浙江省台州市仙居县宏大中学2012-2013学年高二数学上学期期中考试试题-理(含解析)新人教A版.doc

2012-2013学年浙江省台州市仙居县宏大中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）右图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体（）ABCD考点：由三视图还原实物图专题：计算题分析：由已知中正视图与侧视图和俯视图，我们可以判断出该几何体的形状，逐一和四个答案中的直观图进行比照，即可得到答案解答：解：由已知中的三视图我们可以判断出该几何体是由一个底面面积相等的圆锥和圆柱组合而成分析四个答案可得D满足条件要求故选D点评：本题考查的知识点是由三视图还原实物图，其中若三视图中若有两个三角形，则几何体为一个锥体，有两个矩形，则几何体为一个柱体，具体形状由另外一个视图的形状决定2（4分）圆x2+y2=1和圆x2+y26y+5=0的位置关系是（）A外切B内切C外离D内含考点：圆与圆的位置关系及其判定专题：计算题分析：根据题意先求出两圆的圆心和半径，根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，得出两圆相外切解答：解：圆x2+y26y+5=0 的标准方程为：x2+（y3）2=4，所以其表示以（0，3）为圆心，以2为半径的圆，所以两圆的圆心距为3，正好等于两圆的半径之和，所以两圆相外切，故选A点评：本题考查两圆的位置关系，由两圆的圆心距等于两圆的半径之和，得出两圆相外切3（4分）下列叙述中错误的是（）A若P且=l，则PlB三点A，B，C确定一个平面C若直线ab=A，则直线a与b能够确定一个平面D若Al，Bl且A，B，则l考点：命题的真假判断与应用专题：计算题分析：由空间线面位置关系，结合公理即推论，逐个验证即可解答：解：选项A，点P在是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；选项B，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；选项C，由公理的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；选项D，由公理1，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内故选B点评：本题考查命题真假，涉及线面位置关系的确定，属基础题4（4分）如果AC0，且BC0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：直线的一般式方程专题：计算题分析：先把Ax+By+C=0化为y=，再由AC0，BC0得到，数形结合即可获取答案解答：解：直线Ax+By+C=0可化为，又AC0，BC0AB0，直线过一、二、四象限，不过第三象限故答案选C点评：本题考查直线的一般式方程与直线的斜截式的互化，以及学生数形结合的能力，属容易题5（4分）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设，则x+y+z等于（）A1BCD考点：空间向量的基本定理及其意义专题：计算题；待定系数法分析：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，用 、 表示出 ，将它和题中已知的 的解析式作对照，求出x、y、z 的值解答：解：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，又=+，x=1，2y=1，3z=1，x=1，y=，z=，x+y+z=1+=，故选 D点评：本题考查空间向量基本定理及其意义，空间向量的加减和数乘运算，用待定系数法求出x、y、z 的值6（4分）在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点若AC=BD=a，且AC与BD所成的角为60，则四边形EFGH的面积为（）ABCD考点：异面直线及其所成的角专题：计算题；空间角分析：先证明四边形EFGH为菱形，然后说明EFG=60，最后根据三角形的面积公式即可求出所求解答：解：连接EH，因为EH是ABD的中位线，所以EHBD，且EH=BD同理，FGBD，EFAC，且FG=BD，EF=AC所以EHFG，且EH=FG所以四边形EFGH为平行四边形因为AC=BD=a，AC与BD所成的角为60所以EF=EH所以四边形EFGH为菱形，EFG=60四边形EFGH的面积是2（）2=a2故选A点评：本题主要考查知识点：简单几何体和公理四，公理四：和同一条直线平行的直线平行，证明菱形常用方法是先证明它是平行四边形再证明邻边相等相等，以及面积公式，属于中档题7（4分）已知ab0，点M（a，b）是圆x2+y2=r2内一点，直线m是以点M为中点的弦所在的直线，直线l的方程是ax+by=r2，则下列结论正确的是（）Aml，且l与圆相交Blm，且l与圆相切Cml，且l与圆相离Dlm，且l与圆相离考点：直线与圆的位置关系分析：求圆心到直线的距离，然后与a2+b2r2比较，可以判断直线与圆的位置关系，易得两直线的关系解答：解：以点M为中点的弦所在的直线的斜率是，直线ml，点M（a，b）是圆x2+y2=r2内一点，所以a2+b2r2，圆心到ax+by=r2，距离是r，故相离故选C点评：本题考查直线与圆的位置关系，两条直线的位置关系，是基础题8（4分）将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC平面ABC，在折起后形成的三棱锥DABC中，给出下列三个命题：面DBC是等边三角形； ACBD； 