北京市石景山区高三数学一模试题-理(含解析)新人教A版.doc

2013年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）（2013•石景山区一模）设集合M={x|x2≤4），N={x|log2 x≥1}，则M∩N等于（　　）

A．
[﹣2，2]
B．
{2}
C．
[2，+∞）
D．
[﹣2，+∞）

考点：
交集及其运算．
专题：
计算题．
分析：
求解二次不等式和对数不等式化简集合M，N，然后直接利用交集的运算求解．
解答：
解：由M={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，
N={x|log2 x≥1}={x|x≥2}，
则M∩N={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≥2}={2}．
故选B．
点评：
本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式及对数不等式的解法，是基础的计算题．

2．（5分）（2013•石景山区一模）若复数（a﹣i）2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是（　　）

A．
1
B．
﹣1
C．

D．
﹣

考点：
复数的代数表示法及其几何意义．
专题：
计算题．
分析：
利用复数的运算法则化为复数（a﹣i）2=a2﹣1﹣2ai．再根据在复平面内对应的点在y轴负半轴上的特点即可得出．
解答：
解：∵a∈R，∴复数（a﹣i）2=a2﹣1﹣2ai．
∵复数（a﹣i）2在复平面内对应的点（a2﹣1，﹣2a）在y轴负半轴上，
∴，解得a=1．
故选A．
点评：
熟练掌握复数的运算法则和几何意义、在y轴负半轴上的点的特点是解题的关键．

3．（5分）（2013•石景山区一模）将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量=（m，n），=（3，6），则向量与共线的概率为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
古典概型及其概率计算公式．
专题：
平面向量及应用；概率与统计．
分析：
利用古典概型的概率计算公式和向量共线定理即可得出．
解答：
解：由题意可得：基本事件（m，n）（m，n=1，2，…，6）的个数=6×6=36．
若，则6m﹣3n=0，得到n=2m．满足此条件的共有（1，2），（2，4），（3，6）三个基本事件．
因此向量与共线的概率P==．
故选D．
点评：
熟练掌握古典概型的概率计算公式和向量共线定理是解题的关键．

4．（5分）（2013•石景山区一模）执行右面的框图，输出的结果s的值为（　　）

A．
﹣3
B．
2
C．

D．

考点：
程序框图．
专题：
图表型．
分析：
根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论．
解答：
解：第1次循环，S=﹣3，i=2，
第2次循环，S=﹣，i=3，
第3次循环，S=，i=4，
第4次循环，S=2，i=5，
第5次循环，S=﹣3，i=6，
…
框图的作用是求周期为4的数列，输出S的值，
不满足2014≤2013，退出循环，循环次数是2013次，即输出的结果为﹣3，
故选A．

点评：
本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题．

5．（5分）（2013•石景山区一模）如图，直线AM与圆相切于点M，ABC与ADE是圆的两条割线，且BD⊥AD，连接MD、EC．则下面结论中，错误的结论是（　　）

A．
∠ECA=90°
B．
∠CEM=∠DMA+∠DBA
C．
AM2=AD•AE
D．
AD•DE=AB•BC

考点：
与圆有关的比例线段．
专题：
选作题．
分析：
A．利用圆的内接四边形的性质可得∠BDE+∠BCE=180°，再利用已知即可判断出；
B．利用弦切角定理可得∠AMD=∠MED；由四边形BDEC是圆的内接四边形∠ABD=∠CED，即可判断出答案；
C．由切割线定理可得AM2=AD•AE，即可判断出；
D．利用排除法，或割线定理得AD•AE=AB•AC，进而得到AD•DE﹣AB•BC=AB2﹣AD2，而AB与AD不一定相等，据此判断出．
解答：
解：A．∵四边形BDEC是圆的内接四边形，∴∠BDE+∠BCE=180°，∵∠BDE=90°，∴∠BCE=90°，故A正确；
B..∵直线AM与圆相切于点M，由弦切角定理可得∠AMD=∠MED；由四边形BDEC是圆的内接四边形，∴∠ABD=∠CED，∴∠CEM=∠MED+∠CED=∠DMA+DBA，故正确；
C．∵直线AM与圆相切于点M，由切割线定理可得AM2=AD•AE，故C正确；
D．由割线定理得AD•AE=AB•AC，∴AD•（AD+DE）=AB•（AB+BC），∴AD•DE﹣AB•BC=AB2﹣AD2，而AB与AD不一定相等，故错误．
故选D．
点评：
熟练掌握圆的内接四边形的性质、弦切角定理、切割线定理、割线定理是解题的关键．

