【全国百强校】四川省成都石室中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题.docx

成都石室中学2018-2019 年度上期高2021 届半期考试
数学试题
（总分：150 分，时间：120 分钟 ）
第Ⅰ卷（共60 分）
一、选择题（本题共12 道小题，每小题5 分，共60 分）
{
}
{
}
1、设全集为 ，集合
2
， ，则A∩( B)＝(
B = x | -1< x £ 3
)
R
A = x | x - 4 < 0
R
A．( 2, 0)
- -
B．( 2, 1)
C．( 2, 1]
D．( 2, 2)
- -
- -
- -
( )
0,+¥
2、下列函数中，既是偶函数又在区间
上单调递减的是(
)
( )
f x = -x
1
1
A．
2
B．
C．
D．
x
f (x) = lg| x|
f (x) =
f (x) = ( )
x
2
3、下列各组函数中表示同一函数的是（
）
f (x) = x 与g(x) = ( x)2
． f (x) =| x |与g(x) = x
A．
C．
B
3
3
x2 -1
f (x) = lne 与g(x) = e
D． f (x) =
与g(x) = x -1（x ¹ -1）
x
ln x
x +1
1
4、函数
的零点所在区间为（
）
f (x) = ln(-x) - x - 2
3
(-4,-3)
B．(-3,-e)
(-e,-2)
C.
D．(-2,-1)
A．
9- | x |
( )
ln x -1
5、函数 ( )
f x =
的定义域为(
)
A．(1,3]
B．(1,2) (2,3]
C．(1,9]
D．(1,2) (2,9]
( )
6、如果函数
(
)的反函数是增函数，那么函数y = -log x +1 的图象大
x
y = a a > 0,a ¹1
a
致是（
）
A
B
C
D
1
7、已知
7
，
7
，c ( )
，则(
log 0.3
)
a =
b =
=
log 3.4
log 3.6
3
2
4
7
A．a>b>c
B．b>a>c
C．a>c>b
D．c>a>b
第 2 页 共 4 页 命题人、审题人：寇明珍 孟 元

( )
( ) ( )
mÎ N 的图象关于原点对称，且在 0,+¥ 上是减函数，
8、已知幂函数 f x = x
m-2
( ) (
)
-
m
2
m
2
若 a +1
< 3 - 2a
，则实数 a 的取值范围是（
）
-
2 3
( , )
3 2
3
(-1, )
2
2 3
(-¥,-1) ( , )
3 2
(-1,3)
A.
9．已知函数
B.
C.
D.
1
( )
f x =
( )(a≠1)在区间(0,4] 上是增函数，则实数 a 的取值范
lg 3- ax
a -1
围为(
)
3
3
( )
( )
+¥
A．(0, )
B．(0, ]
C． 0,1
D． 0,
4
4
( )
( )
( )的图像关于原点对称，则 (
g -
1
2
10、已知
x
，
与
=
) （
）
f 2 = x +1 y = g x
y = f x
2
A． -1- 2
B．1+
C．2
D．0
2
( )
( )
11 已 知 函 数 y = f x -1 的 图 象 关 于 x 1 对 称 ， 且 对 y = f x , xÎ R ， 当
=
( )
( ) ( )
( )
f x - f x
x , x Î(-¥,0] 时，
成立，若 f 2ax < f 2x2+1 对任意的
xÎR 恒成
< 0
1
2
1
2
x - x
2
）
1
立，则 a 的范围（
A. - 2 < a < 2
B. a <1
若关于 x 的方程 ( )
C. a < 2
D. a > 2
ì2 , x £ 0
(
)([ ] )
ï
( ) 2 1 0 恰有四个不同的
12、设函数
x
f x - a f x - =
f (x) =
í
log x, x > 0
ï
î
2
实数解，则实数a 的取值范围为（
）
( )
A． 0 ,1
(
)
B.(-¥,0) （1，+¥） C.(-¥,0] （1，+¥） D． -¥,-1 (-1,0] （1，+¥）
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）
17p
13、已知角a = -
，则角a 的终边在第
象限。
6
1- x2
1+ x2
14、函数 y =
的值域是
.
( ) ( )
， f x = ax×e +e )+bx +1且 f 2 = -2 ，
3
a,bÎ R
15、已知
x
-x
( )
则 f 2
- =
.