三棱锥DABC的体积是其中正确命题的个数为（）A0B1C2D3考点：命题的真假判断与应用专题：计算题；空间位置关系与距离分析：先作出图来，根据图可知BD=DO=1，再由BC=DC=1，可知面DBC是等边三角形由ACDO，ACBO，可得AC平面DOB，从而有ACBD三棱锥DABC的体积=SABCOD=11=解答：解：如图所示：BD=DO=1又BC=DC=1面DBC是等边三角形正确；ACDO，ACBOAC平面DOBACBD正确；三棱锥DABC的体积=SABCOD=11=，不正确故选C点评：本题主要考查折叠问题，要注意折叠前后的改变的量和位置，不变的量和位置，属中档题9（4分）若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点，则k的取值范围是（）A1，+）B1，）C（，1D（，1考点：直线与圆锥曲线的关系专题：计算题；数形结合分析：将曲线方程变形判断出曲线是上半圆；将直线方程变形据直线方程的点斜式判断出直线过定点；画出图形，数形结合求出满足题意的k的范围解答：解：曲线 即x2+y2=4，（y0）表示一个以（0，0）为圆心，以2为半径的位于x轴上方的半圆，如图所示：直线y=kx+4+2k即y=k（x+2）+4表示恒过点（2，4）斜率为k的直线结合图形可得，解得要使直线与半圆有两个不同的交点，k的取值范围是故选B点评：解决直线与二次曲线的交点问题，常先化简曲线的方程，一定要注意做到同解变形，数形结合解决参数的范围问题10（4分）已知平面平面，A，C，B，D，线段AB与线段CD交于点S，若AS=18，BS=27，CD=34，则CS=（）A68BCD34考点：点、线、面间的距离计算专题：综合题；平面向量及应用分析：因为平面平面，利用平面平行的性质定理，可得，ACBD，再根据S点的位置，利用成比例线段，就可求出CS的值解答：解：若S点位于平面与平面之间，根据平面平行的性质定理，得ACBD，=，即=，AS=18，BS=27，CS=若S点位于平面与平面外，根据平面平行的性质，得=，AS=18，BS=27，CD=34，CS=68故选C点评：本题考查了平面平行的性质定理，做题时容易丢情况，需谨慎二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11（4分）直线截圆x2+y2=4得到的弦长为2考点：直线与圆的位置关系专题：计算题分析：由圆的方程找出圆心坐标与半径r，；利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用垂径定理及勾股定理即可求出直线截圆得到的弦长解答：解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，圆心到直线的距离d=1，直线截圆的弦长为2=2故答案为：2点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键12（4分）一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是一个等腰梯形，其底角为45，腰和上底均为1（如图），则平面图形的实际面积为2+考点：斜二测法画直观图专题：计算题；空间位置关系与距离分析：利用原图和直观图的关系，可得直观图，利用梯形面积公式求解即可解答：解：恢复后的原图形为一直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，S=（1+1）2=2+故答案为：2+点评：本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，属基础知识的考查13（4分）已知A（2，3），B（3，2）两点，直线l过定点P（1，1）且与线段AB相交，求直线l的斜率k的取值范围 或k4考点：恒过定点的直线专题：数形结合分析：画出图形，由题意得 所求直线l的斜率k满足 kkPB 或 kkPA，用直线的斜率公式求出kPB 和kPA 的值，解不等式求出直线l的斜率k的取值范围解答：解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足 kkPB 或 kkPA，即 k=，或 k=4，k，或k4，故答案为：k或k4点评：本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想14（4分）长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=3，AD=2，AA1=1，则从A点沿表面到C1点的最短距离为3考点：点、线、面间的距离计算专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据题意，画出三种展开的图形，求出A、C1两点间的距离，比较大小，从而找出最小值即为所求解答：解：长方体ABCDA1B1C1D1的表面可如下图三种方法展开后，A、C1两点间的距离分别为：=3，=2，=三者比较得3是从点A沿表面到C1的最短距离，最短距离是3故答案为：3点评：本题考查棱柱的结构特征，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题15（4分）正四棱锥SABCD的侧棱长为，底面边长为，E为SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角为：60考点：异面直线及其所成的角专题：计算题；综合题分析：连接底面正方形ABCD对角线AC、BD，取底面ABCD对角线AC的中点F，连接EF，BD，说明EF与BE的成角是BE与SC的成角，通过在BFE中根据余弦定理，BF2=EF2+BE22EFBEcosBEF，求出cosBEF解得异面直线BE与SC所成角的大小解答：解：连接底面正方形ABCD对角线AC、BD，取底面ABCD对角线AC的中点F，连接EF，BD，EF是三角形ASC的中位线，EFSC，且EF=SC，则EF与BE的成角是BE与SC的成角，BF=，AB=，EF=，三角形SAB是等腰三角形，从S作SGAB，cosA=，根据余弦定理，BE2=AE2+AB22AEABcosA=2，BE=，在BFE中根据余弦定理，BF2=EF2+BE22EFBEcosBEF，cosBEF=，BEF=60；异面直线BE与SC所成角的大小60 