2016-2017学年上海中学高一(上)期末数学试卷.docx

努力的你，未来可期！
20162017 学年上海中学高一（上）期末数学试卷
一.填空题
1．（3 分）函数 f（x）=
+lg（3x+1）的定义域是
．
2．（3 分）函数 f（x）=x （x≥1）的反函数 f （x）=
．
2
1
﹣
3（．3 分）若幂函数（f x）的图象经过点
，则该函数解析式为（f x）=
．
4．（3 分）若对任意不等于 1 的正数 a，函数 f（x）=a ﹣3 的图象都过点 P，则
x 2
+
点 P 的坐标是
．
5．（3 分）已知 f（x）=ax +bx 是定义在[a﹣3，2a]上的偶函数，那么 a=
，
2
b=
．
6．（3 分）方程 log （x+1） +log （x+1）=5 的解是
．
2
2
4
7．（3 分）已知符号函数 sgn（x）=
，则函数 y=sgn（|x|）+|sgn（x）
|的值域为
．
8．（3 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＜0 时，f（x）=x +x，则函
2
数 f（x）的解析式为 f（x）=
9．（3 分）函数
．
的单调增区间为
．
10．（3 分）设函数 y=f（x）存在反函数 f （x），若满足 f（x）=f （x）恒成立，
1
1
﹣
﹣
则称 f（x）为“自反函数”，如函数 f（x）=x，g（x）=b﹣x，
都是“自反函数”，试写出一个不同于上述例子的“自反函数”y=
（k≠0）等
．
11．（3 分）方程 x +2x﹣1=0 的解可视为函数 y=x+2 的图象与函数
的图象交
2
点的横坐标，若方程 x +ax﹣4=0 的各个实根 x ，x ，…，x （k≤4）所对应的点
4
1
2
k
（i=1，2，…，k）均在直线 y=x 的同侧，则实数 a 的取值范围是
．
12．（3 分）对于函数 y=f（x），若存在定义域 D 内某个区间[a，b]，使得 y=f（x）
在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数 y=f（x）在定义域 D 上封闭．如果函数
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期！
（k≠0）在 R 上封闭，那么实数 k 的取值范围是
．
二.选择题
13．（3 分）已知 f（x）=ax +bx+1（ab≠0），若 f（2013）=k，则 f（﹣2013）=
3
（
）
A．k B．﹣k C．1﹣kD．2﹣k
14．（3 分）定义在 R 上的函数 f（x）在区间（﹣∞，2）上是增函数，且f（x+2）
的图象关于 x=1 对称，则（
）
A．f（1）＜f（5） B．f（1）＞f（5） C．f（1）=f（5） D．f（0）=f（5）
15．（3 分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，如图描述
了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（
）
A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油
D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车
更省油
16．（3 分）设函数
若关于 x 的方程 f（x）=a 有四个不
同的解 x ，x ，x ，x ，且 x ＜x ＜x ＜x ，则 x（x +x ）+
的取值范围是（
）
1
2
3
4
1
2
3
4
3
1
2
A．（﹣3，+∞）
B．（﹣∞，3） C．[﹣3，3） D．（﹣3，3]
拼搏的你，背影很美！

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三.解答题
17．在平面直角坐标系中，作出下列函数的图象；
（1）
（2）
；
．
18．已知集合 D={x|3 ﹣10•3 +3 ≤0，x∈R}，求函数
（x
2x
x 2
+
6
∈D）的值域．
19．设函数 f（x）=k•a ﹣a （a＞0 且 a≠1）是奇函数．
x
x
﹣
（1）求常数 k 的值；
（2）若
，且函数 g（x）=a ﹣a ﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小
2x
2x
﹣
值为﹣2，求实数 m 的值．
20．已知函数
；
（1）当 m=2 时，判断 f（x）在（﹣∞，0）上的单调性并证明；
（2）若对任意 x∈R，不等式 f（2 ）＞0 恒成立，求 m 的取值范围；
