......6 分
1 3
1
2
( )
( )
f x = 2 - 2
x
-x
(3) 1 = - = ,解得 = - (舍)或 = ,则
a
2
f
a
a
a
2
( ) ( ) ( )
( )
g x
∴
=
2 + 2 - 4 2 - 2 - m = 2 - 2
2
- 4 2 - 2 - m + 2
x
-x
2
x
- x
2
x
-x
x
-x
3
2
( ) 在[1,+¥)
g x ³ 0
恒成立,
令 =
∵
,∴t
³
t
2 - 2
x
xÎ[1,+¥)
-x
3
2
é
ö
÷
ø
即 -
4t - m + 2 ³ 0 t Î ,+¥
在
上恒成立
t
2
ê
ë
3
2
é
ö
÷
ø
即 £ -
m t
4t + 2 t Î ,+¥
在
上恒成立
2
ê
ë
( )
m £ -2
而
2
∴
∴m
的 最 大 值 为
t2
-
4t + 2 = t - 2 - 2 ³ -2
-2。
.......12 分
( ) ( )
2 f 0 = f 0
( )
f 0 = 0
( ) ( ) ( )
,则
21、解:(1)令x = y = 0,则
,则
;又令
,
f x + f -x = f 0 = 0
y = -x
( ) ( )
f - x = - f x
( )
f x
( )
上 是 奇 函
Î -1,1
即
, 所 以 函 数
在
x
数.
(2)证
......4 分
明
:
设
1
1
,
则
> x > x > -
2
1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
+ - (
)
f x
f x
,因为 1
- < -x <
1则由条件知
f x - f x = f x + f - x =
2
1 x - x
2
1
2
1
+ (- )
2
1
1
x2
x
1
( ) ( )
f x + f - x
( ) ( )
( ) ( )
在
0 而
,
所以函数
f x
上单调递
.....
2
1 >
0
0
-1,1
x - x >
f x - f x > ,
+ (-x )
2
1
2
1
x2
1
增。
..8 分
1
1
æ ö
æ
ö
( ) ( ) 1
( )
f x
= -1
(3)由
1则
1 从而
= 0,等价于
f ç ÷ =
f ç- ÷ = -
G x
=
f x
+
2
2
è ø
2
ø
2
è
( ) ( ) ( ) æ 2x
ö
æ 1 ö
( ) ( )
,因为函数 在 上单调递增,所
则
2 f x = f x + f x = f ç
÷ = -1 = f ç- ÷
-1,1
f x
ç
÷
2
2
ø
è1-
ø
è
x
2x
1- x2
1
2
( )
,故
( )的零点
f x
以
为
即
,则
,由
,得
2 4 1 0
x - x - =
2
5
Î -1,1
x = - 5
2
= -
x = ±
x
2 - 5
.
......12 分
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( )
( )
x
( ) ( )
22、解:(1)∵ - =
f x
,所以 - + log 9 +1 = kx + log 9 +1
,
kx
f x
-x
9
9
( ) ( )
1
2
log 9 +1 -log 9 +1 = 2kx
-x = 2kx
xÎR
恒成立,所以,k = -
即
所
,∴
,对任意
-x
x
9
9
以
,
( )
1
( )
f x = log 9 +1 - x
.......4
x
2
9
分
( )
1
æ
ö
( )
( 2 ) f x - + b =
log 9 +1 - x -b > 0
对 任 意 的
成 立 , 即
Î
x R
ç
÷
x
2
è
ø
9
( )
log 9 +1 - x > b
x
9
( )
æ 9 +1ö
1
æ
ö
( )
x
1
h x = log 9 +1 - x = log ç
÷ = log 1+
= log u ,
令 y
在
x
ç
÷
=1+
u
9x
9
9
9
9
è
ø
9
è
ø
9x
x
xÎR
上单调减,
1
而
,
所
以
,
由
此
u
=1+
>1
y > 0
9x
......8 分
= 3 , Î 1,2 2
b £ 0
( )
( )
é
ù
,
h x
=
9
log9 9 +1
x
+ 2m×3 +1= 9 + 2m×3 + 2
,令t
2m×t + 2 = t + m + 2- m t Îé1,2 2ù
,
2
x t
(3)
x
x
x
ë
û
( )
则 = +
y t2
2
ë
û
3
①当 - £1即 m ³ -1
时, 在
y
é1,2 2ù
↑,从而 ymin= 2m + 3 = 0 ,
舍去。
= -
m
ë
û
m
2
[ ]
é ù
1,-m ¯, -m,2 2
↑ , 从 而
② 当 1< - < 2 2 即 -2 2 < < -1 时 , 在
m
m
y
ë
û
,则 = -
2
ymin = 2 - m2
m
é
1,2 2ù
③ - ³ 2 2 即 £ -2 2 时 , 在
↓ ,从而 ,则
y =10 + 4 2m = 0
m
m
y
ë
û
min
5 2
4
m = -
舍去。
m = - 2
综上:
.......