故答案为：60点评：本题考查异面直线及其所成的角，考查计算能力，是基础题16（4分）若圆（x3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x3y=2的距离为1，则半径r的取值范围是（4，6）考点：直线与圆的位置关系专题：直线与圆分析：先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由题意得|5r|1，解此不等式求得半径r的取值范围解答：解：圆心P（3，5）到直线4x3y=2的距离等于=5，由|5r|1，解得：4r6，则半径r的范围为（4，6）故答案为：（4，6）点评：本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式的应用，以及绝对值不等式的解法，列出关于r的不等式是解本题的关键17（4分）已知两条不同直线m、l，两个不同平面、，给出下列命题：（1）若m，l且，则ml； （2）若l，l，则；（3）若l，则l平行于内的所有直线； （4）若l，m，lm，则；（5）若l，m在平面内的射影互相垂直，则lm其中正确命题的序号是（2）（4）（把你认为正确命题的序号都填上）考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系专题：空间位置关系与距离分析：根据面面垂直时，两个平面内直线的位置关系，可判断（1）（3）错误，根据面面垂直的判定定理及几何特征可判断（2）（4）正确；根据直线夹角及直线在平面上射影夹角的几何特征，可判断（5）错误解答：解：若m，l且，则m与l不相交，但可能平行也可能异面，故（1）错误；l，l，则由面面垂直的判定定理可得，故（2）正确；若l，则l与平面内的直线平行或异面，故（3）错误；若l，lm，则m或m，又由m，由面面垂直的判定定理可得，故（4）正确；若l，m在平面内的射影互相垂直，则l与m不平行，但也不一定垂直，故（5）错误故答案为（2）（4）点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，空间中直线与平面的位置关系，熟练掌握线面关系的判定方法和几何特征是解答的关键三、解答题：本大题共5小题，共52分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（8分）已知直线l经过点（0，2），且垂直于直线，（1）求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴围成三角形的面积考点：直线的一般式方程专题：计算题；直线与圆分析：（1）根据垂直的两条直线斜率之间的关系，算出直线l的斜率为，用点斜式列式，化简整理即得直线l的方程；（2）分别令x=0，y=0，得到直线l在两坐标轴上的截距，从而得到l截两坐标轴所得直角三角形的直角边长，结合三角形面积公式，可得l与两坐标轴围成三角形的面积解答：解：（1）直线的斜率为，（1分）垂直于直线的直线l的斜率为k=，（2分）又直线l经过点（0，2），直线l的点斜式方程为y+2=x，整理得xy2=0，即为所求直线l的方程 （4分）（2）由直线l的方程知它在x轴上的截距是，在y轴上的截距是2，（6分）直线l与两坐标轴围成三角形是两条直角为分别为和2的直角三角形因此，直线l与两坐标轴围成三角形的面积S=2= （8分）点评：本题给出直线l经过定点，且与已知直线互相垂直，求直线l方程，着重考查了直线的位置关系、直线的一般式方程和直线截三角形的面积求法等知识，属于基础题19（8分）如图四边形ABCD为梯形，ADBC，ABC=90，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）专题：计算题分析：旋转后几何体是一个圆台，从上面挖去一个半球，根据数据利用面积公式与体积公式，可求其表面积和体积解答：解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面 （3分）S半球=8，S圆台侧=35，S圆台底=25故所求几何体的表面积为：8+35+25=68 （7分）由，（9分） （11分）所以，旋转体的体积为 （12分）点评：本题考查组合体的面积、体积问题，考查空间想象能力，数学公式的应用，是中档题20（12分）（2004天津）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F（1）证明PA平面EDB；（2）证明PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题专题：证明题；综合题；转化思想分析：法一：（1）连接AC，AC交BD于O，连接EO要证明PA平面EDB，只需证明直线PA平行平面EDB内的直线EO；（2）要证明PB平面EFD，只需证明PB垂直平面EFD内的两条相交直线DE、EF，即可；（3）必须说明EFD是二面角CPBD的平面角，然后求二面角CPBD的大小法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a（1）连接AC，AC交BD于G，连接EG，求出，即可证明PA平面EDB；（2）证明EFPB，即