福建省师大附中2012-2013学年高二数学上学期期中考试试题-文-新人教A版.doc

福建师大附中2012—2013学年度上学期期中考试
高二数学文试题

（满分：150分，时间：120分钟）
说明：试卷分第I卷和第II卷两部分，请将答案填写在答卷上，考试结束后只交答案卷.

第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在中，， 满足条件的（ ）
A. 有一解 B. 有两解 C.无解 D. 不能确定

2.下列命题中，正确的是（ ）
A.若，则； B.，则
C.若则， D. 若，，则
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4.在等差数列中，，表示数列的前项和，则( )
A． B． C． D．

5.已知满足，则的形状是（ ）

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

6. 记等比数列的前项和为，若则（ ）
A． 9　　 B．27　　 C． 8　　 　D．8

7．在平面直角坐标系中,若点在直线的右下方区域包括边界,则的取值范围是( )
A. B. C. D.

8.某商场今年销售计算机5 000台.如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约（ ）年可以使总销售量达到30 000台.（结果保留到个位）（参考数据）
A.3 B.4 C.5 D.6
9. 若实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10. 如果方程的两个实根一个小于0，另一个大于1，那么实数的取值范围是（ ）
A． B. C. D.

11．下列命题正确的是（ ）
A. B．对任意的实数,都有恒成立.
C.的最大值为2 D. 的最小值为2

12.设若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则（ ）

A． B. C. D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应位置．
13. 已知 ，则=_________.

14．数列的前项和为__________

15．已知三条线段的大小关系为：，若这三条线段能构成钝角三角形，
则的取值范围为_______________.

16. 如下图所示,从中间阴影算起，图1表示蜂巢有1层只有一个室,图2表示蜂巢有2层共有7个室,图3表示蜂巢有3层共有19个室,图4表示蜂巢有4层共有37个室. 观察蜂巢的室的规律，指出蜂巢有n层时共有_______个室.
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三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
已知等差数列满足。
（Ⅰ）求通项的通项公式及的最大值;
（Ⅱ）设,求数列的其前项和.

18．（本小题满分12分）
已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为且．
( I ) 若，求周长的最小值； (Ⅱ) 若，求边的值．

19.(本小题满分12分）
福州市某大型家电商场为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大,对某月即将出售的空调和冰箱进行了相关调查，得出下表：
资金
每台空调或冰箱所需资金
（百元）
月资金最多供应量
（百元）
空调
冰箱
进货成本
30
20
300
工人工资
5
10
110
每台利润
6
8

问：该商场如果根据调查得来的数据，应该怎样确定空调和冰箱的月供应量，才能使商场获得的总利润最大？总利润的最大值为多少元？

20.（本小题满分12分）

20090423
20090423
10 m
4 m
A
B
C
D
B
A
C
D
如图所示，某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区（阴影部分）和环公园人行道组成.已知休闲区的面积为4000 m 2，人行道的宽分别为4 m和10 m.
（ I ）设休闲区的长m ，
求公园ABCD所占面积关于 x 的函数的解析式；
（Ⅱ）要使公园ABCD所占总面积最小，休闲区的长和宽该如何设计？

21. （本小题满分12分）

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.
（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行时间应为多少小时？
(Ⅱ)为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；
O
A

22.（本小题满分14分）
已知二次函数满足以下两个条件：
①不等式的解集是（-2，0） ②函数在上的最小值是3
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若点在函数的图象上，且
（ⅰ）求证：数列为等比数列
（ⅱ）令，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在，指出的取值范围；若不存在，请说明理由．

参考答案
CCCBA ADCCB DC , , ,
17．解：（1） ,的最大值为28
（2），

18．解：(1),,,
当且仅当时,周长取到最小值为
(2) ∵cosB=>0，且0<B<π，∴sinB=
由正弦定理得 , ;
再由余弦定理得:即或(舍去)

22
10
11
15
0
x
y
19. 解:设每月调进空调和冰箱分别为台，总利润为 （百元）则由题意，得

目标函数是 ，
画图，得 的交点是
（百元）
20．（1），=4000 ∴
∴ （x > 0）
（2）
当且仅当即 x = 100 时取等号
答：当休闲区长时，公园ABCD所占总面积最小为5760 m 2 .
21.（I）设相遇时小艇的航行距离为S海里，则
, 故t=1/3时，S min =，
答:希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行时间为1/3小时.
（Ⅱ）设小艇与轮船在B处相遇
由题意可知，（vt）2 =202 +（30 t）2-2·20·30t·cos（90°-30°），
化简得：
由于0＜t≤1/2，即1/t ≥2
所以当=2时，取得最小值，
即小艇航行速度的最小值为海里/小时。
22.解：（Ⅰ）∵ f（x）< 0 的解集为（-2，0），且f（x）是二次函数
∴ 可设 f（x）= a x（x + 2） （a > 0），故 f（x）的对称轴为直线 ，
∴ f（x）在 [1，2]上的最小值为f（1）=3a =3 ，
∴ a = 1 ，所以f（x）= x 2 + 2 x .
（Ⅱ）（ⅰ）∵ 点（a n , a n + 1 ）在函数f（x）= x 2 + 2 x 的图象上
∴ a n + 1 = a n 2 + 2 a n , 则 1 + a n + 1 = 1 + a n 2 + 2 a n = （1 + a n）2
∴ , 又首项
∴ 数列 为等比数列，且公比为2 。
（ⅱ）由上题可知，要使得不等式恒成立，即对于一切的恒成立，
法一：对一切的恒成立，
令，
∵在是单调递增的，∴的最小值为
＝ 所以
法二：
设
当时，由于对称轴直线，且 ，而函数在 是增函数，∴不等式恒成立
即当时，不等式对于一切的恒成立

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用心 爱心 专心