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北京市朝阳区 2017-2018 学年度第一学期期末检测九年级数学试卷
2018.1(考试时间 120 分钟 满分 100分)
一、选择题(本题共16分,每小题 2 分)
1. 如图,利用刻度尺和三角尺测得圆的直径是
(A) 3cm
(B) 3.5cm
(C) 4cm
(D) 7.5cm
2. 下列事件中,随机事件是
(A)任意画一个圆的内接四边形,其对角互补
(B)现阶段人们乘高铁出行在购买车票时,采用网络购票方式
(C)从分别写有数字 1,2,3 的三个纸团中随机抽取一个,抽到的数字是0
(D)通常情况下,北京在大寒这一天的最低气温会在 0℃以下
3. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是
(A)
(B)
(C)
(D)
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4.小楠参观中国国家博物馆时看到两件“王字铜衡”,
这是我国古代测量器物重量的一种比较准确的
衡器,体现了杠杆原理. 小楠决定自己也尝试一下,
她找了一根长 100cm 的匀质木杆,用细绳绑在木杆
的中点 O 并将其吊起来,在中点的左侧距离
中点 25cm 处挂了一个重 1.6N 的物体,在中点的
右侧挂了一个苹果,当苹果距离中点 20cm 时
木杆平衡了,可以估计这个苹果的重大约是
(A) 1.28N
(C) 2N
(B) 1.6N
(D) 2.5N
5. 如图,△
AB ∽△A’B’C’,AD和
C
A’D’
分别是△ B 和△
A C A’B’C’ D
的高,若A =2
,
A’D’=3,则△ BC 与△A’B’C’的面积的比为
A
(A) 4:9
(C) 2:3
(B) 9:4
(D) 3:2
6. 如图, B
A 为⊙O的直径, , 为⊙ 上的两点,若 = ,BC 7 则∠ 的度数
C D
O
AB 14
= .
BDC
是
(A) 15°
(B) 30°
(C) 45°
(D) 60°
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第 6 题图
第 7 题图
第 8 题图
A
C
C
7. 如图,在△ABC 中,∠B C=90°,AB=A =4,以点 为中心,把△ABC 逆时针旋转
45°,得到△A’B’C,则图中阴影部分的面积为
(A) 2
(B) 2π
(C) 4
(D) 4π
8. 如图,一条抛物线与 x 轴相交于 M、N 两点(点 M 在点 N 的左侧),其顶点 P 在线段 AB
上移动.若点 A、B的坐标分别为(﹣2,3)、 (1,3),点 N 的横坐标的最大值为 4,则点 M
的横坐标的最小值为
(A) -1
(B) -3
(C) -5
(D) -7
二、填空题(本题共 16 分,每小题 2 分)
9. 如图,正六边形 ABCDEF内接于⊙O,⊙O 的半径为 3,则正六边形 ABCDEF 的边长
为
.
第 9 题图
第 10题图
10.如图,把△ABC 绕着点 A 顺时针方向旋转,得到△A B 'C ',点 C 恰好在 B 'C '上,旋转角
为 α,则∠C '的度数为 (用含 α 的式子表示).
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3- 2m
x
y
y
11. 在反比例函数
的图象上有两点 A(x ,y ),B( ,y ),x < x <0, >
y
=
1
2
2
2
1
1
1
x
m
,则 的取值范围是
.
2
12. 如图,PA,PB 分别与⊙O相切于A,B 两点,PO与 AB 相交于点C,PA=6,∠APB=60°,
则OC的长为
.
第 12题图
第13 题图
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k
x
=
= 2 + +
与抛物线 y ax bx c 交于点 A(x ,y ),B(x ,y ),
13. 如图,双曲线 y
1
1
2
2
k
0 < <
2 + bx + c
C(x ,y ),由图象可得不等式组
ax
的解集为
.
3
3
x
14. 如图,在平面直角坐标系中,△COD可以看作
是△AOB 经过若干次图形的变化(平移、轴对称、
旋转、位似)得到的,写出一种由△AOB得到
△COD 的过程:
.
p
15. “ 的估计”有很多方法,下面这个随机模拟实验就是一种,
其过程如下:
如图,随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的白纸上,统计
m
n
落在圆内的米粒数 m 与正方形内的米粒数 ,并计算频率
;在相
n
m
同条件下,大量重复以上试验,当 显现出一定稳定性时,就可以
n
4m
p
估计出 的值为
. 请说出其中所蕴含的原理:
.
n
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16. 下面是“作顶角为 120°的等腰三角形的外接圆”的尺规作图过程.
请回答:该尺规作图的依据是
.
三、解答题(本题共 68 分,第 17-24 题,每小题5分,第 25 题 6 分,第 26-27 题,每小题 7 分,
第 28 题8分)
17.小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后,运用类似的思路证明了
“两角分别相等的两个三角形相似”,以下是具体过程.
已知:如图,在△ABC 和△A'BC
' '中, A=
', B=
∠ ∠A ∠ ∠B
'.
求证: △ABC∽△A'B'
C'.
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B
AB
∥
'
证明:在线段 A' '上截取 A'D= ,过点 D 作 DE B'C',交 A'C 于点 E.
由此得到△A'DE∽△
A'B' '.
C
∴∠A' DE=∠B'.
∵∠B=∠B',
∴∠A' DE =∠B.
∵∠A'=∠A,
∴△A' DE≌△ABC.
∴△ABC∽△A'B'C'.
