北京市西城区2020-2021学年高二上学期期末数学试题.docx

北京市西城区 2020-2021 学年高二上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
x2
a2
y2
1．已知椭圆 :
1( 0) 的一个焦点为(2,0) ,则a 的值为( )
= a >
C
+
4
A．2 2
B． 6
C．6
D．8
a =
2．已知数列{ }满足 = 2 ,
=
a
+ 2 (nÎN*, n ³ 2 ) ,则 ( )
a
a
a
n
1
n
n-1
3
A．5
B．6
C．7
D．8
Øp
3．已知命题p :$ <1, £ ,则 为( )
1
x
x
2
A．"x ³1,x2
£1
x
1
B．$ <1, >
x
2
C．" <1 , >1
D．$ ³1, >1
x
x2
x
x2
4．已知a,bÎR
< b
,若a ,则( )
< 2b
2
2
A．a
B． <
C． <
D．
3
a b
<
ab b2
a b
3
= (-1,2,1), b = (3,x, y)
a // b
=
,且 ,那么 ( )
5．已知向量a
A．3 6
b
B．6
C．9
D．18
b
.
a
a
6．已知直线a，b 分别在两个不同的平面 ， 内 则“直线a 和直线b 相交”是“平面
b
和平面 相交”的(
)
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
= (1,x,2)
= (0,1,2) c = (1,0,0)
, ,
,若a b c 共面,则 等于( )
7．已知向量a
,b
B．1
8．德国著名数学家高斯,享有“数学王子”之美誉.他在研究圆内整点问题时,定义了一
,
x
-1
1 -1
C． 或
1
D． 或0
A．
个函数 f (x) = [x]
[x]
x
,其中 表示不超过 的最大整数,比如 . 根据以上定义,当
[p]=3
x - f (x) , f (x) , ( )
x
x = 3 +1 时,数列
A．是等差数列,也是等比数列
C．是等比数列,不是等差数列
B．是等差数列,不是等比数列
D．不是等差数列,也不是等比数列
{a }
3
3
9．设有四个数的数列 ,该数列前 项成等比数列,其和为m,后 项成等差数列,其
n

和为6 . 则实数 的取值范围为( )
m
3
³ 6
³
m £ 6
m ³ 2
D．
A．m
B．m
C．
2
10．曲线C : x + y =1.给出下列结论:
3
3
①曲线C 关于原点对称;
②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1;
2
③曲线C 只经过 个整点(即横 纵坐标均为整数的点).
其中,所有正确结论的序号是( )
A．①②
B．②
C．②③
D．③
二、填空题
x
2
y
2
11．设 是椭圆 + = 上的点, 到该椭圆左焦点的距离为 ,则 到右焦点的距
1
2
P
P
P
25 9
离为__________.
x
12．不等式
x -1
< 0 的解集为________
1 1
<
a b
13．能说明“若a﹥b，则
”为假命题的一组a，b 的值依次为_________.
x2
a2
y2
b2
F(c,0)
到一
14．在平面直角坐标系 中，若双曲线
xOy
-
=1(a > 0,b > 0) 的右焦点
3
条渐近线的距离为
三、双空题
c ，则其离心率的值是________．
2
100
15．某渔业公司今年初用 万元购进一艘渔船用于捕捞,已知第一年捕捞工作需各种
2
费用4 万元,从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加 万元.若该渔船预计使用n
年,其总花费(含购买费用)为________ 万元;当n = ______时,该渔船年平均花费最低
(含购买费用).
16．若 , , , , 表示从左到右依次排列的9 盏灯,现制定开灯与关灯的规则如下:
x x x
x
1
2
3
9
(1)对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作;
Î{xÎN | 2 £ x £ 9}
x
,要求灯 的
(2)灯x 在任何情况下都可以进行一次操作;对任意的i
1
i
x
i
左边有且只有灯 是开灯状态时才可以对灯 进行一次操作.如果所有灯都处于开灯
x
．．．．
i-1
状态,那么要把灯x 关闭最少需要_____次操作;如果除灯x 外,其余8 盏灯都处于开灯
4
6
状态,那么要使所有灯都开着最少需要_____次操作.