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16、给出下列说法：
{
}与集合
{
}是相等集合；
①集合
|
2
1,
B = x Î Z x = k + 3,k Î Z
|
2
A = x Î Z x = k - k Î Z
( )
②不存在实数 ,使
2 2
= x + mx +
1 为奇函数；
f (2) f (4)
m
f x
f (2018)
(x + y) = f (x) f (y)
③若 f
，且 f(1)=2,则
+...+
=
2018 ；
+
f (1) f (3)
f (2017)
y f x x
④对于函数 = ( ) ( ÎR) 在同一直角坐标系中，若
f (1- x) = f (x -1)，则函数
y = f (x)
y f x x
的图象关于直线 = 对称；
x
1
⑤对于函数 = ( ) ( ÎR) 在同一直角坐标系中，函数
与
y = f (1- x) y = f (x -1)
的
图象关于直线 = 对称；其中正确说法是
0
。
x
三、解答题（本题共 6 道小题，共 70 分）
{ }
{
}
17、(本题 10 分)已知集合
( )
2
3-
x
{
}
A = xÎR | log x -1 <1 , B
= y | y = 2
, C = x | 2a £ x < a + 6 .
2
（1）求集合 、 ；
A
B
（2）若
，求 的取值范围.
a
B C = C
2
3
9
4
8
27
æ
ç
è
ö2
÷
æ
ç
è
ö- +2lg5 lg4+log 25 log 4 log 9
+ × ×
18、（本题 12 分）（1）计算
-
-
÷
ø
ø
2
3
5
( )
（2）若关于 的二次方程 2 2
x + mx + = - m
m
2 在区间 0,1 内有两个根，求 的取值
x
1
范围．
19、（本题 12 分）在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良
好的某种消费品专卖店以5.8 万元的优惠价格转让给了尚有5 万元无息贷款没有偿还
的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低
生活费的开支 3600 元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料
中有：①这种消费品的进价为每件 14 元；②该店月销量 Q(百件)与销
售价格 P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2000 元．
(1)当商品的销售价格为每件多少元时，月利润余额最大?并求最大余
额；（利润余额=销售利润－各种开支－最低生活费）
(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫?
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( )
(
-x
> 0且 ¹ 1)
20、（本题 12 分）设函数
= -
f x a a a
a
x
( )
( )
( )
（1）若 1 > 0 ，求不等式 - 2+
7 + f x -5 < 0
的解集；其中单调性只需判断
f
f x
（
）
( )
( )
[ )
1,+¥
上恒成立，求 的最
m
3

2
( )
f 1 =
g x = a + a - 4 f x - m ³ 0
（3）若
，且
在
2x
-2x
大值。
21、（本题 12 分）已知函数
( )定义在( )
上且满足下列两个条件：
f x
-1,1
( )
Î -
1,1 时 ， 有
( )
( ) ( ) æ + ö
x y
① 对 任 意
都 有
；② 当 ,
x y
x, yÎ -1,1
f x + f y = f
ç
ç
÷
÷
1+ xy
è
ø
( ) ( )
f x + f y
> 0
．
x + y
( ) ( )
上是奇函数；
-1,1
（1）证明函数
在
f x
（2）判断并证明
( )的单调性.
f x
æ 1 ö
( ) ( ) 1
（3）若
，试求函数
的零点．
ç- ÷ = -1
G x = f x +
f
2
2
è
ø
( )
( )
f x kx
= +
( )
k Î R
是偶函数．
log 9 +1
22、（本题 12 分）已知函数
（1）求 的值；
，
x
9
k
1
2
( )
（2）若函数 =
y f x
的图象在直线 =
+ 上方，求 的取值范围；
x b b
y
( )
h x
1
[
]
)
，是否存在实数 使得 的
h x
( )
（3）若函数
=
9
f x 2 x
+
+ 2m×3 +1
，x
Î 0,log 8
m
x
9
最小值为 0？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由．
m
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成都石室中学2018-2019 年度上期高2021 届半期考试
数学试题答案
一、选择题 1-5 CADBD
二、填空题 13、 三
三、解答题
6-10 CCBAD
14、 (-1,1] 15、 4
11-12 AD
16、 ①②③
( )
{
}
log x -1 <1 得：1< < 3 ∴A = x |1 < x < 3