6．（5分）（2013•石景山区一模）在的二项展开式中，x的系数为（　　）

A．
﹣10
B．
10
C．
﹣40
D．
40

考点：
二项式系数的性质．
专题：
计算题．
分析：
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得x的系数．
解答：
解：在的二项展开式的通项公式为 Tr+1=•25﹣r•x10﹣2r•（﹣1）r•（x）﹣r=（﹣1）r••25﹣r•x10﹣3r．
令10﹣3r=1，可得r=3，故x的系数为 （﹣1）3•25﹣3•=﹣40，
故选C．
点评：
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．

7．（5分）（2013•石景山区一模）对于直线l：y=k（x+1）与抛物线C：y2=4x，k=±1是直线l与抛物线C有唯一交点的（　　）条件．

A．
充分不必要
B．
必要不充分

C．
充要条件
D．
既不充分也不必要

考点：
必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：
计算题．
分析：
联立方程组可知l与C有唯一交点的充要条件为k=0，或k=±1，由集合{﹣1，1}是{﹣1，0，1}的真子集可得答案．
解答：
解：联立方程组，消去y并整理得，
k2x2+2（k2﹣2）x+k2=0，
当k=0时，上式变为﹣4x=0，解得x=0，l与C有唯一交点，
当k≠0时，需△=4（k2﹣2）2﹣4k4=0，解得k=±1，
故l与C有唯一交点的充要条件为k=0，或k=±1，
由{﹣1，1}是{﹣1，0，1}的真子集可得前者是后者的充分不必要条件，
故选A
点评：
本题考查充要条件的判断，涉及直线与圆锥曲线的交点问题，属基础题．

8．（5分）（2013•石景山区一模）若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：
①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；
②P、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”），
已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（　　）

A．
0对
B．
1对
C．
2对
D．
3对

考点：
分段函数的解析式求法及其图象的作法．
专题：
压轴题；新定义．
分析：
根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数f（x）=log2x（x＞0）交点个数即可．
解答：
解：根据题意：当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）=﹣（﹣x）2﹣4（﹣x）=﹣x2+4x，
可知，若函数为奇函数，可有f（x）=x2﹣4x，
则函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的函数是y=x2﹣4x
由题意知，作出函数y=x2﹣4x（x＞0）的图象，
看它与函数f（x）=log2x（x＞0）交点个数即可得到友好点对的个数．
如图，
观察图象可得：它们的交点个数是：2．
即f（x）的“友好点对”有：2个．
故答案选 C．
点评：
本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5分）（2013•石景山区一模）直线2ρsinθ=1与圆ρ=2cosθ相交弦的长度为　　．

考点：
点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系．
专题：
直线与圆．
分析：
先将原极坐标方程ρ=2cosθ两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再将2ρsinθ=1也化成极坐标方程，后利用直角坐标方程进行求解即可．
解答：
解：将圆ρ=2cosθ化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，
直线2ρsinθ=1化为直角坐标方程为y=，
代入（x﹣1）2+y2=1，得x=1±
则直线2ρsinθ=1与圆ρ=2cosθ相交弦的长度为1+﹣（1﹣）=．
故答案为：．
点评：
本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．

10．（5分）（2013•石景山区一模）在△ABC中，若，则∠C=　　．

考点：
正弦定理．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
利用正弦定理化简已知的等式，把sinB的值代入求出sinA的值，由a小于b，根据大边对大角，得到A小于B，即A为锐角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出C的度数．
解答：
解：∵b=a，
∴根据正弦定理得sinB=sinA，又sinB=sin=，
∴sinA=，又a＜b，得到∠A＜∠B=，
∴∠A=，
则∠C=．
故答案为：
点评：
此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的边角关系，三角形的内角和定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．

11．（5分）（2013•石景山区一模）在等差数列{an}中，a1=﹣2013，其前n项和为Sn，若=2，则S2013的值等于　﹣2013　．

考点：
等差数列的性质．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
设等差数列前n项和为Sn=An2+Bn，则 =An+B．若=2，则可得{}是以1为公差的等差数列，
由等差数列的通项公式求得S2013的值．
解答：
解：设等差数列前n项和为Sn=An2+Bn，则 =An+B，∴{}成等差数列．
若=2，则 =a1=﹣2013，∴{}是以1为公差的等差数列．
∴=﹣2013+2012×1=﹣1，∴S2013的值等于﹣2013，
故答案为﹣2013．
点评：
本题主要考查了等差数列的性质，以及构造法的应用，同时考查了转化的思想，属于中档题．

