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【全国百强校】四川省成都石室中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题.docx

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资源描述
成都石室中学2018-2019 年度上期高2021 届半期考试 数学试题 (总分:150 分,时间:120 分钟 ) 第Ⅰ卷(共60 分) 一、选择题(本题共12 道小题,每小题5 分,共60 分) { } { } 1、设全集为 ,集合 2 , ,则A∩( B)=( B = x | -1< x £ 3 ) R A = x | x - 4 < 0 R A.( 2, 0) - - B.( 2, 1) C.( 2, 1] D.( 2, 2) - - - - - - ( ) 0,+¥ 2、下列函数中,既是偶函数又在区间 上单调递减的是( ) ( ) f x = -x 1 1 A. 2 B. C. D. x f (x) = lg| x| f (x) = f (x) = ( ) x 2 3、下列各组函数中表示同一函数的是( ) f (x) = x 与g(x) = ( x)2 . f (x) =| x |与g(x) = x A. C. B 3 3 x2 -1 f (x) = lne 与g(x) = e D. f (x) = 与g(x) = x -1(x ¹ -1) x ln x x +1 1 4、函数 的零点所在区间为( ) f (x) = ln(-x) - x - 2 3 (-4,-3) B.(-3,-e) (-e,-2) C. D.(-2,-1) A. 9- | x | ( ) ln x -1 5、函数 ( ) f x = 的定义域为( ) A.(1,3] B.(1,2) (2,3] C.(1,9] D.(1,2) (2,9] ( ) 6、如果函数 ( )的反函数是增函数,那么函数y = -log x +1 的图象大 x y = a a > 0,a ¹1 a 致是( ) A B C D 1 7、已知 7 , 7 ,c ( ) ,则( log 0.3 ) a = b = = log 3.4 log 3.6 3 2 4 7 A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 第 2 页 共 4 页 命题人、审题人:寇明珍 孟 元 ( ) ( ) ( ) mÎ N 的图象关于原点对称,且在 0,+¥ 上是减函数, 8、已知幂函数 f x = x m-2 ( ) ( ) - m 2 m 2 若 a +1 < 3 - 2a ,则实数 a 的取值范围是( ) - 2 3 ( , ) 3 2 3 (-1, ) 2 2 3 (-¥,-1) ( , ) 3 2 (-1,3) A. 9.已知函数 B. C. D. 1 ( ) f x = ( )(a≠1)在区间(0,4] 上是增函数,则实数 a 的取值范 lg 3- ax a -1 围为( ) 3 3 ( ) ( ) +¥ A.(0, ) B.(0, ] C. 0,1 D. 0, 4 4 ( ) ( ) ( )的图像关于原点对称,则 ( g - 1 2 10、已知 x , 与 = ) ( ) f 2 = x +1 y = g x y = f x 2 A. -1- 2 B.1+ C.2 D.0 2 ( ) ( ) 11 、 已 知 函 数 y = f x -1 的 图 象 关 于 x 1 对 称 , 且 对 y = f x , xÎ R , 当 = ( ) ( ) ( ) ( ) f x - f x x , x Î(-¥,0] 时, 成立,若 f 2ax < f 2x2+1 对任意的 xÎR 恒成 < 0 1 2 1 2 x - x 2 ) 1 立,则 a 的范围( A. - 2 < a < 2 B. a <1 若关于 x 的方程 ( ) C. a < 2 D. a > 2 ì2 , x £ 0 ( )([ ] ) ï ( ) 2 1 0 恰有四个不同的 12、设函数 x f x - a f x - = f (x) = í log x, x > 0 ï î 2 实数解,则实数a 的取值范围为( ) ( ) A. 0 ,1 ( ) B.(-¥,0) (1,+¥) C.(-¥,0] (1,+¥) D. -¥,-1 (-1,0] (1,+¥) 第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(本题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分) 17p 13、已知角a = - ,则角a 的终边在第 象限。 6 1- x2 1+ x2 14、函数 y = 的值域是 . ( ) ( ) , f x = ax×(e +e )+bx +1且 f 2 = -2 , 3 a,bÎ R 15、已知 x -x ( ) 则 f 2 - = . 