17、解：（1）解
∵3- x2 £ 3
∴
x
2
{
}
0 < 23-x2£ 8
∴
B = x | 0 < x £ 8
......5 分
2a ³ a + 6 ，即a ³ 6 时，C = Æ Í B
（2）由
= 得 Í ， 当
B C C C B
2a > 0
îa + 6 £ 8
ì
{
}
当 < 时，
6
= | 2 £ < + 6 ，若C £ A ，则
x a x a í
解得0 < a £ 2
a
C
综
上
所
述
，
a
的
取
值
范
围
是
( ] [ )
0,2
6,+¥
......10 分
2
3
9 æ 2 ö
-
3
- -
+2lg5 + 2lg 2+log 5 ×log 2 ×log 3
2 2 2
ç ÷
18、（1）解：原式= 4
3
è
3
ø
2
3
5
=
9
4
3
2
è ø
æ ö
2
-
+（2 lg5 + lg 2）+8 log 5×log 2×log 3 =10
.....5
ç ÷
2
3
5
分
(2)令f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1 则它与x 轴交点均落在区间(0，1)内，如图(2)所示，列
不等式组
ì
1
2
ï
m>－ ，
( )
í
) ï
ï ( )
1
1 = 4m + 2 > 0
1
ï f
m>－ ，
í
2
(
2
D=4m2- 4 2m +1 ³ 0
0 < -m <1
ï
ï
îm≥1＋ 2或m≤1－ 2，
－10,1）有解，令
m
( )
( )
( ) ( )
2
1 t -
2
1 +1
1
2
2
( )
= x +1Î 1,2 则记
( )
h t
æ
ö
= -
= -
+ - 2 在t Î 1, 2 ­, 2,2 ¯ ，
t
çt
è
÷
t
t
ø
1
2
所以当 = 2 时，
( )取最大值1- 2 ，m∈（0,1）时 ( ) ( ) ( )
h t h
>
1 = h 2 = -
，故
t
h t
1
2
(- ,1- 2]
m 的取值范围是
......12 分
(
)
19、解：设该店月利润余额为 L，则由题设得 =
L Q P
-
14 ´100 - 3600 - 2000,①
(
)
ì-2P + 50 14 £ P £ 20
ï
由销量图易得 =
Q í 3
代入①式得
(
)
- P + 40 20 < P £ 26
ï
î 2
(
)( )
(
)
ì -2P + 50 P -14 ´100 -5600 14 £ P £ 20
ï
L = íæ 3
ö
(
)
(
)
- P + 40 P -14 ´100 -5600 20 < P £ 26
ç
÷
ï
2
îè
ø
......6 分
1250
3
（1）当14 £ P £ 20时，
L = 450
元，此时
P =19.5元 ；当 20 < P £ 26时，
=
Lmax
max
61
3
元 ， 此 时 =
元
故 当 =
19.5
元 时 ， 月 利 润 余 额 最 大 ， 为 450
P
P
元
......9 分
（2）设可在 n 年后脱贫，依题意有12n´450-50000-58000³ 0
解得n ³ 20
即
贫
最
早
可
望
在
20
年
后
脱
......12 分
2
1 a -1
> 0且 ¹1
>1
( )
a
a
，所以a
20、解：（1）
，又
> 0
f 1 = a - =
a
a
( )在 R 上单调递增。
f x
a 单调递增，a 单调递减，故
-x
x
( )
又∵ - =
f x a-x
( )
f x
( )
∴ 是 R 上的奇函数，
f x
- = -
a
x
且 ÎR
x
( )
( )
( )
f -x + 7 < f 5- x
得
2
( )
由 - +
f x
7 + f x -5 < 0
2
∴
- 2 +
x
7 < 5 - x
∴
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) ( )
xÎ -¥,-1
2,+¥
......6 分
1 3
1
2
( )
( )
f x = 2 - 2
x
-x
（3） 1 = - = ，解得 = - （舍）或 = ，则
a
2
f
a
a
a
2
( ) ( ) ( )
( )
g x
∴
=
2 + 2 - 4 2 - 2 - m = 2 - 2
2
- 4 2 - 2 - m + 2
x
-x
2
x
- x
2
x
-x
x
-x
3
2
( ) 在[1,+¥)
g x ³ 0
恒成立，
令 =
∵
，∴t
³
t
2 2
x
xÎ[1,+¥)
-x
3
2
é
ö
÷
ø
即 -
4t - m + 2 ³ 0 t Î ,+¥
在
上恒成立
t
2
ê
ë
3
2
é
ö
÷
ø
即 £ -
m t
4t + 2 t Î ,+¥
在
上恒成立
2
ê
ë
( )
m £ -2
而
2
∴
∴m
的 最 大 值 为
t2
-
4t + 2 = t - 2 - 2 ³ -2
-2。
.......12 分
( ) ( )
2 f 0 = f 0
( )
f 0 = 0
( ) ( ) ( )
，则
21、解：（1）令x = y = 0,则
，则
；又令
，
f x + f -x = f 0 = 0
y = -x
( ) ( )
f - x = - f x
( )
f x
( )
上 是 奇 函
Î -1,1
即
， 所 以 函 数
在
x
数.
