江苏省镇江中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试卷2.doc

镇江中学2015-2016学年高二上学期期中考试
数学试卷2 2015.11.
注意事项:
1. 本试卷由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间为120分钟.
2. 答题前，请您务必将自己的学校、姓名、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方.
3. 答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.
参考公式：
柱体体积公式,其中为底面面积,为高；
锥体体积公式,其中为底面面积,为高；
球的表面积、体积公式，,其中为球的半径；
一、填空题 （本大题共14小题，每小题5分，共70分．把每小题的答案填在答题纸相应的位置上）
1．直线的斜率是 ▲ ．
2. 已知直线平面，直线平面，则直线的位置关系是　▲_ 　
（在“平行”、“相交”、“异面”中选择一个填写）
3．以为圆心，半径为的圆的标准方程为 ▲ .
4. 经过点，且与直线垂直的直线的一般方程为____▲_______．
5.已知直线,若直线在轴上的截距为,则实数的值为___▲__.
6. 如果，，那么直线不通过第 ▲ 象限
7. 若一个长方体的长、宽、高分别为、、,则它的外接球的表面积是 ▲ ．
8．用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥筒,则这个圆锥筒的高为 ▲ .
9. 过点向圆引切线，则切线长为 ▲ ．
10. 设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是 ▲ .

11. 设表示两条直线，表示两个平面，现给出下列命题：
① 若，则；
② 若，则；
③ 若，则；
④ 若，则．
其中真命题是 ▲ .（写出所有真命题的序号）
12. 已知三棱锥的所有棱长都相等,现沿,,三条侧棱剪开,将其表面展开成一个平面图形,若这个平面图形外接圆的半径为,则三棱锥的体积为 ▲
13．已知圆，直线为直线上一点，若圆上存在两点，使得，则点的横坐标的取值范围是 ▲
14.在平面直角坐标系中，为轴正半轴上的两个动点，(异于原点)为轴上的一个定点．若以为直径的圆与圆相外切，且的大小恒为定值，则线段的长为．
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.(本题满分14分)
如图,四边形ABCD为平行四边形，四边形ADEF是正方形，且BD⊥平面CDE，H是BE的中点,G是AE,DF的交点.
(1) 求证:GH∥平面CDE；
(2) 求证:平面ADEF⊥平面ABCD.

16. (本题满分14分)
如图，在矩形中，为的两个三等分点，交于点.以点为坐标原点，直线分别为轴和轴，建立平面直角坐标系.
（1）证明：；
（2）若直线AB关于直线AC对称的直线交于点，求的斜率和.

17. (本题满分14分)
如图，在三棱柱中，，为的中点,在底面上的射影为的中点.
（1）证明：；
（2）证明：平面；
（3）已知,，求四棱锥的体积.

18. (本题满分16分)
已知圆经过两点，圆心在直线：上，
(1)求圆的方程；
(2) 若以点为圆心的圆与圆相交于两点，求圆半径的取值范围；
(3) 若过点的直线与圆相交于两点，若，求直线的方程.

19. (本题满分16分)
如图，在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段分别交于点.过点作直线∥交于点，记的外接圆为圆.
(1)点是线段上任意一点，求到直线和直线的距离之和；
(第19题)
P
A
R
O
B
Q
x
y
C
(2)求点的坐标（用表示），并证明:圆心在定直线上；
(3)求实数t的值，使得圆的面积最小.

20. (本题满分16分)
已知圆，在圆上一点处的切线与轴的交点记为点.
(1) 求点的坐标；
(2) 若圆与轴的负半轴的交点为，动直线过点且与圆相交于两点（不同于点），求直线与直线的斜率之乘积；
(3) 在(2)的条件下，点关于轴的对称点记为，证明：直线过定点，并求出定点坐标.

高二数学试卷答案（宜兴）
一、填空题
1. 2.平行 3. 4. 5. 6.二 7.
8. 9. 10. 11.③④ 12.9 13. 14.
二、解答题
15. 证明：⑴是的交点，
因为是中点，又是的中点，
所以中，是三角形EAB的中位线, ---------------1分
所以， ---------------2分
因为ABCD为平行四边形，所以AB∥CD , 所以， ------------4分
又因为
所以平面 -------------------7分
⑵因为，,
所以， -------------------9分
又因为四边形为正方形，
所以， ------------------10分
因为，,,
所以， -----------------12分
因为
所以 . ----------------14分（所有步骤中每缺一个条件扣0.5分，单数的进为整数，如少写3个扣2分）
16.（1）又题可知
故直线，直线
可求得点，------------------------3分
则 ，所以，故--------------6分
（2）设直线的倾斜角为，则，
由于直线与直线关于直线对称，所以直线的倾斜角
则-----------------------11分
（本题也可通过求上任意一点的对称点的方法求斜率）
则与直线相交可得，故，则--------11分
17.(1)因为，又是中点，所以
因为在底面上的射影为的中点，所以平面
又因为平面，所以
因为，平面
所以平面，又平面
所以 -------------------5分
（2）连结交于点，则为中点，又为的中点，
所以中，是的中位线, 所以，
又因为
所以平面 -------------------10分
(3)因为，所以
因为，为的中点，则
因为平面，所以三棱柱体积
又因为四棱锥的体积
所以----------------14分
18.（1）的中点坐标为，，故的中垂线方程为
又圆心在上，故可求
所以圆-----------------------5分
（2）设圆的半径为，因为圆与圆有两个公共点，
所以，即
解得：-----------------------10分
（3）由于，则点到直线的距离为
若直线的斜率不存在，符合题意，故可为
若直线的斜率存在，设，则
解得，故可为
综上，方程为或-----------------------16分
19. (1) 直线,
设点
点到直线和直线的距离之和为
.……………4分
(2)解法一: 可得,由∥,得……6分
线段BR的中垂线方程为, 线段BP的中垂线方程为,………………………8分
由,解得△BPR的外接圆的圆心坐标为G………10分
经验证,该圆心在定直线上…………………………… 12分
解法二: 设△BPR的外接圆G的方程为,
则,………………………8分
解得 ，（注释：本小题中，F的值可以不求）
所以圆心坐标为G,…………………10分
经验证,该圆心G在定直线上 ……………………12分
（3）由（2）可得圆G的方程为……………14分
即
圆G的面积为当时，S取得最小值.…16分
20.（1）,则切线方程为，故点 ------------4分
(2)由题可设直线（）设
联立可得
即，

而=
=--------10分
（3）由于，则
则直线的方程为（＊）
根据圆的对称性，可知若存在定点，则定点必在轴上
所以，在（＊）中，令
则
==
故直线恒过--------16分

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