第 2 页 共 4 页 命题人、审题人:寇明珍 孟 元 16、给出下列说法: { }与集合 { }是相等集合; ①集合 | 2 1, B = x Î Z x = k + 3,k Î Z | 2 A = x Î Z x = k - k Î Z ( ) ②不存在实数 ,使 2 2 = x + mx + 1 为奇函数; f (2) f (4) m f x f (2018) (x + y) = f (x) f (y) ③若 f ,且 f(1)=2,则 +...+ = 2018 ; + f (1) f (3) f (2017) y f x x ④对于函数 = ( ) ( ÎR) 在同一直角坐标系中,若 f (1- x) = f (x -1),则函数 y = f (x) y f x x 的图象关于直线 = 对称; x 1 ⑤对于函数 = ( ) ( ÎR) 在同一直角坐标系中,函数 与 y = f (1- x) y = f (x -1) 的 图象关于直线 = 对称;其中正确说法是 0 。 x 三、解答题(本题共 6 道小题,共 70 分) { } { } 17、(本题 10 分)已知集合 ( ) 2 3- x { } A = xÎR | log x -1 <1 , B = y | y = 2 , C = x | 2a £ x < a + 6 . 2 (1)求集合 、 ; A B (2)若 ,求 的取值范围. a B C = C 2 3 9 4 8 27 æ ç è ö2 ÷ æ ç è ö- +2lg5 lg4+log 25 log 4 log 9 + × × 18、(本题 12 分)(1)计算 - - ÷ ø ø 2 3 5 ( ) (2)若关于 的二次方程 2 2 x + mx + = - m m 2 在区间 0,1 内有两个根,求 的取值 x 1 范围. 19、(本题 12 分)在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良 好的某种消费品专卖店以5.8 万元的优惠价格转让给了尚有5 万元无息贷款没有偿还 的小型企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低 生活费的开支 3600 元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料 中有:①这种消费品的进价为每件 14 元;②该店月销量 Q(百件)与销 售价格 P(元)的关系如图所示;③每月需各种开支2000 元. (1)当商品的销售价格为每件多少元时,月利润余额最大?并求最大余 额;(利润余额=销售利润-各种开支-最低生活费) (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫? 第 2 页 共 4 页 命题人、审题人:寇明珍 孟 元 ( ) ( -x > 0且 ¹ 1) 20、(本题 12 分)设函数 = - f x a a a a x ( ) ( ) ( ) (1)若 1 > 0 ,求不等式 - 2+ 7 + f x -5 < 0 的解集;其中单调性只需判断 f f x ( ) ( ) ( ) [ ) 1,+¥ 上恒成立,求 的最 m 3 2 ( ) f 1 = g x = a + a - 4 f x - m ³ 0 (3)若 ,且 在 2x -2x 大值。 21、(本题 12 分)已知函数 ( )定义在( ) 上且满足下列两个条件: f x -1,1 ( ) Î - 1,1 时 , 有 ( ) ( ) ( ) æ + ö x y ① 对 任 意 都 有 ;② 当 , x y x, yÎ -1,1 f x + f y = f ç ç ÷ ÷ 1+ xy è ø ( ) ( ) f x + f y > 0 . x + y ( ) ( ) 上是奇函数; -1,1 (1)证明函数 在 f x (2)判断并证明 ( )的单调性. f x æ 1 ö ( ) ( ) 1 (3)若 ,试求函数 的零点. ç- ÷ = -1 G x = f x + f 2 2 è ø ( ) ( ) f x kx = + ( ) k Î R 是偶函数. log 9 +1 22、(本题 12 分)已知函数 (1)求 的值; , x 9 k 1 2 ( ) (2)若函数 = y f x 的图象在直线 = + 上方,求 的取值范围; x b b y ( ) h x 1 [ ] ( ) ,是否存在实数 使得 的 h x ( ) (3)若函数 = 9 f x 2 x + + 2m×3 +1 ,x Î 0,log 8 m x 9 最小值为 0?