x
（3）讨论函数 y=f（x）的零点个数．
21．已知 a∈R，函数 f（x）=log [（a﹣3）x+3a﹣4]；
2
（1）当 a=2 时，解不等式
；
（2）若函数 y=f（x ﹣4x）的值域为 R，求 a 的取值范围；
2
（3）若关于x 的方程
解集中恰好只有一个元素，求 a 的取
值范围．
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20162017 学年上海中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题
1．（3 分）函数 f（x）=
+lg（3x+1）的定义域是 （﹣ ，1） ．
【解答】解：由
，解得：﹣
．
∴函数 f（x）=
+lg（3x+1）的定义域是（﹣ ，1）．
故答案为：（﹣ ，1）．
2．（3 分）函数 f（x）=x （x≥1）的反函数 f （x）=
（x≥1） ．
2
1
﹣
【解答】解：由 y=x （x≥1），解得 x= （y≥1），把 x 与 y 互换可得：y= ，
2
∴f（x）=x （x≥1）的反函数 f （x）= （x≥1）．
2
1
﹣
故答案为： （x≥1）．
3．（3 分）若幂函数 f（x）的图象经过点
，则该函数解析式为 f（x）=
．
【解答】解：设幂函数 f（x）=x ，
a
其图象经过点
，
∴27 = ，
a
解得 a=﹣ ；
∴函数 f（x）=
．
故答案为：
．
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4．（3 分）若对任意不等于 1 的正数 a，函数 f（x）=a ﹣3 的图象都过点 P，则
x 2
+
点 P 的坐标是 （﹣2，﹣2） ．
【解答】解：指数函数恒过定点（0，1），据此可令 x+2=0，解得：x=﹣2，
f（﹣2）=a ﹣3=﹣2，即函数 f（x）=a ﹣3 恒过定点（﹣2，﹣2）．
2 2
﹣ +
x 2
+
故答案为：（﹣2，﹣2）．
5．（3 分）已知 f（x）=ax +bx 是定义在[a﹣3，2a]上的偶函数，那么 a= 1 ，
2
b= 0 ．
【解答】解：∵f（x）=ax +bx 是定义在[a﹣3，2a]上的偶函数，
2
∴f（﹣x）=f（x），∴b=0，
又 a﹣3=﹣2a，
∴a=1，
故答案 1，0．
6．（3 分）方程 log （x+1） +log （x+1）=5 的解是 3 ．
2
2
4
【解答】解：∵log （x+1） +log （x+1）=5，
2
2
4
∴log （x+1） +log （x+1）=5，
4
4
4
∴log （x+1） =5，
5
4
∴（x+1） =4 ，
5
5
∴x=3．
故答案为：3．
7．（3 分）已知符号函数 sgn（x）=
，则函数 y=sgn（|x|）+|sgn（x）
|的值域为 {0，2} ．
【解答】解：分类讨论：
当 x＞0 时：y=sgn（|x|）+|sgn（x）|=sgn（x）+1=1+1=2；
当 x=0 时：y=sgn（|x|）+|sgn（x）|=sgn（x）+0=0+0=0；
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当 x＞0 时：y=sgn（|x|）+|sgn（x）|=sgn（x）+1=﹣1+1=0；
综上可得：函数 y=sgn（|x|）+|sgn（x）|的值域为{0，2}．
故答案为：{0，2}．
8．（3 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＜0 时，f（x）=x +x，则函
2
数 f（x）的解析式为 f（x）=
．
【解答】解：由奇函数的性质可得：f（0）=0，
设 x＞0，则﹣x＜0，此时有：
﹣f（x）=f（﹣x）（﹣x） +（﹣x）=x ﹣x，
2
2
则 f（x）=﹣x +x，
2
且当 x=0 时，﹣x +x=0，
2
综上可得：函数的解析式为：
．
9．（3 分）函数
的单调增区间为 （﹣∞，1]和[3，5]． ．
【解答】解：绘制函数 y=|x ﹣6x+5|的图象 如图所示：
2
观察函数图象可得函数的单调递增区间为：[1，3]和[5，+∞）
单调递减区间为：（﹣∞，1]和[3，5]
指数函数 y=0.3 在定义域内单调递减，
x
结合复合函数同增异减的原则可得函数
的单调递增区间，
即函数 y=|x ﹣6x+5|的单调递减区间：
2
（﹣∞，1]和[3，5]．
故答案为：（﹣∞，1]和[3，5]．
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期！