四、解答题
{a }
17．已知等比数列
的公比为2 ,且a , + 4, a 成等差数列.
a
3
4
n
5
{a }
(Ⅰ)求
(Ⅱ)设
的通项公式;
n
{a }
S
S = 62
n
n
的前 项和为 ,且
n
,求 的值.
n
n
18．已知函数 ( ) = 2 + , a
f x x ax
ÎR
.
(Ⅰ)若 f
(Ⅱ)若 f
(a) > f (1),求a 的取值范围;
(x) ³ -4对"xÎ R
恒成立,求a 的取值范围;
(x) > 0
x
(Ⅲ)求关于 的不等式
f
的解集.
2
x
y
2
2
(a > b > 0)
F(1,0)
,离心率为
: + =1
19．已知椭圆C
的右焦点为
.
2
a
2
b
2
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
ÐAFB = 90
(Ⅱ)设点 为椭圆C 的上顶点,点 在椭圆上且位于第一象限,且
,求
A
B
DAFB的面积.
20．如图,四棱锥 P
PA = AB = 2, AD
- ABCD
^
//
BC AD , ÐPAB
中, AD 平面 ABP ,
= 90 .
= 3
=
, BC m , 是
的中点.
E
PB
(Ⅰ)证明: AE ⊥平面
;
PBC
3
- AE - D
(Ⅱ)若二面角C
的余弦值是
,求 m 的值;
3
= 2
(Ⅲ)若 m
,在线段 AD 上是否存在一点F ,使得 PF ⊥CE. 若存在,确定 F 点的位
置;若不存在,说明理由.
: y = 2 px( p > 0)
3
,抛物线C 上横坐标为1 的点到焦点 的距离为 .
F
21．已知抛物线C
2

(Ⅰ)求抛物线C 的方程及其准线方程;
(Ⅱ)过(-1,0)
A, B
= -4
于点 ,直线
的直线 交抛物线C 于不同的两点
,交直线 x
DE // AF
? 若不存在,请说明理由;
l
E
BF
= -1
交直线 x
于点 . 是否存在这样的直线 l ,使得
D
若存在,求出直线l 的方程.
i, j ( - ³ 3)
j i
22．若无穷数列 , , , 满足:对任意两个正整数
a a a
+
a
a a 与
= +
, ai-1
1
2
3
j+1
i
j
a + a = a + a 至少有一个成立,则称这个数列为“和谐数列”.
i+1
j-1
i
j
(Ⅰ)求证:若数列{ }为等差数列,则{ }为“和谐数列”;
a
a
n
n
(Ⅱ)求证:若数列{ }为“和谐数列”,则数列{ }从第3 项起为等差数列;
a
a
n
n
= 0
{a }是各项均为整数的“和谐数列”,满足a
,且存在 p Î N*使得 a = p ，
(Ⅲ)若
1
n
p
a + a + a + + a = - p ,求 的所有可能值.
p
1
2
3
p

参考答案
1．A
【分析】
利用 a = b + c ，求得a 的值.
2
2
2
【详解】
由于 a = b + c ，所以 a
= 4 + 2 = 8,a = 2 2 .
2
2
2
2
2
故选：A
【点睛】
本小题主要考查椭圆的几何性质，属于基础题.
2．B
【分析】
a ,a
利用递推关系式，依次求得
【详解】
的值.
2
3
a = a + 2 = 4,a = a + 2 = 6 .
依题意
2
1
3
2
故选：B
【点睛】
本小题主要考查根据递推关系式求项的值，属于基础题.
3．C
【分析】
根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项.
【详解】
由于特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，所以A 选项不正确，C 选项正确.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查特称命题的否定，属于基础题.
4．D
【分析】
利用特殊值排除错误选项，然后证明正确选项成立.
【详解】