12．（5分）（2013•石景山区一模）某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度是　　．

考点：
简单空间图形的三视图；点、线、面间的距离计算．
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，如图所示，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=2，底面ABCD是一个直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，AD=2，DC=3，BC=4．据此可计算出最长的一条侧棱长．
解答：
解：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，如图所示，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=2，底面ABCD是一个直角梯形，AD∥BC，
AD⊥DC，AD=2，DC=3，BC=4，BD=5．
∴则最长的一条侧棱PB，其长度是=．
故答案为：．

点评：
本题考查由三视图求面积、体积，考查空间想象能力，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．是基础题．

13．（5分）（2012•江苏）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是　　．

考点：
平面向量数量积的运算．
专题：
计算题．
分析：
根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．
解答：
解：∵，
====||=，
∴||=1，||=﹣1，
∴=（）（）==﹣=﹣2++2=，
故答案为：
点评：
本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，本题是一个中档题目．

14．（5分）（2013•石景山区一模）对于各数互不相等的整数数组（i1，i2，i3，…，in）（n是不小于3的正整数），若对任意的p，q∈{1，2，3，…，n}，当p＜q时有ip＞iq，则称ip，iq是该数组的一个“逆序”．一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组（2，3，1）的逆序数等于2．则数组（5，2，4，3，1）的逆序数等于　8　；若数组（i1，i2，i3，…，in）的逆序数为n，则数组（in，in﹣1，…，i1）的逆序数为　　．

考点：
进行简单的合情推理．
专题：
新定义．
分析：
由于数组中包含的数字比较少，数组（5，2，4，3，1）中的逆序可以列举出共有8个，对应于含有n个数字的数组中，首先做出任取两个数字时可以组成的数对，减去逆序的个数，得到结果．
解答：
解：由题意知数组（5，2，4，3，1）中的逆序有
5，2；5，4；5，3；5，1；2，1；4，3；4，1；3，1．
∴逆序数是8，
∵若数组（i1，i2，i3，…，in）中的逆序数为n，
∵这个数组中可以组成C=个数对，
∴数组（in，in﹣1，…，i1）中的逆序数为﹣n=，
故答案为：8；．
点评：
本题考查一个新定义问题，解题的关键是读懂题目条件中所给的条件，并且能够利用条件来解决问题，本题考查排列组合数的应用，考查列举法，是一个非常新颖的问题，是一个考查学生理解能力的题目．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13分）（2013•石景山区一模）已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，，求△ABC的面积．

考点：
两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理．
专题：
解三角形．
分析：
（Ⅰ）利用两角和差的正弦公化简函数的解析式为sin（2x+），令 2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由已知，可得 sin（2A+）=，求得A=，再利用正弦定理求得b的值，由三角形内角和公式求得C的值，再由 S=ab•sinC，运算求得结果．
解答：
解：（Ⅰ）=sin2xcos+cos2xsin+cos2x
=sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+）．
令 2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得 kπ﹣≤x≤kπ+，
函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．
（Ⅱ）由已知，可得 sin（2A+）=，
因为A为△ABC内角，由题意知0＜A＜π，所以 ＜2A+＜，
因此，2A+=，解得A=．
由正弦定理 ，得b=，…（10分）
由A=，由B=，可得 sinC=，…（12分）
∴S=ab•sinC==．
点评：
本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的单调性，正弦定理以及根据三角函数的值求角，属于中档题．

16．（13分）（2013•石景山区一模）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．
（Ⅰ）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率；
（Ⅱ）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；
（Ⅲ）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．

考点：
离散型随机变量及其分布列；茎叶图；离散型随机变量的期望与方差．
专题：
概率与统计．
分析：
（I）由茎叶图可知：有2+4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下，据此利用古典概型的概率计算公式即可得出；
（II）由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标．据此可得得出其概率；
（III）由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标，而其余4天都超标，利用“超几何分布”即可得出．
解答：
解：（Ⅰ）记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A，
因为有2+4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下，
故P（A）==．
（Ⅱ）记“这两天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件B，P（B）==．
（Ⅲ）ξ的可能值为0，1，2，3．
由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标，而其余4天都超标．
P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，
P（ξ=2）=，P（ξ=3）=．
ξ的分布列如下表：
ξ
0
1
2
3
P

∴Eξ=．
点评：
正确理解茎叶图和“空气质量超标”的含义、古典概型的概率计算公式、超几何分布、排列与组合的意义与计算公式是解题的关键．

17．（14分）（2013•石景山区一模）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥面ABCD．AD=1，，BC=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求直线AB与平面PDC所成角；
（3）设点E在棱PC、上，，若DE∥面PAB，求λ的值．