10．（3 分）设函数 y=f（x）存在反函数 f （x），若满足 f（x）=f （x）恒成立，
1
1
﹣
﹣
则称 f（x）为“自反函数”，如函数 f（x）=x，g（x）=b﹣x，
都是“自反函数”，试写出一个不同于上述例子的“自反函数”y=
1） ．
（k≠0）等
（0≤x≤
【解答】解：根据题意，设函数 y=
则 y =1﹣x ，
，（0≤x≤1），
2
2
∴x =1﹣y ，
2
2
∴x=
（0≤y≤1），
交换 x、y 得反函数 y=
（0≤x≤1），满足题意．
故答案为：
（0≤x≤1）．
11．（3 分）方程 x +2x﹣1=0 的解可视为函数 y=x+2 的图象与函数
的图象交
2
点的横坐标，若方程 x +ax﹣4=0 的各个实根 x ，x ，…，x （k≤4）所对应的点
4
1
2
k
（i=1，2，…，k）均在直线 y=x 的同侧，则实数 a 的取值范围是 （﹣
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期！
∞，﹣6）∪（6，+∞） ．
【解答】解：方程的根显然 x≠0，原方程 x +ax﹣4=0，等价为方程 x +a= ，
4
3
原方程的实根是曲线 y=x +a 与曲线 y= 的交点的横坐标；
3
曲线 y=x +a 是由曲线 y=x 向上或向下平移|a|个单位而得到的．
3
3
若交点（x， ）（i=1，2，k）均在直线 y=x 的同侧，因直线 y=x 与 y= 交点为：
i
（﹣2，﹣2），（2，2）；
所以结合图象可得：
或
，
解得 a＞6 或 a＜﹣6，即实数 a 的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（6，∞），
故答案为：（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）．
12．（3 分）对于函数 y=f（x），若存在定义域 D 内某个区间[a，b]，使得 y=f（x）
在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数 y=f（x）在定义域 D 上封闭．如果函数
（k≠0）在 R 上封闭，那么实数 k 的取值范围是 （1，+∞） ．
【解答】解：根据题意知方程
至少有两个不同实数根；
即
至少有两个实数根；
∴
；
∴k=1+|x|＞1；
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期！
∴实数 k 的取值范围为（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．
二.选择题
13．（3 分）已知 f（x）=ax +bx+1（ab≠0），若 f（2013）=k，则 f（﹣2013）=
3
（
）
A．k B．﹣k C．1﹣kD．2﹣k
【解答】解：∵f（x）=ax +bx+1，
3
∴f（x）﹣1=ax +bx，
3
令 F（x）=f（x）﹣1=ax +bx，
3
∵ab≠0，
∴函数 F（x）=f（x）﹣1=ax +bx 是奇函数，
3
∴F（﹣2013）=﹣F（2013），
即 f（﹣2013）﹣1=﹣[f（2013）﹣1]=﹣k+1，
∴f（﹣2013）=2﹣k．
故选：D．
14．（3 分）定义在 R 上的函数 f（x）在区间（﹣∞，2）上是增函数，且f（x+2）
的图象关于 x=1 对称，则（
）
A．f（1）＜f（5） B．f（1）＞f（5） C．f（1）=f（5） D．f（0）=f（5）
【解答】解：因为 f（x+2）的图象关于 x=1 对称，所以 f（x+2）=f（2﹣x+2）=f
（4﹣x），
所以 f（﹣1+2）=f[（4﹣（﹣1）]，即 f（1）=f（5），
故选 C．
15．（3 分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，如图描述
了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（
）
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期！
A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油
D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车
更省油
【解答】解：对于选项 A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于 40 千米每小