( )
-
1 ´2 = -2
a = b
2
，所以 A 选项错误.
< b
< b
对于 A 选项，若a
，如 -2 < -1，但是
，如 -2 < -1，但是
，即
( ) ( ) ( )
-2 × -1 > -1
对于 B 选项，若a
误.
2 ，即ab > b2，所以 B 选项错
-2 > -1
2 ，即a > b ，所以 C 选项错误.
( ) ( )
< b
< b
对于 C 选项，若a
，如 -2 < -1，但是
2
2
2
(
)
( )
a b a b a ab b
+ +
对于 D 选项，若a
，则
a -b < 0，则 - = -
3
3
2
2
é
ù
1
3
æ
ö
2
( )
= a -b a + b + b < 0
ê
ú
，所以 a b
< .
ç
÷
2
3
3
2
4
è
ø
ê
ë
ú
û
故选：D
【点睛】
本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.
5．A
【分析】
根据两个向量共线的坐标表示列方程，由此求得x, y
，从而求得| b |
.
【详解】
3 x y
(
)
= =
= -6, = -3
b = 3,-6,-3
由于 // ，所以
a b
，解得 x
y
，所以
，所以
-1 2 1
( ) ( )
= 54 = 3 6 .
b = 3 + -6
+ -3
2
2
2
故选：A
【点睛】
本小题主要考查空间向量平行求参数，考查空间向量模的计算，属于基础题.
6．A
【详解】
当“直线 和直线 相交”时，平面 α 和平面 β 必有公共点，即平面 α 和平面 β 相交，充分性
a
b
成立；
当“平面 α 和平面 β 相交”，则 “直线 和直线 可以没有公共点”，即必要性不成立.
a
b
故选 A.
7．B

【分析】
根据 a,b,c
【详解】
列方程，根据空间向量坐标的线性运算求解出 的值.
x
由于 a,b,c
共面，所以存在l, m
，使得
a = lb + mc
，即
( ) (
) ( ) (
)
1, x,2 = 0,l,2l + m,0,0 = m,l,2l
m 1, l,2l 2
= x =
=
=1.
，所以 x
，所以
故选：B
【点睛】
本小题主要考查空间向量共线的表示，考查空间向量的坐标运算，属于基础题.
8．D
【分析】
- f (x) f (x) x
, ，由此判断出正确选项.
求得 x
,
【详解】
( ) [ ] [
] [ ]
( )= 3 -1，
-
，所以 x f x
3 » 1.732
f x
= x = 1.732+1 = 2.732 = 2
由于
，所以
( )( )
3 +1 3 -1 = 2 ¹ 4
3 -1,2, 3 +1.而 3 +1+ 3 -1 = 2 3 ¹ 4，
即三个数为
，所
- f (x) f (x) x
, 不是等差数列,也不是等比数列
以数列 x
故选：D
【点睛】
,
本小题主要考查新定义函数的理解，考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题.
9．B
【分析】
4
设出这 个数，根据已知条件列方程组，由此求得 表达式，进而求得 的取值范围
m
m
.
【详解】
{a }
的前 项为 a b,c,d ，由于数列
4
,
{a }
3
的前 项成等比数列,其和为 ,后 项成等差数
3
设
m
n
n
ìa + b + c = m
(1)
ìa + b +
2 = m (1)
ï
2 = (2)
ïb ac
ï
列,其和为6 ，所 以
í
ï
，由（3）（4）得3c = 6,c = 2
，所以
íb
2 = 2 (2)
a
2c = b + d (3)
ï
4 = b + d (3)
î
ï
b + c + d = 6 (4)
î

ìa + b +
2 = m (1)
ï
b2
( )
4 -
d
2
ï
í
( )
+ 4 - + 2 = ，
d m
a =
(2)
即
，先将（2）代入（1），然后将（3）代入（1）得
2
2
ï
ï =
4 - d (3)
b
î
1
3 3
( )
= d -
5 2 + ³
整理得 m
.
2
2 2
故选：B
【点睛】
本小题主要考查等差数列、等比数列的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
10．C
【分析】
( )
-x,-y
x x x x 等5
< 0, = 0,0 < <1, =1, >1
x
代入，化简后可确定①的真假性.对 分成
x
将
+ y ³1
种情况进行分类讨论，得出 x2
2
，由此判断曲线C 上任意一点到原点的距离不小于
( ) ( )
0,1 , 1,0
1.进而判断出②正确.对于③，首先求得曲线C 的两个整点
，然后证得其它点不
是整点，由此判断出③正确.
【详解】
( )
-x,-y
3
3
+ y = -
1
，与原方程不相等，所以曲线C 不
①，将
代入曲线 : + =1，得x
C x3 y3
关于原点对称，故①错误.
=1- x
x
，所以对于任意一个 ，
x
3
②，对于曲线 : + =1，由于 y
C x3 y3
3 ，所以 = -
1
3
y
3
是单调递减函数.当 x
= 0
时，有唯一确定的
y
只有唯一确定的 和它对应.函数
= 1-
y
x3
3
( ) ( )
0,1 , 1,0
.所以曲线C 过点
y =1；当
=1
时，有唯一确定的
=
0
，这两点都在单位圆
x
y
< 0
y >1
>1时，
上，到原点的距离等于1 .当 x
时，
，所以 x + y >1, x + y >1.当 x
2
2
2
2
y < 0
时，0 < y <1
，所以 x y
x y
+ >1, + >1
.当0 < x <1
，且
2
2
2
2
( )
( )
2 2
( ) ( )
1- x + y = x + y - x + y = x x -1 + y y -1 < 0
，
2
2
3
3
2
2
所以 x + y >1, x + y >1.
2
2
2
2
综上所述，曲线C 上任意一点到原点的距离不小于 1，所以②正确.
( ) ( )
0,1 , 1,0
③，由②的分析可知，曲线C 过点
，这是两个整点.由 3 +
y3 =1可得
x