若存在,求出 的值,若不存在,请说明理由. m 第 2 页 共 4 页 命题人、审题人:寇明珍 孟 元 成都石室中学2018-2019 年度上期高2021 届半期考试 数学试题答案 一、选择题 1-5 CADBD 二、填空题 13、 三 三、解答题 6-10 CCBAD 14、 (-1,1] 15、 4 11-12 AD 16、 ①②③ ( ) { } log x -1 <1 得:1< < 3 ∴A = x |1 < x < 3 17、解:(1)解 ∵3- x2 £ 3 ∴ x 2 { } 0 < 23-x2£ 8 ∴ B = x | 0 < x £ 8 ......5 分 2a ³ a + 6 ,即a ³ 6 时,C = Æ Í B (2)由 = 得 Í , 当 B C C C B 2a > 0 îa + 6 £ 8 ì { } 当 < 时, 6 = | 2 £ < + 6 ,若C £ A ,则 x a x a í 解得0 < a £ 2 a C 综 上 所 述 , a 的 取 值 范 围 是 ( ] [ ) 0,2 6,+¥ ......10 分 2 3 9 æ 2 ö - 3 - - +2lg5 + 2lg 2+log 5 ×log 2 ×log 3 2 2 2 ç ÷ 18、(1)解:原式= 4 3 è 3 ø 2 3 5 = 9 4 3 2 è ø æ ö 2 - +(2 lg5 + lg 2)+8 log 5×log 2×log 3 =10 .....5 ç ÷ 2 3 5 分 (2)令f(x)=x2+2mx+2m+1 则它与x 轴交点均落在区间(0,1)内,如图(2)所示,列 不等式组 ì 1 2 ï m>- , ( ) í ) ï ï ( ) 1 1 = 4m + 2 > 0 1 ï f m>- , í 2 ( 2 D=4m2- 4 2m +1 ³ 0 0 < -m <1 ï ï îm≥1+ 2或m≤1- 2, -1<m<0. î 故 m . 的 取 值 范 围 是 1 2 (- ,1- 2] ......12 分 第 2 页 共 4 页 命题人、审题人:寇明珍 孟 元 1 x2+1 2 x +1 法 2:x2+2mx+1=-2m 在(0,1)有解等价于 = - 在(0,1)有解,令 m ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 t - 2 1 +1 1 2 2 ( ) = x +1Î 1,2 则记 ( ) h t æ ö = - = - + - 2 在t Î 1, 2 ­, 2,2 ¯ , t çt è ÷ t t ø 1 2 所以当 = 2 时, ( )取最大值1- 2 ,m∈(0,1)时 ( ) ( ) ( ) h t h > 1 = h 2 = - ,故 t h t 1 2 (- ,1- 2] m 的取值范围是 ......12 分 ( ) 19、解:设该店月利润余额为 L,则由题设得 = L Q P - 14 ´100 - 3600 - 2000,① ( ) ì-2P + 50 14 £ P £ 20 ï 由销量图易得 = Q í 3 代入①式得 ( ) - P + 40 20 < P £ 26 ï î 2 ( )( ) ( ) ì -2P + 50 P -14 ´100 -5600 14 £ P £ 20 ï L = íæ 3 ö ( ) ( ) - P + 40 P -14 ´100 -5600 20 < P £ 26 ç ÷ ï 2 îè ø ......6 分 1250 3 (1)当14 £ P £ 20时, L = 450 元,此时 P =19.5元 ;当 20 < P £ 26时, = Lmax max 61 3 元 , 此 时 = 元 故 当 = 19.5 元 时 , 月 利 润 余 额 最 大 , 为 450 P P 元 ......9 分 (2)设可在 n 年后脱贫,依题意有12n´450-50000-58000³ 0 解得n ³ 20 即 贫 最 早 可 望 在 20 年 后 脱 ......12 分 2 1 a -1 > 0且 ¹1 >1 ( ) a a ,所以a 20、解:(1) ,又 > 0 f 1 = a - = a a ( )在 R 上单调递增。 f x a 单调递增,a 单调递减,故 -x x ( ) 又∵ - = f x a-x ( ) f x ( ) ∴ 是 R 上的奇函数, f x - = - a x 且 ÎR x ( ) ( ) ( ) f -x + 7 < f 5- x 得 2 ( ) 由 - + f x 7 + f x -5 < 0 2 ∴ - 2 + x 7 < 5 - x ∴ 第 2 页 共 4 页 命题人、审题人:寇明珍 孟 元 ( ) ( ) xÎ -¥,-1 2,+¥ ......6 分 1 3 1 2 ( ) ( ) f x = 2 - 2 x -x (3) 1 = - = ,解得 = - (舍)或 = ,则 a 2 f a a a 2 ( ) ( ) ( ) ( ) g x ∴ = 2 + 2 - 4 2 - 2 - m = 2 - 2 2 - 4 2 - 2 - m + 2 x -x 2 x - x 2 x -x x -x 3 2 ( ) 在[1,+¥) g x ³ 0 恒成立, 令 = ∵ ,∴t ³ t 2 - 2 x xÎ[1,+¥) -x 3 2 é ö ÷ ø 即 - 4t - m + 2 ³ 0 t Î ,+¥ 在 上恒成立 t 2 ê ë 3 2 é ö ÷ ø 即 £ - m t 4t + 2 t Î ,+¥ 在 上恒成立 2 ê ë ( ) m £ -2 而 2 ∴ ∴m 的 最 大 值 为 t2 - 4t + 2 = t - 2 - 2 ³ -2 -2。 .......12 分 ( ) ( ) 2 f 0 = f 0 ( ) f 0 = 0 ( ) ( ) ( ) ,则 21、解:(1)令x = y = 0,则 ,则 ;又令 , f x + f -x = f 0 = 0 y = -x ( ) ( ) f - x = - f x ( ) f x ( ) 上 是 奇 函 Î -1,1 即 , 所 以 函 数 在 x 数. (2)证 ......4 分 明 : 设 1 1 , 则 > x > x > - 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + - ( ) f x f x ,因为 1 - < -x < 1则由条件知 f x - f x = f x + f - x = 2 1 x - x 2 1 2 1 + (- ) 2 1 1 x2 x 1 ( ) ( ) f x + f - x ( ) ( ) ( ) ( ) 在 0 而 , 所以函数 f x 上单调递 ..... 2 1 > 0 0 -1,1 x - x > f x - f x > , + (-x ) 2 1 2 1 x2 1 增。 ..8 分 1 1 æ ö æ ö ( ) ( ) 1 ( ) f x = -1 (3)由 1则 1 从而 = 0,等价于 f ç ÷ = f ç- ÷ = - G x = f x + 2 2 è ø 2 ø 2 è ( ) ( ) ( ) æ 2x ö æ 1 ö ( ) ( ) ,因为函数 在 上单调递增,所 则 2 f x = f x + f x = f ç ÷ = -1 = f ç- ÷ -1,1 f x ç ÷ 2 2 ø è1- ø è x 2x 1- x2 1 2 ( ) ,故 ( )的零点 f x 以 为 即 ,则 ,由 ,得 2 4 1 0 x - x - = 2 5 Î -1,1 x = - 5 2 = - x = ± x 2 - 5 . ......12 分 第 2 页 共 4 页 命题人、审题人:寇明珍 孟 元 ( ) ( ) x ( ) ( ) 22、解:(1)∵ - = f x ,所以 - + log 9 +1 = kx + log 9 +1 , kx f x -x 9 9 ( ) ( ) 1 2 log 9 +1 -log 9 +1 = 2kx -x = 2kx xÎR 恒成立,所以,k = - 即 所 ,∴ ,对任意 -x x 9 9 以 , ( ) 1 ( ) f x = log 9 +1 - x .......4 x 2 9 分 ( ) 1 æ ö ( ) ( 2 ) f x - + b = log 9 +1 - x -b > 0 对 任 意 的 成 立 , 即 Î x R ç ÷ x 2 è ø 9 ( ) log 9 +1 - x > b x 9 ( ) æ 9 +1ö 1 æ ö ( ) x 1 h x = log 9 +1 - x = log ç ÷ = log 1+ = log u ­ , 令 y 在 x ç ÷ =1+ u 9x 9 9 9 9 è ø 9 è ø 9x x xÎR 上单调减, 1 而 , 所 以 , 由 此 u =1+ >1 y > 0 9x ......8 分 = 3 , Î 1,2 2 b £ 0 ( ) ( ) é ù , h x = 9 log9 9 +1 x + 2m×3 +1= 9 + 2m×3 + 2 ,令t 2m×t + 2 = t + m + 2- m t Îé1,2 2ù , 2 x t (3) x x x ë û ( ) 则 = + y t2 2 ë û 3 ①当 - £1即 m ³ -1 时, 在 y é1,2 2ù ↑,从而 ymin= 2m + 3 = 0 , 舍去。 = - m ë û m 2 [ ] é ù 1,-m ¯, -m,2 2 ­ ↑ , 从 而 ② 当 1< - < 2 2 即 -2 2 < < -1 时 , 在 m m y ë û ,则 = - 2 ymin = 2 - m2 m é 1,2 2ù ③ - ³ 2 2 即 £ -2 2 时 , 在 ↓ ,从而 ,则 y =10 + 4 2m = 0 m m y ë û min 5 2 4 m = - 舍去。 m = - 2 综上: ....... 