（2）证
......4 分
明
：
设
1
1
，
则
> x > x > -
2
1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
+ - (
)
f x
f x
，因为 1
- < -x <
1则由条件知
f x - f x = f x + f - x =
2
1 x x
2
1
2
1
+ (- )
2
1
1
x2
x
1
( ) ( )
f x + f - x
( ) ( )
( ) ( )
在
0 而
，
所以函数
f x
上单调递
.....
2
1 >
0
0
-1,1
x - x >
f x - f x > ，
+ (-x )
2
1
2
1
x2
1
增。
..8 分
1
1
æ ö
æ
ö
( ) ( ) 1
( )
f x
= -1
（3）由
1则
1 从而
= 0，等价于
f ç ÷ =
f ç- ÷ = -
G x
=
f x
+
2
2
è ø
2
ø
2
è
( ) ( ) ( ) æ 2x
ö
æ 1 ö
( ) ( )
，因为函数 在 上单调递增，所
则
2 f x = f x + f x = f ç
÷ = -1 = f ç- ÷
-1,1
f x
ç
÷
2
2
ø
è1-
ø
è
x
2x
1- x2
1
2
( )
，故
( )的零点
f x
以
为
即
，则
，由
，得
2 4 1 0
x - x - =
2
5
Î -1,1
x = - 5
2
= -
x = ±
x
2 - 5
.

......12 分
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( )
( )
x
( ) ( )
22、解：（1）∵ - =
f x
，所以 - + log 9 +1 = kx + log 9 +1
，
kx
f x
-x
9
9
( ) ( )
1
2
log 9 +1 -log 9 +1 = 2kx
-x = 2kx
xÎR
恒成立，所以，k = -
即
所
，∴
，对任意
-x
x
9
9
以
，
( )
1
( )
f x = log 9 +1 - x
.......4
x
2
9
分
( )
1
æ
ö
( )
（ 2 ） f x - + b =
log 9 +1 - x -b > 0
对 任 意 的
成 立 ， 即
Î
x R
ç
÷
x
2
è
ø
9
( )
log 9 +1 - x > b
x
9
( )
æ 9 +1ö
1
æ
ö
( )
x
1
h x = log 9 +1 - x = log ç
÷ = log 1+
= log u ­ ，
令 y
在
x
ç
÷
=1+
u
9x
9
9
9
9
è
ø
9
è
ø
9x
x
xÎR
上单调减，
1
而
，
所
以
，
由
此
u
=1+
>1
y > 0
9x
......8 分
= 3 , Î 1,2 2
b £ 0
( )
( )
é
ù
，
h x
=
9
log9 9 +1
x
+ 2m×3 +1= 9 + 2m×3 + 2
，令t
2m×t + 2 = t + m + 2- m t Îé1,2 2ù
，
2
x t
（3）
x
x
x
ë
û
( )
则 = +
y t2
2
ë
û
3
①当 - £1即 m ³ -1
时， 在
y
é1,2 2ù
↑，从而 ymin= 2m + 3 = 0 ，
舍去。
= -
m
ë
û
m
2
[ ]
é ù
1,-m ¯, -m,2 2 ­
↑ ， 从 而
② 当 1< - < 2 2 即 -2 2 < < -1 时 ， 在
m
m
y
ë
û
，则 = -
2
ymin = 2 - m2
m
é
1,2 2ù
③ - ³ 2 2 即 £ -2 2 时 ， 在
↓ ，从而 ，则
y =10 + 4 2m = 0
m
m
y
ë
û
min
5 2
4
m = -
舍去。
m = - 2
综上：
.......