( )
x -1= -y ，当 x
¹ 0 x ¹1
且
x
时，若 x 为整数， 3 -1必定不是某个整数的三次方根，
3
3
所以曲线 只经过两个整点.故③正确.
C
综上所述，正确的为②③.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题.
11．8
【分析】
根据椭圆的定义，求得 到右焦点的距离.
P
【详解】
= 5
，而 到该椭圆左焦点的距离为2 ,则 到右焦点的距离为
5´2-2 = 8.
P P
依题意 a
故答案为：8
【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.
12．(0,1)
【解析】
x
< 0，
( -1) < 0 Þ Î(0,1)，
x
因为
所以 x x
x -1
( )
0,1
.
x
< 0
即不等式
的解集为
x -1
13．1 ?,-1（答案不唯一）
【详解】
分析：举出一个反例即可．
详解：当a
=1> b = -1时，
1
1
=1< = -1
不成立，
a
b
即可填1,-1．
点睛：本题考查不等式的性质等知识，意在考查学生的数学思维能力．
14．2
【解析】

分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.
b
F(c,0)
± = 0
bx ay
= ±
x 即
,
详解：因为双曲线的焦点
到渐近线 y
的距离为
a
bc ± 0
3
1
1
bc
3
= = b,
= c -b = c - c = c a = c e =
,
2
, 2.
所以b =
c ，因此a
2
2
2
2
2
4
4
2
+ b
c
2
a
2
2
点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为 ，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为 .
b
a
10
15．
n2 + 3n +100
【分析】
用渔船的费用，加上每年捕捞的费用，求得 年总花费，总花费除以 后，利用基本不等式
n
n
n
求得当 为何值时，平均花费最低.
【详解】
4
2
每年的费用是首项为 ，公差为 的等差数列，所以总费用
( )
n n -1
( )
S n = n´4 +
n 平均费用为
´2 +100 = n2 + 3 +100 .
2
( )
100
100
100
S n
n
= n +
+ 3 ³ 2 n×
+ 3 = 23
=
,n =10
时，等号成立，也即
，当且仅当n
n
n
n
n =10 时，该渔船年平均花费最低.
10
(2).
故答案为：(1).
n2
+ 3 +100
n
【点睛】
n
本小题主要考查等差数列前 项和，考查数列在实际生活中的应用，考查数列最值的求法，
属于基础题.
16．3
21
【分析】
4
（1）利用列举法求得把灯 关闭最少需要的操作次数.（2）先用列举法求得关闭前 个灯
x
4
2
最少需要的操作次数，然后乘以 再加上 ，得到使所有灯都开着最少需要的操作次数.
1
【详解】
x
（1）如果所有灯都处于开灯状态,那么要把灯 关闭最少需要的操作如下，设1 为开灯，0
4
为关灯：初始状态1111
，操作如下1011,0011,0010
，共3 次.
（2）①关闭前 个灯最少需要的操作如下，设 为开灯，0 为关灯：初始状态
1111，操作
4
1