时时的燃油效率大于 5 千米每升，故乙车消耗 1 升汽油的行驶路程远大于 5 千米，
故 A 错误；
对于选项 B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B 错
误，
对于选项 C，甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，里程为 80 千米，燃油效
率为 10，故消耗 8 升汽油，故 C 错误，
对于选项 D，因为在速度低于 80 千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，
故 D 正确．
16．（3 分）设函数
若关于 x 的方程 f（x）=a 有四个不
同的解 x ，x ，x ，x ，且 x ＜x ＜x ＜x ，则 x（x +x ）+
的取值范围是（
）
1
2
3
4
1
2
3
4
3
1
2
A．（﹣3，+∞）
B．（﹣∞，3） C．[﹣3，3） D．（﹣3，3]
【解答】解：作函数
的图象如下，
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期！
，
结合图象，
A，B，C，D 的横坐标分别为 x ，x ，x ，x ，
1
2
3
4
故 x +x =﹣4，x x =1，
1
2
3 4
故
= ﹣4x ，
3
∵0＜﹣log x ≤2，
2 3
∴ ≤x ＜1，
3
∴﹣3＜ ﹣4x ≤3，
3
故选：D．
三.解答题
17．在平面直角坐标系中，作出下列函数的图象；
（1）
（2）
；
．
【解答】解：（1）函数
；的图形如图：
（2） ．函数是偶函数，是 x＞0 时，y=
图象关于 y 轴对称后，
向 下 平 移 1 个 单 位 得 到 的 图 象 ， 如 图 所 示 ，
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期！
18．已知集合 D={x|3 ﹣10•3 +3 ≤0，x∈R}，求函数
（x
2x
x 2
+
6
∈D）的值域．
【解答】解：集合 D 中不等式即：（3 ） ﹣90×3 +729≤0，
x
2
x
则：（3 ﹣9）（3 ﹣81）≤0，9≤3 ≤81，
x
x
x
解得 2≤x≤4，∴1≤log x≤2．
2
所需求解值域的函数解析式为：f（x）=（log x﹣1）（log x﹣2），
2
2
结合二次函数的性质可得：
当 log x=1 或 log x=2 时，函数取得最大值 0；
2
2
当
时，函数取得最小值
；
函数的值域为
．
19．设函数 f（x）=k•a ﹣a （a＞0 且 a≠1）是奇函数．
x
x
﹣
（1）求常数 k 的值；
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期！
（2）若
，且函数 g（x）=a ﹣a ﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小
2x
2x
﹣
值为﹣2，求实数 m 的值．
【解答】（1）解法一：函数 f（x）=k•a ﹣a 的定义域为 R，
x
x
﹣
f（x）是奇函数，所以 f（0）=k﹣1=0，即有 k=1．
当 k=1 时，f（x）=a ﹣a ，f（﹣x）=a ﹣a =﹣f（x），
x
x
x
﹣
x
﹣
则 f（x）是奇函数，故所求 k 的值为 1；
解法二：函数 f（x）=k•a ﹣a 的定义域为 R，
x
x
﹣
由题意，对任意 x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），
即 k•a ﹣a =a ﹣k•a ，（k﹣1）（a +a ）=0，
x
x
x
x
x
x
﹣
﹣
﹣
因为 a +a ＞0，所以，k=1．
x
x
﹣
（2）由
，得
，解得 a=3 或
（舍）．
，
所以 g（x）=3 ﹣3 ﹣2m（3 ﹣3 ），
2x
2x
x
x
﹣
﹣
令 t=3 ﹣3 ，则 t 是关于 x 的增函数，
x
x
﹣
g（x）=h（t）=t ﹣2mt+2=（t﹣m） +2﹣m ，
2
2
2
当
时，则当
时，
，
解得
当
；
时，则当 t=m 时，
，m=±2（舍去）．
综上，
．
20．已知函数
；
（1）当 m=2 时，判断 f（x）在（﹣∞，0）上的单调性并证明；
（2）若对任意 x∈R，不等式 f（2 ）＞0 恒成立，求 m 的取值范围；
x
（3）讨论函数 y=f（x）的零点个数．
【解答】解：（1）当 m=2，且 x＜0 时，f（x）=﹣x+ ﹣1 是单调递减的．