12 分
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(
) ( )
xÎ -¥,-1
2,+¥
......6 分
1 3
1
2
( )
( )
f x = 2 - 2
x
-x
（3） 1 = - = ，解得 = - （舍）或 = ，则
a
2
f
a
a
a
2
( ) ( ) ( )
( )
g x
∴
=
2 + 2 - 4 2 - 2 - m = 2 - 2
2
- 4 2 - 2 - m + 2
x
-x
2
x
- x
2
x
-x
x
-x
3
2
( ) 在[1,+¥)
g x ³ 0
恒成立
令 =
∵
，∴t
³
t
2 - 2
x
xÎ[1,+¥)
-x
3
2
é
ö
÷
ø
即 -
4t - m + 2 ³ 0 t Î ,+¥
在
上恒成立
t
2
ê
ë
3
2
é
ö
÷
ø
即 £ -
m t
4t + 2 t Î ,+¥
在
上恒成立
2
ê
ë
( )
m £ -2
而
2
∴
∴m
的 最 大 值 为
t2
-
4t + 2 = t - 2 - 2 ³ -2
-2。
.......12 分
( ) ( )
2 f 0 = f 0
( )
f 0 = 0

( ) ( ) ( )
，则
21、解：（1）令x = y = 0,则
，则
；又令
，
f x + f -x = f 0 = 0
y = -x
( ) ( )
f - x = - f x
( )
f x
( )
上 是 奇 函
Î -1,1
即
， 所 以 函 数
在
x
数.
（2）证
......4 分
明
：
设
1
1
，
则
> x > x > -
2
1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
+ - (
)
f x
f x
，因为 1
- < -x <
1则由条件知
f x - f x f x + f - x =
2
1 x - x
2
1
2
1
+ (- )
2
1
1
x2
x
1
( ) ( )
f x + f - x
( ) ( )
( ) ( )
在
0 而
，
所以函数
f x
上单调递
.....
2
1 >
0
0
-1,1
x - x >
f x - f x > ，
+ (-x )
2
1
2
1
x2
1
增。
..8 分
1
1
æ ö
æ
ö
( ) ( ) 1
( )
f x
= -1
（3）由
1则
1 从而
= 0，等价于
f ç ÷ =
f ç- ÷ = -
G x
=
f x
+
2
2
è ø
2
ø
2
è
( ) ( ) ( ) æ 2x
ö
æ 1 ö
( ) ( )
，因为函数 在 上单调递增，所
则
2 f x = f x + f x = f ç
÷ = -1 = f ç- ÷
-1,1
f x
ç
÷
2
2
ø
è1-
ø
è
x
2x
1- x2
1
2
( )
，故
( )的零点
f x
以
为
即
，则
，由
，得
2 4 1 0
x - x - =
2
5
Î -1,1
x = - 5
2
-
x = ±
x
2 - 5
.
......12 分
第 2 页 共 4 页 命题人、审题人：寇明珍 孟 元

( )
( )
x
( ) ( )
22、解：（1）∵ - =
f x
，所以 - + log 9 +1 = kx + log 9 +1
，
kx
f x
-x
9
9
( ) ( )
1
2
log 9 +1 -log 9 +1 = 2kx
-x = 2kx
xÎR
恒成立，所以，k = -
即
所
，∴
，对任意
-x
x
9
9
以
，
( )
1
( )
f x = log 9 +1 - x
.......4
x
2
9
分
( )
1
æ
ö
( )
（ 2 ） f x - + b =
log 9 +1 - x -b > 0
对 任 意 的
成 立 ， 即
Î
x R
ç
÷
x
2
è
ø
9
( )
log 9 +1 - x > b
x
9
( )
æ 9 +1ö
1
æ
ö
( )
x
1
h x = log 9 +1 - x = log ç
÷ = log 1+
= log u ­ ，
令 y
在
x
ç
÷
=1+
u
9x
9
9
9
9
è
ø
9

è
ø
9x
x
xÎR
上单调减，
1
而
，
所
以
，
由
此
u
=1+
>1
y > 0
9x
......8 分
= 3 , Î 1,2 2
b £ 0
( )
( )
é
ù
，
h x
=
9
log9 9 +1
x
+ 2m×3 +1= 9 + 2m×3 + 2
，令t
2m×t + 2 = t + m + 2- m t Îé1,2 2ù
，
2
x t
（3）
x
x
x
ë
û
( )
则 = +
y t2
2
ë
û
3
①当 - £1即 m ³ -1
时， 在
y
é1,2 2ù
↑，从而 ymin= 2m + 3 = 0 ，
舍去。
= -
m
ë
û
m
2
[ ]
é ù
1,-m ¯, -m,2 2 ­
↑ ， 从 而
② 当 1< - < 2 2 即 -2 2 < < -1 时 ， 在
m
m
y
ë
û
，则 = -
2
ymin = 2 - m2
m
é
1,2 2ù
③ - ³ 2 2 即 £ -2 2 时 ， 在
↓ ，从而 ，则
y =10 + 4 2m = 0
m
m
y
ë
û
min
5 2
4
m = -
舍去。
m = - 2
综上：
.......
12 分
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