如下：1011,0011,0010,1010,1110,0110,0100,1100,1000,0000
，共10 次.
②此时前6 盏灯的状态如下：000010，操作1 次，变为000011
③将步骤①倒过来做一遍，打开前4 个灯，共10 次操作.
，打开 .
x
6
综上所述，如果除灯 外,其余8 盏灯都处于开灯状态,那么要使所有灯都开着最少需要21
x
6
次操作
故答案为：(1). 3
(2). 21
【点睛】
本小题主要考查逻辑推理能力，属于基础题.
17．(Ⅰ) a = 2 . (Ⅱ) n 的值是 .
n
5
n
【分析】
,q
a
（I）利用等差中项的性质列方程，并转成a 的形式，解方程求得 的值，进而求得数列
1
1
{a }
的通项公式.
n
= 62
（II）根据等比数列前 项和公式求得 ，令
n
S
S
n
解方程，求得 的值.
n
n
【详解】
{a }
(Ⅰ)因为 为公比为2 的等比数列,
n
= 8a a =16a
= 4 ,a ,
所以 =
,
a
a q2
1
a
3
1
4
1
5
1
2(a + 4) = a + a
依题意得
,
4
3
5
2(8a + 4) = 4a +16a
即
,
1
1
1
4a = 8
, 解得 = 2 .
整理得
1
a1
所以数列{ }的通项公式为 = 2 .
a
a
n
n
n
1- qn
= × ,
(Ⅱ)依题意
S
a
1- q
n
1
= 2×1- 2 = 2 - 2 .
n
n+1
1- 2
所以2 - 2 = 62 ,整理得 2 1 = 64 ,
n+1
n+
解得n =5.

5
所以 的值是 .
n
【点睛】
本小题主要考查等比数列通项公式的计算，考查等比数列前n 项和的求法，考查等差中项的
性质，考查方程的思想，属于基础题.
1
18．(Ⅰ) { | < - 或 >1}. (Ⅱ) { | -4 £ £ 4}. (Ⅲ)见解析
a a
a
a
a
2
【分析】
（I）由 f (a) > f (1)
列不等式，解一元二次不等式求得a 的取值范围.
（II）将不等式 f (x) ³ -4对"xÎ R 恒成立转化为
元二次不等式，解不等式求得a 的取值范围.
，结合二次函数的性质列一
f (x) ³ -4
min
（III）对a 分成a < 0,a > 0,a = 0
三种情况，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，求得
不等式 f (x) > 0
的解集.
【详解】
(Ⅰ)由 f (a) > f (1)
得 + >1+ ,
a2 a2
a
1
整理得 2 - - > , 解得
a a
1 0
2
a a
{ |
>1}
< - 或a .
2
(Ⅱ) f (x) ³ -4对"xÎ R 恒成立,则
,
f (x) ³ -4
min
- a2
所以
³ - 4 ,
4
整理得a -16 £ 0 ,
2
解得{a | -4 £ a £ 4}
.
(Ⅲ)解x2 ax 0 ,得x
= 0,x = -a
,
1
2
①当-a > 0
②当-a < 0
③当-a = 0
时,即 < 0 时, 或
x < 0
> -a ;
x > 0;
x
a
a > 0
时,即 时,x < -a 或
= 0
时,即a 时,
x ¹ 0
.
{x | x < 0
或x ;当a 时,不等式的解集为
> 0
> -a}
综上,当 < 0 时,不等式的解集为
a
> 0}
;当a 时,不等式的解集为
{x | x ¹ 0}.
= 0
{x | x < -a x
或
【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查分类讨论
的数学思想方法，属于中档题.
1
x2
19．(Ⅰ)
1 (Ⅱ)
+ y =
2
3
2
【分析】
,b,c
（I）根据焦点坐标、离心率以及a = b + c ，求得a 的值，进而求得椭圆的方程.
2
2
2
（II）利用椭圆方程和ÐAFB = 90
，求得 点的坐标，由此求得
B
DAFB的面积.
【详解】
c
2
=1
(Ⅰ)依题意 c , = , a = b + c
2
2
2
a
2
解得 = ,
2
1 ,
a
=
- =
a2 b2
b
x2
所以椭圆 的方程为
C
+
y2
=1 .
2
x 2
0
2
B(x , y )
(Ⅱ)设点
,因为点 在椭圆上,所以
B
+
y 2
=1…①,
0
0
0
y
k ×k = -1
因为ÐAFB = 90
,所以
,得
=1…②,
0
x -1
FA
FB
0
y
由①②消去 得,
3
- 4x = 0,
x2
0
0
0
4
x = 0 (舍),x
=
解得
,
0 3
0
1
4 1
( , )
3 3
=
代入方程②得y ,所以B
,
0 3
2
所以| BF
|= ,又
| AF |= 2 ,
3
1
1
2
1
所以DAFB的面积S
【点睛】
AF
= ´| |´|
BF
|= ´
2 3
´ 2 =
2
3
DAFB
本小题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆内的三角形面积问题，属于基础题.
20．(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)
m
=1 . (Ⅲ)不存在，见解析
【分析】
^ BC, AE ^ PB
（I）通过证明AE
，证得 ⊥平面 .
AE
PBC
（II）建立空间直角坐标系，利用二面角C - AE - D 的余弦值列方程，解方程求得m 的值.
（III）设出F 点的坐标，利用 = 0列方程，推出矛盾，由此判断满足条件的F 点不
PF CE
×