小明将证明的基本思路概括如下,请补充完整:
(1)首先,通过作平行线,依据
,可以判定所作△A' DE 与
;
(2)然后,再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A' DE 与
(3)最后,可证得△ABC∽△A'B' C'.
;
18. 如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,对角线 AC是⊙O 的直径,AB=2,
∠ADB=45°. 求⊙O 半径的长.
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19. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A(3,3),点B(4,0),点 C(0,﹣1).
(1)以点 C 为中心,把△ABC 逆时针旋转90°,画出旋转
后的图形△A′B′C;
(2)在(1)中的条件下,
① 点A经过的路径
的长为
(结果保留 π);
② 写出点 B′的坐标为
.
20. 图中所示的抛物线形拱桥,当拱顶离水面4m时,
水面宽 8m. 水面上升 3 米,水面宽度减少多少?
下面给出了解决这个问题的两种方法.
方法一 如图1,以上升前的水面所在直线与抛物线
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左侧交点为原点,以上升前的水面所在直线为x轴,建立
平面直角坐标系 xOy,这时这条抛物线所表示的二次函数
的表达式为
;当 y=3 时,求出此时自变量 x 的取值,
即
可
解
决
这
个
问
题
.
图 1
方法二 如图2,以抛物线顶点为原点,以抛物线的
对称轴为 y 轴,建立平面直角坐标系xOy,这时这条
抛物线所表示的二次函数的表达式为
;当y=
时,
求出此时自变量 x 的取值,即可解决这个问题.
图2
21. 有两盏节能灯,每一盏能通电发亮的概率都是50%,按照图中
所示的并联方式连接电路,观察这两盏灯发亮的情况.
(1)列举出所有可能的情况;
(2)求出至少有一盏灯可以发亮的概率.
22. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y
= -2x - 3与双曲线
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k
x
y
交于 M(a,2),N(1,b)两点.
(1)求 k,a,b 的值;
(2)若 P 是 y 轴上一点,且△MPN 的面积是 7,直接写出
点 P 的坐标
.
23. 如图,正方形ABCD的边长为2,E 是 CD中点,点 P 在射线 AB
上,过点 P 作线段 AE 的垂线段,垂足为 F.
(1)求证:△PAF∽△AED;
(2)连接 PE,若存在点P使△PEF 与△AED 相似,直接写出
PA 的长
BC O B D
为直径的⊙ 交A 于点 ,
⊙O 的切线 DE 交 AC于点 E.
(1)求证:E 是 AC 中点;
(2)若 AB=10,BC=6,连接 CD,OE,交点为 F,求OF 的长.
--
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B
B C
25. △AC 中,∠C=90°,以点 A 为中心,分别将线段 A ,A 逆时针旋转60°得到线段 AD,
A ,连接DE延长 E交CB于点F
.
E
,
D
(1)如图 1,若∠B=30°,∠CFE的度数为
(2)如图2,当 30°<∠B<60°时,
①依题意补全图 2;
;
②猜想 CF 与 AC 的数量关系,并加以证明.
图 1
图 2
26.如图,直线 AM 和 AN 相交于点 A,∠MAN=30°,在射线 AN 上取一点 B,使 AB=6cm,过
点 B 作 BC⊥AM 于点 C,D 是线段AB上的一个动点(不与点 B 重合),过点D作 CD
的垂线交射线CA 于点 E.
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A
(1)确定点 B 的位置,在线段 B 上任取一点 D,根据题意,补全图形;
(2)设AD=x cm,CE=y cm,探究函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律.
① 通过取点、画图、测量,得到了x与 y 的几组对应值,如下表:
x/cm
0
1
2
3
4
5
y/cm
4.4
3.5
8.1
5.2
3.8
(要求:补全表格,相关数值保留一位小数)
② 建立平面直角坐标系 xOy,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出
该函数的图象;
③ 结合画出的函数图象 ,解决问题:当 AD 为 Rt△CDE 斜边 CE 上的中线时,
AD 的长度约为
cm(结果保留一位小数 ).
7
2
27. 已知抛物线l 与l 形状相同,开口方向不同,其中抛物线l :
1
交x 轴于A,
y
= ax2 -8ax -
1
2
B两点(点A在点 的左侧 且 = ;抛物线l 与 l 交于点 A 和点C(5,n).
), AB 6
B
2
1
(1)求抛物线 l ,l 的表达式;
1
2
(2)当 x 的取值范围是
而增大;
时,抛物线 l 与 l 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大
1
2
(3)直线 MN∥y轴,交 x 轴,l ,l 分别相交于点 P(m,0), ,N
M ,当 1≤m≤7 时,求线段
1
2
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MN 的最大值.
28. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A (0, 6),点 B 在 x 轴的正半轴上. 若点 P,Q 在线段A
Q
B 上,且 P 为某个一边与 x 轴平行的矩形的对角线,则称这个矩形为点 P,Q 的“X矩形”.
下图为点 P,Q 的“X 矩形”的示意图.
(1)若点 B(4,0),点 C 的横坐标为2,则点 B,C 的“X 矩形”的面积为
(2)点 M,N 的“X 矩形”是正方形,
.
① 当此正方形面积为 4,且点 M 到 y 轴的距离为 3 时,写出点 B 的坐标,点 N 的
坐标及经过点 N 的反比例函数的表达式;
② 当此正方形的对角线长度为3,且半径为r 的⊙O 与它没有交点,直接写出
r的取值范围
.
备用
图
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