可证明PB平面EFD；（3）求出，利用，求二面角CPBD的大小解答：解：方法一：（1）证明：连接AC，AC交BD于O，连接EO底面ABCD是正方形，点O是AC的中点在PAC中，EO是中位线，PAEO而EO平面EDB且PA平面EDB，所以，PA平面EDB（2）证明：PD底面ABCD且DC底面ABCD，PDDCPD=DC，可知PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，DEPC同样由PD底面ABCD，得PDBC底面ABCD是正方形，有DCBC，BC平面PDC而DE平面PDC，BCDE由和推得DE平面PBC而PB平面PBC，DEPB又EFPB且DEEF=E，所以PB平面EFD（3）解：由（2）知，PBDF，故EFD是二面角CPBD的平面角由（2）知，DEEF，PDDB设正方形ABCD的边长为a，则，在RtPDB中，在RtEFD中，所以，二面角CPBD的大小为方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG依题意得底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，故点G的坐标为且，这表明PAEG而EG平面EDB且PA平面EDB，PA平面EDB（2）证明；依题意得B（a，a，0），又，故PBDE由已知EFPB，且EFDE=E，所以PB平面EFD（3）解：设点F的坐标为（x0，y0，z0），则（x0，y0，z0a）=（a，a，a）从而x0=a，y0=a，z0=（1）a所以由条件EFPB知，即，解得点F的坐标为，且，即PBFD，故EFD是二面角CPBD的平面角，且，所以，二面角CPBD的大小为点评：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力21（12分）已知圆C以为圆心且经过原点O（）若直线2x+y4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程；（）在（）的条件下，已知点B的坐标为（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标考点：直线和圆的方程的应用；圆的标准方程专题：综合题分析：（I）利用圆的标准方程写出圆的方程，根据线段的中垂线的性质判断出C，H，O三点共线，利用两点连线的斜率公式求出直线OC的斜率，列出关于t的方程，求出t的值通过圆心到直线的距离与圆半径的大小的比较，判断出直线与圆的关系是否相交（II）求出点B关于直线x+y+2=0的对称点，将已知问题转化为对称点到圆上的最小值问题，根据圆的几何条件，圆外的点到圆上的点的最小值等于该点到圆心的距离减去半径解答：解：由题知，圆C方程为，化简得（）|OM|=|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CHMNC，H，O三点共线，则直线OC的斜率或t=2，知圆心C（2，1）或C（2，1），所以圆方程为（x2）2+（y1）2=5或（x+2）2+（y+1）2=5，由于当圆方程为（x+2）2+（y+1）2=5时，直线2x+y4=0到圆心的距离dr，不满足直线和圆相交，故舍去圆C方程为（x2）2+（y1）2=5 （） 点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B（4，2），则|PB|+|PQ|=|PB|+|PQ|BQ|，又B到圆上点Q的最短距离为，所以|PB|+|PQ|的最小值为，直线BC的方程为，则直线BC与直线x+y+2=0的交点P的坐标为点评：求圆的方程一般利用的方法是待定系数法；解决直线与圆的有关的问题常利用圆的一些几何意义：常需要解圆心距、弦长的一半、圆的半径构成的直角三角形；圆外的点到圆上的最值常求出点到圆心的距离加上或减去圆的半径22（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，侧面BCC1B1底面ABC，侧棱BB1与底面ABC所成的角为60（）求直线A1C与底面ABC所成的角；（）在线段A1C1上是否存在点P，使得平面B1CP平面ACC1A1？若存在，求出C1P的长；若不存在，请说明理由考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角专题：计算题；综合题分析：（）过B1作B1OBC于O，证明B1O平面ABC，以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，求出A，B，C，A1，B1，C1坐标，底面ABC的法向量，设直线A1C与底面ABC所成的角为，通过，求出直线A1C与底面ABC所成的角（）假设在线段A1C1上存在点P，设=，通过求出平面B1CP的法向量，利用求出平面ACC1A1的法向量，通过=0，求出求解解答：（本题满分14分）解：（）过B1作B1OBC于O，侧面BCC1B1平面ABC，B1O平面ABC，B1BC=60又BCC1B1是菱形，O为BC的中点（2分）以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则，B（0，1，0），C（0，1，0），又底面ABC的法向量（4分）设直线A1C与底面ABC所成的角为，则，=45所以，直线A1C与底面ABC所成的角为45 （7分）（）假设在线段A1C1上存在点P，设=，则，（8分）设平面B1CP的法向量，则令z=1，则， （10分）设平面ACC1A1的法向量，则令z=1，则，x=1， （12分）要使平面B1CP平面ACC1A1，则= （14分）点评：本题考查直线与平面垂直，直线与平面所成的角，平面与平面垂直，考查空间想象能力，计算能力17