存在.
【详解】
^
//
(Ⅰ)证明:因为 AD 平面 PAB, BC AD ,
所以
⊥平面 PAB.
BC
Ì
PAB
^
D
PA = AB
又因为 AE 平面
,所以 AE BC . 在 PAB中,
, 是 的中点,
PB
E
^ PB
所以 AE
.
= B
又因为 BC PB
,所以
AE⊥平面 PBC
.
^
(Ⅱ)解:因为 AD 平面 PAB,
^ AB AD ^ PA
.
所以 AD
,
^ AB
又因为 PA
,
A- xyz
所以 如图建立空间直角坐标系
.
(1,1,0),
,
(0,0,0) B(0,2,0) C(0,2, m) E
则 A
,
,
P(2,0,0) , (0,0,3) ,
D
AC = (0,2, m) , AE
= (1,1,0).
设平面 的法向量为n = (x, y, z) .
AEC
ìn × AC = 0,
则 í
în× AE = 0,
ì2y + mz = 0,
2
即 í
令 x
=1,则 y = -1
, = ,
z
+ y = 0.
îx
m

2
于是 = (1,-1, ) .
n
m
^
因为AD 平面PAB,所以AD . 又
^ PB
PB ^ AE ,
^
AED
所以PB 平面 .
又因为PB = (-2, 2, 0) ,
所以 取平面AED的法向量为m = (-1,1,0) .
n ×m
3
cosá n,mñ =
=
所以
,
× m
3
n
| -1-1|
2 × 2 +
3
=
即
4
3 ,解得m2 .
=1
m2
> 0
又因为m ,所以m .
=1
(Ⅲ)结论:不存在.理由如下:
证明:设F(0,0, t) (0 £ t £ 3)
(0,2,2)
.
= 2
当m 时,C
.
PF = (-2,0,t) ,CE = (1,-1,-2).
^ CE
由PF 知,
PF CE
= 0,-2-2t = 0 ,t = -1.这与0 £ t £ 3矛盾.
×
^ CE
所以,在线段AD 上不存在点F ,使得PF .
【点睛】
本小题主要考查线面垂直的证明，考查根据二面角的余弦值求参数，考查存在性问题的求解，
考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
2 2
3
2 2
3
21．(Ⅰ) y2 = 8x ，
= -2
. (Ⅱ)存在，
x
=
( 1)或
+
= -
x
( +1).
y
x
y
【分析】
（I）根据抛物线的定义求得抛物线的标准方程以及准线飞航程.
= k(x +1) ( ¹ 0)
（II）设出直线 的方程y
k
y
，联立直线的方程和抛物线的方程，消去 后
l
根据判别式大于零求得k 的取值范围，写出韦达定理.结合DE 得到直线DE 与直线
// AF
|BA| | BF |
=
），由此列方程，解方程求得k 的值，也即求得
的斜率相等（或者转化为
AF
| BE | | BD |
直线 的方程.
l