证明：设 x ＜x ＜0，
1
2
则 f（x ）﹣f（x ）
1
2
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期！
=﹣x + ﹣1﹣（﹣x + ﹣1）
1
2
=（x ﹣x ）+（ ﹣ ）
2
1
=（x ﹣x ）+
2
1
=（x ﹣x ）（1+
）
2
1
又 x ＜x ＜0，所以 x ﹣x ＞0，x x ＞0，
1
2
2
1
1 2
所以（x ﹣x ）（1+
）＞0
2
1
所以 f（x ）﹣f（x ）＞0，即 f（x ）＞f（x ），
1
2
1
2
故当 m=2 时，f（x）=﹣x+ ﹣1 在（﹣∞，0）上单调递减的．
（2）由 f（2 ）＞0 得|2 |+ ﹣1＞0，
x
x
变形为（2 ） ﹣2 +m＞0，即 m＞2 ﹣（2 ）
x
2
x
x
x
2
而 2 ﹣（2 ）2=﹣（2 ﹣ ） + ，
x
x
x
2
当 2 = 即 x=﹣1 时（2 ﹣（2 ）2） = ，
x
x
x
max
所以 m＞ ．
（3）由 f（x）=0 可得 x|x|﹣x+m=0（x≠0），变为 m=﹣x|x|+x（x≠0）
令 g（x）=x﹣x|x|=
，
作 y=g（x）的图象及直线 y=m，由图象可得：
当 m＞ 或 m＜﹣ 时，f（x）有 1 个零点．
当 m= 或 m=0 或 m=﹣ 时，f（x）有 2 个零点；
当 0＜m＜ 或﹣ ＜m＜0 时，f（x）有 3 个零点．
21．已知 a∈R，函数 f（x）=log [（a﹣3）x+3a﹣4]；
2
（1）当 a=2 时，解不等式
；
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期！
（2）若函数 y=f（x ﹣4x）的值域为 R，求 a 的取值范围；
2
（3）若关于x 的方程
解集中恰好只有一个元素，求 a 的取
值范围．
【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 当 x=2 时 ， f （ x ） =log （ ﹣ x+2 ）， 则 不 等 式 即 ：
2
，
据此可得：
，
即不等式的解集为
（2）函数
．
，
设函数 y=（a﹣3）（x ﹣4x）+（3a﹣4）的值域为 M，则 （0，+∞） M，
2
当 a﹣3=0，a=3 时不满足题意，
结合二次函数的性质可得：
，
即：
，据此可得实数 a 的取值范围是{a|a≥8}．
恰好有一个解，
（3）满足题意时，
即：
，
原问题：等价于方程，（a﹣3） +（a﹣4）x﹣1=0（*）在满足
只有唯
2
一解
方程（*）化为[（a﹣3）x﹣1]（x+1）=0
①若 a=3 时，解 x=﹣1，此时
②若 a=2 时，两根均为 x=﹣1，此时
③若 a≠2 且 a≠3 时，两根为
，满足题意；
，也满足．
，
当
时，
当 x=﹣1 时，
依题意，（3a﹣3）（2a﹣1）＜0，解得
；
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期！
综上，a 的取值范围是
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期！
（2）若函数 y=f（x ﹣4x）的值域为 R，求 a 的取值范围；
2
（3）若关于x 的方程
解集中恰好只有一个元素，求 a 的取
值范围．
【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 当 x=2 时 ， f （ x ） =log （ ﹣ x+2 ）， 则 不 等 式 即 ：
2
，
据此可得：
，
即不等式的解集为
（2）函数
．
，
设函数 y=（a﹣3）（x ﹣4x）+（3a﹣4）的值域为 M，则 （0，+∞） M，
2
当 a﹣3=0，a=3 时不满足题意，
结合二次函数的性质可得：
，
即：
，据此可得实数 a 的取值范围是{a|a≥8}．
恰好有一个解，
（3）满足题意时，
即：
，
原问题：等价于方程，（a﹣3） +（a﹣4）x﹣1=0（*）在满足
只有唯
2
一解
方程（*）化为[（a﹣3）x﹣1]（x+1）=0
①若 a=3 时，解 x=﹣1，此时
②若 a=2 时，两根均为 x=﹣1，此时
③若 a≠2 且 a≠3 时，两根为
，满足题意；
，也满足．
，
当
时，
当 x=﹣1 时，
依题意，（3a﹣3）（2a﹣1）＜0，解得
；
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期！
综上，a 的取值范围是
拼搏的你，背影很美！