12 分 第 2 页 共 4 页 命题人、审题人:寇明珍 孟 元 ( ) ( ) xÎ -¥,-1 2,+¥ ......6 分 1 3 1 2 ( ) ( ) f x = 2 - 2 x -x (3) 1 = - = ,解得 = - (舍)或 = ,则 a 2 f a a a 2 ( ) ( ) ( ) ( ) g x ∴ = 2 + 2 - 4 2 - 2 - m = 2 - 2 2 - 4 2 - 2 - m + 2 x -x 2 x - x 2 x -x x -x 3 2 ( ) 在[1,+¥) g x ³ 0 恒成立, 令 = ∵ ,∴t ³ t 2 - 2 x xÎ[1,+¥) -x 3 2 é ö ÷ ø 即 - 4t - m + 2 ³ 0 t Î ,+¥ 在 上恒成立 t 2 ê ë 3 2 é ö ÷ ø 即 £ - m t 4t + 2 t Î ,+¥ 在 上恒成立 2 ê ë ( ) m £ -2 而 2 ∴ ∴m 的 最 大 值 为 t2 - 4t + 2 = t - 2 - 2 ³ -2 -2。 .......12 分 ( ) ( ) 2 f 0 = f 0 ( ) f 0 = 0 ( ) ( ) ( ) ,则 21、解:(1)令x = y = 0,则 ,则 ;又令 , f x + f -x = f 0 = 0 y = -x ( ) ( ) f - x = - f x ( ) f x ( ) 上 是 奇 函 Î -1,1 即 , 所 以 函 数 在 x 数. (2)证 ......4 分 明 : 设 1 1 , 则 > x > x > - 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + - ( ) f x f x ,因为 1 - < -x < 1则由条件知 f x - f x = f x + f - x = 2 1 x - x 2 1 2 1 + (- ) 2 1 1 x2 x 1 ( ) ( ) f x + f - x ( ) ( ) ( ) ( ) 在 0 而 , 所以函数 f x 上单调递 ..... 2 1 > 0 0 -1,1 x - x > f x - f x > , + (-x ) 2 1 2 1 x2 1 增。 ..8 分 1 1 æ ö æ ö ( ) ( ) 1 ( ) f x = -1 (3)由 1则 1 从而 = 0,等价于 f ç ÷ = f ç- ÷ = - G x = f x + 2 2 è ø 2 ø 2 è ( ) ( ) ( ) æ 2x ö æ 1 ö ( ) ( ) ,因为函数 在 上单调递增,所 则 2 f x = f x + f x = f ç ÷ = -1 = f ç- ÷ -1,1 f x ç ÷ 2 2 ø è1- ø è x 2x 1- x2 1 2 ( ) ,故 ( )的零点 f x 以 为 即 ,则 ,由 ,得 2 4 1 0 x - x - = 2 5 Î -1,1 x = - 5 2 = - x = ± x 2 - 5 . ......12 分 第 2 页 共 4 页 命题人、审题人:寇明珍 孟 元 ( ) ( ) x ( ) ( ) 22、解:(1)∵ - = f x ,所以 - + log 9 +1 = kx + log 9 +1 , kx f x -x 9 9 ( ) ( ) 1 2 log 9 +1 -log 9 +1 = 2kx -x = 2kx xÎR 恒成立,所以,k = - 即 所 ,∴ ,对任意 -x x 9 9 以 , ( ) 1 ( ) f x = log 9 +1 - x .......4 x 2 9 分 ( ) 1 æ ö ( ) ( 2 ) f x - + b = log 9 +1 - x -b > 0 对 任 意 的 成 立 , 即 Î x R ç ÷ x 2 è ø 9 ( ) log 9 +1 - x > b x 9 ( ) æ 9 +1ö 1 æ ö ( ) x 1 h x = log 9 +1 - x = log ç ÷ = log 1+ = log u ­ , 令 y 在 x ç ÷ =1+ u 9x 9 9 9 9 è ø 9 è ø 9x x xÎR 上单调减, 1 而 , 所 以 , 由 此 u =1+ >1 y > 0 9x ......8 分 = 3 , Î 1,2 2 b £ 0 ( ) ( ) é ù , h x = 9 log9 9 +1 x + 2m×3 +1= 9 + 2m×3 + 2 ,令t 2m×t + 2 = t + m + 2- m t Îé1,2 2ù , 2 x t (3) x x x ë û ( ) 则 = + y t2 2 ë û 3 ①当 - £1即 m ³ -1 时, 在 y é1,2 2ù ↑,从而 ymin= 2m + 3 = 0 , 舍去。 = - m ë û m 2 [ ] é ù 1,-m ¯, -m,2 2 ­ ↑ , 从 而 ② 当 1< - < 2 2 即 -2 2 < < -1 时 , 在 m m y ë û ,则 = - 2 ymin = 2 - m2 m é 1,2 2ù ③ - ³ 2 2 即 £ -2 2 时 , 在 ↓ ,从而 ,则 y =10 + 4 2m = 0 m m y ë û min 5 2 4 m = - 舍去。 m = - 2 综上: ....... 12 分 第 2 页 共 4 页 命题人、审题人:寇明珍 孟 元
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