【详解】
(Ⅰ)因为横坐标为1 的点到焦点的距离为3 ,所以1+ = 3 ,解得 p
p
= 4
,
2
= 8x
所以 y
所以准线方程为 x
(Ⅱ)显然直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为 y
2
= -2
.
= k(x +1) ( ¹ 0) ( , ), ( , )
k
A x y B x y
,
.
1
1
2
2
ì = 8 ,
2
y
x
联立得 í
y
消去 得
+
(2
-8)
x k2
+
= 0 .
k2x2
k2
îy = k(x +1),
¹ 0.
- 2 < k < 2 k
且
由 D = (2k2 - 8) - 4 > 0 ,解得-
2 < k < 2
. 所以
2
k4
8 - 2k2
x x =1
.
由韦达定理得 + =
x x
,
1
2
1 2
k2
方法一:
直线 BF 的方程为 y
y
=
=
(x - 2)
,
2
x - 2
2
-3y
-3y
x = -1
2 ,所以 D(-1,
)
2 ,
又
,所以 y
x
- 2
x - 2
D
D
2
2
// AF
因为 DE
,所以直线 DE 与直线
的斜率相等
AF
y
-3k + 3
2
又 E(-4,-3k) ,所以
- 2
x
y .
=
2
1
-3
x - 2
1
y
y
k(x +1) k(x +1)
=
+
k =
+
整理得 k
1
2 ,即
1
2
,
x - 2 x - 2
x - 2
x - 2
1
2
1
2
x +1 x +1
2x x - (x + x ) - 4
化简得1=
+
,1= 1 2
+ = 7
,即 x x
.
1
2
1
2
x - 2 x - 2
x x - 2(x + x ) + 4
1
2
1
2
1 2
1
2
8 - 2k2
8
9
所以
=7 ,整理得
k2 =
,
k2
2 2
3
2 2
3
= ±
k = ±
解得 k
. 经检验,
符合题意.
2 2
2 2
3
所以存在这样的直线l ,直线l 的方程为 =
(x +1)或 y = -
(x +1)
y
3
方法二:
|BA| | BF |
x - x
x - 2
// AF
=
=
1 2
因为 DE
,所以
,所以 2
.
| BE | | BD |
x + 4 x +1
2
2
8 - 2k2
+ (x + x ) = 8
整理得 x x
,即
=7 ,
1 2
1
2
k2
8
整理得 2 = .
k
9

2 2
2 2
解得k = ± ,经检验,k = ± 符合题意.
3
3
2 2
3
2 2
3
所以存在这样的直线l ,直线l 的方程为 =
(x +1)或y = -
(x +1).
y
【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中
档题.
22．(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) 见解析(Ⅲ) 3,5 ,6 ,8 ,12 .
【分析】
（I）利用等差数列的定义，证得等差数列{ }为“和谐数列”.
a
n
（II）利用等差数列的定义，通过证明a
-a = d(n ³ 4)
，证得数列{ }从第 项起为等差
3
a
n
n-1
n
数列.
（III）对 p =1,2,3
依次进行验证，当 时，结合（II）的结论和等差数列前n 项和公
p ³ 4
式进行列式，求得p 的可能取值.
【详解】
{a }
(Ⅰ)证明:因为数列 为等差数列,
n
i, j ( - ³ 3)
a a
- =
-
a
=
d ,
所以对任意两个正整数
j i ,有 a
i+1
i
j
j-1
+ a = a + a
所以ai+1
j
.
j-1
i
所以 数列{ }为“和谐数列”.
a
n
{a }
(Ⅱ)证明:因为数列 为“和谐数列”,
n
=1 = 4
所以 当i , j 时,只能a
+
a
= +
a a 成立, a
+
a
= +
a a 不成立.
i+1
j-1
i
j
i-1
j+1
i
j
+a = a +a
a -a = a -a
.
所以 a
,即
2
3
1
4
2
1
4
3
=1 =
当i , j
5, 6, 7, 8,9
+
a
= +
a a 成立,a
+
a
a a 不成立.
= +
时,也只能ai+1
j-1
i
j
i-1
j+1
i
j
+a = a +a a +a = a +a a +a = a +a
所以 a
,
,
,
2
4
1
5
2
5
1
6
2
6
1
7
-a = a -a = a -a = a -a =
即a
,
2
1
5
4
6
5
7
6
-a = a -a = a -a = a -a =
所以a
.
2
1
4
3
5
4
6
5

a - a = d
{a }
-
满足a a
= ( ³ 4)
d n .
令
,则数列
2
1
n
n
n-1
{a }
所以,数列
从第 3 项起为等差数列.
n
p =1,则 a = =1
,与
a = 0
1
矛盾,不合题意.
(Ⅲ)解:①若
a
p
1
= 2
= 0
= 0
②若 p
,则
a
,
,
= 2
+ = 2 ¹ -2
,但 a a
,不合题意
a2
1
2
1
= 3
= 3
+ + = -3
a a a
a
= -6
,
③若 p
,则
a
1
a
3
,由
,得
1
2
3
2
{a }
此时数列
为:0, - 6 ,3 ,-3,-9 , ,符合题意.
n
④若 p
³ 4,设 - =
,
a a d
2
1
a + a + + a = 0 + d +[p - (p