12 分
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(
) ( )
xÎ -¥,-1
2,+¥
......6 分
1 3
1
2
( )
( )
f x = 2 - 2
x
-x
(3) 1 = - = ,解得 = - (舍)或 = ,则
a
2
f
a
a
a
2
( ) ( ) ( )
( )
g x
∴
=
2 + 2 - 4 2 - 2 - m = 2 - 2
2
- 4 2 - 2 - m + 2
x
-x
2
x
- x
2
x
-x
x
-x
3
2
( ) 在[1,+¥)
g x ³ 0
恒成立,
令 =
∵
,∴t
³
t
2 - 2
x
xÎ[1,+¥)
-x
3
2
é
ö
÷
ø
即 -
4t - m + 2 ³ 0 t Î ,+¥
在
上恒成立
t
2
ê
ë
3
2
é
ö
÷
ø
即 £ -
m t
4t + 2 t Î ,+¥
在
上恒成立
2
ê
ë
( )
m £ -2
而
2
∴
∴m
的 最 大 值 为
t2
-
4t + 2 = t - 2 - 2 ³ -2
-2。
.......12 分
( ) ( )
2 f 0 = f 0
( )
f 0 = 0
( ) ( ) ( )
,则
21、解:(1)令x = y = 0,则
,则
;又令
,
f x + f -x = f 0 = 0
y = -x
( ) ( )
f - x = - f x
( )
f x
( )
上 是 奇 函
Î -1,1
即
, 所 以 函 数
在
x
数.
(2)证
......4 分
明
:
设
1
1
,
则
> x > x > -
2
1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
+ - (
)
f x
f x
,因为 1
- < -x <
1则由条件知
f x - f x = f x + f - x =
2
1 x - x
2
1
2
1
+ (- )
2
1
1
x2
x
1
( ) ( )
f x + f - x
( ) ( )
( ) ( )
在
0 而
,
所以函数
f x
上单调递
.....
2
1 >
0
0
-1,1
x - x >
f x - f x > ,
+ (-x )
2
1
2
1
x2
1
增。
..8 分
1
1
æ ö
æ
ö
( ) ( ) 1
( )
f x
= -1
(3)由
1则
1 从而
= 0,等价于
f ç ÷ =
f ç- ÷ = -
G x
=
f x
+
2
2
è ø
2
ø
2
è
( ) ( ) ( ) æ 2x
ö
æ 1 ö
( ) ( )
,因为函数 在 上单调递增,所
则
2 f x = f x + f x = f ç
÷ = -1 = f ç- ÷
-1,1
f x
ç
÷
2
2
ø
è1-
ø
è
x
2x
1- x2
1
2
( )
,故
( )的零点
f x
以
为
即
,则
,由
,得
2 4 1 0
x - x - =
2
5
Î -1,1
x = - 5
2
= -
x = ±
x
2 - 5
.
......12 分
第 2 页 共 4 页 命题人、审题人:寇明珍 孟 元
( )
( )
x
( ) ( )
22、解:(1)∵ - =
f x
,所以 - + log 9 +1 = kx + log 9 +1
,
kx
f x
-x
9
9
( ) ( )
1
2
log 9 +1 -log 9 +1 = 2kx
-x = 2kx
xÎR
恒成立,所以,k = -
即
所
,∴
,对任意
-x
x
9
9
以
,
( )
1
( )
f x = log 9 +1 - x
.......4
x
2
9
分
( )
1
æ
ö
( )
( 2 ) f x - + b =
log 9 +1 - x -b > 0
对 任 意 的
成 立 , 即
Î
x R
ç
÷
x
2
è
ø
9
( )
log 9 +1 - x > b
x
9
( )
æ 9 +1ö
1
æ
ö
( )
x
1
h x = log 9 +1 - x = log ç
÷ = log 1+
= log u ,
令 y
在
x
ç
÷
=1+
u
9x
9
9
9
9
è
ø
9
è
ø
9x
x
xÎR
上单调减,
1
而
,
所
以
,
由
此
u
=1+
>1
y > 0
9x
......8 分
= 3 , Î 1,2 2
b £ 0
( )
( )
é
ù
,
h x
=
9
log9 9 +1
x
+ 2m×3 +1= 9 + 2m×3 + 2
,令t
2m×t + 2 = t + m + 2- m t Îé1,2 2ù
,
2
x t
(3)
x
x
x
ë
û
( )
则 = +
y t2
2
ë
û
3
①当 - £1即 m ³ -1
时, 在
y
é1,2 2ù
↑,从而 ymin= 2m + 3 = 0 ,
舍去。
= -
m
ë
û
m
2
[ ]
é ù
1,-m ¯, -m,2 2
↑ , 从 而
② 当 1< - < 2 2 即 -2 2 < < -1 时 , 在
m
m
y
ë
û
,则 = -
2
ymin = 2 - m2
m
é
1,2 2ù
③ - ³ 2 2 即 £ -2 2 时 , 在
↓ ,从而 ,则
y =10 + 4 2m = 0
m
m
y
ë
û
min
5 2
4
m = -
舍去。
m = - 2
综上:
.......
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