甘肃省部分普通高中2011届高三数学第一次联合考试-理.doc

2011年甘肃省部分普通高中高三第一次联合考试数学试题（理科）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．）
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的反函数，则等于
A． B． C． D．
3．设为等差数列，为其前项和，且，则等于
A． B． C． D．
4．函数的单调递增区间是
A． B．
C． D．
5．“”是“直线与直线互相垂直”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．已知向量=
A． B． C．5 D．25
8．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CC1的中点，则AE、BF所成的角的余弦值是
A． B． C． D．
9．设，则的最小值为
A． B． C． D．
10．F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，线段PF2与轴的交点为
M，且，则点M到坐标原点O的距离是
A． B． C．1 D．2
11．下列四个命题
① 分别和两条异面直线均相交的两条直线一定是异面直线．
② 一个平面内任意一点到另一个平面之距离均相等，那么这两个平面平行．
③ 一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的平
面角相等或互补．
④ 过两异面直线外一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同时相交．其中正确命
题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
12．有下列数组排成一排：

如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列：
则此数列中的第项是
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在答题卡中相应的横线上）
13．已知实数满足，则的最小值是 ．
14．在中，则边AB的长为
15．对于连续函数和，函数在闭区间上的最大值称为与
在闭区间上的“绝对差”，记为则
．
16．已知点，点是圆上的动点，点是圆
上的动点，则的最大值是
三、解答题：（本大题共小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分10分）
在中，角所对的边分别为，向量
，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若的面积为，求．
18．（本小题满分12分）
已知等差数列满足：，．的前n项和为．
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）令bn=（nN*），求数列的前n项和．

19．（本小题满分12分）
如图，平面ABC，EB//DC，AC=BC=EB=2DC=2，，P、Q分别为DE、AB的中点。
（Ⅰ）求证：PQ//平面ACD；
（Ⅱ）求几何体B—ADE的体积；
（Ⅲ）求平面ADE与平面ABC所成锐二面角的正切值。

20．（本小题满分12分）
某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的
桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。
（Ⅰ）试写出关于的函数关系式；
（Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？

21．（本小题共12分）
已知抛物线C:上横坐标为4的点到焦点的距离为5．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线与抛物线C交于两点，，且（，
且为常数）．过弦AB的中点M作平行于轴的直线交抛物线于点D，连结AD、BD
得到．
（1）求证：；
（2）求证：的面积为定值．

22．（本小题共12分）
已知函数
（Ⅰ）若时，函数在其定义域是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）在（1）的结论下，设函数的最小值；
（Ⅲ）设函数的图象C1与函数的图象C2交于P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线互相平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由。
2011年高三第一次联合考试数学答案（理科）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．）
DCBBA CCBCA AB
二、填空题： 13． 14． 15． 16．
三、解答题：
17． （本小题共10分）
（Ⅰ） ，………………………… (2分)
，，……… (4分)
………………………………………… (5分)
（Ⅱ）由，得，…………………………… (6分)
又 ………………………… (7分)
，…… (8分)
当时，；……………………………………… (9分)
当时，．…………………………………… (10分)
18．（本小题共12分）
（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为d, ……………………………． (1分)
…… (4分)
…………………………………………………… (6分)
（Ⅱ），故… (8分)

所以数列的前n项和=……………………………………… (12分)

19．（本小题共12分）
（Ⅰ）证明：取的中点，连接，易证平面
又……………………………………… （４分）
（Ⅱ）… （６分）
………………………………………………… （８分）
（Ⅲ）
…… （10分）
………………………………… （12分）
注：用向量法请对应给分．
（法2）解：以C为原点，CA、CB、CD所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系C－xyz,则A（2，0，0）B（0，2，0）C（0，0，0）D（0，0，1）E（0，2，2）则 设面ADE法向量为
则
可取
即面ADE与面ABC所成的二面角余弦值为
易得面ADE与面ABC所成二面角的正切值为…………………………………（12分）
20．（本小题共12分）
（Ⅰ）设需要新建个桥墩，…………………… （3分）
所以
…………………………………………………… （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，……………… （7分）
令，得，所以=64 …………………………… （8分）
当0<<64时<0， 在区间（0，64）内为减函数；…………… （9分）
当时，>0． 在区间（64，640）内为增函数，…………（10分)
所以在=64处取得最小值，此时，………… （11分）
故需新建9个桥墩才能使最小。……………（12分）
21．（本小题共12分）
（Ⅰ）依题意得：，解得． 所以抛物线方程为 ……… (4分)
（Ⅱ）（1）由方程组消去得：．（※）
依题意可知：．由已知得，……………………… (6分)
由，得，即，整理得．
所以 ……………………… (8分)
（2）由（1）知中点，所以点，……………… (9分)
依题意知．……………………… (10分)
又因为方程（※）中判别式，得．所以 ，
由（Ⅱ）可知，所以． ……………… (11分)
又为常数，故的面积为定值． ………………… (12分)
22．（本小题共12分）
（Ⅰ）依题意：
∵上是增函数，∴恒成立，…（2分）
∴∵∴b的取值范围为…………（4分）
（Ⅱ）设
∵∴当上为增函数，
当t=1时，………………………………………… (5分)
当 ……………… (6分)
当上为减函数，
当t=2时，………………………………………………………… (7分)
综上所述，当
当
…………………………………………… (8分)
（Ⅲ）设点P、Q的坐标是
则点M、N的横坐标为
C1在M处的切线斜率为C2在点N处的切线斜率
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则
即
则
…………………… (10分)
设…………………………①
令则
∵∴ 所以上单调递增，故
则这与①矛盾，假设不成立
故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行。……………… （12分）

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