考点：
直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的性质；与二面角有关的立体几何综合题．
专题：
计算题；证明题．
分析：
（1）根据余弦定理求出DC的长，而BC2=DB2+DC2，根据勾股定理可得BD⊥DC，而PD⊥面ABCD，则BD⊥PD，PD∩CD=D，根据线面垂直判定定理可知BD⊥面PDC，而PC在面PDC内，根据线面垂直的性质可知BD⊥PC；
（2）在底面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP为x、y、z轴建立空间坐标系，根据（1）知BD⊥面PDC，则就是面PDC的法向量，设AB与面PDC所成角大小为θ，利用向量的夹角公式求出θ即可．
（3）先求出向量，，，，，设=（x，y，z）为面PAB的法向量，根据•=0，•=0，求出，再根据DE∥面PAB，则•=0求出λ即可．
解答：
解：（1）∵∠DAB=90°，AD=1，AB=，∴BD=2，∠ABD=30°，
∵BC∥AD∴∠DBC=60°，BC=4，由余弦定理得DC=2，（3分）
BC2=DB2+DC2，∴BD⊥DC，
∵PD⊥面ABCD，∴BD⊥PD，PD∩CD=D，∴BD⊥面PDC，
∵PC在面PDC内，∴BD⊥PC（5分）

（2）在底面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F，
分别以DA、DF、DP为x、y、z轴建立如图空间坐标系，（6分）
由（1）知BD⊥面PDC，∴就是面PDC的法向量，（7分）
A（1，0，0），B（1，，0），P（0，0，a）=（0，，0），=（1，，0），（8分）
设AB与面PDC所成角大小为θ，cosθ==，（9分）
∵θ∈（0，）∴θ=（10分）
（3）在（2）中的空间坐标系中A、（1，0，0），B、（1，，0），P（0，0，a）C、（﹣3，，0），（11分）
=（﹣3，，﹣a），=（﹣3λ，λ，﹣aλ），
=+=（0，0，a）+（﹣3λ，λ，﹣aλ）=（﹣3λ，λ，a﹣aλ）（12分）
=（0，，0），=（1，0，﹣a），
设=（x，y，z）为面PAB的法向量，
由•=0，
得y=0，由•=0，得x﹣az=0，取x=a，z=1，=（a，0，1），（14分）
由D、E∥面PAB得：⊥，∴•=0，﹣3aλ+a﹣aλ=0，∴λ=（15分）

点评：
本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及直线与平面所成角和与二面角有关的立体几何综合题，属于中档题．

18．（13分）（2013•石景山区一模）已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx，a∈R．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．

考点：
利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．
专题：
导数的综合应用．
分析：
①对函数进行求导，然后令导函数大于0求出x的范围，令导函数小于0求出x的范围，即可得到答案；
②由函数f（x）在x=1处取得极值求出a的值，再依据不等式恒成立时所取的条件，求出实数b的取值范围即可．
解答：
解：（Ⅰ）在区间（0，+∞）上，．…（1分）
①若a≤0，则f′（x）＜0，f（x）是区间（0，+∞）上的减函数； …（3分）
②若a＞0，令f′（x）=0得x=．
在区间（0，）上，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数；
在区间上，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数；
综上所述，①当a≤0时，f（x）的递减区间是（0，+∞），无递增区间；
②当a＞0时，f（x）的递增区间是，递减区间是．…（6分）
（II）因为函数f（x）在x=1处取得极值，所以f′（1）=0
解得a=1，经检验满足题意．…（7分）
由已知f（x）≥bx﹣2，则 …（8分）
令，则 …（10分）
易得g（x）在（0，e2]上递减，在[e2，+∞）上递增，…（12分）
所以g（x）min=，即． …（13分）
点评：
本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．

19．（14分）（2013•天津模拟）设椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且AB⊥AF2．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，若点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，求的取值范围．

考点：
圆与圆锥曲线的综合；直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质．
专题：
综合题．
分析：
（Ⅰ）由题意知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（0，b），由知F1为BF2的中点，由AB⊥AF2，知Rt△ABF2中，BF22=AB2+AF22，由此能求出椭圆的离心率．
（Ⅱ）由，知，，，Rt△ABF2的外接圆圆心为（﹣，0），半径r=a，所以，由此能求出椭圆方程．
（Ⅲ）由F2（1，0），l：y=k（x﹣1），设M（x1，y1），N（x2，y2），由，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此能求出m的取值范围．
解答：
解：（Ⅰ）由题意知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（0，b）
∵知F1为BF2的中点，
AB⊥AF2
∴Rt△ABF2中，BF22=AB2+AF22，
又a2=b2+c2
∴a=2c
故椭圆的离心率…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知得，
于是，，
Rt△ABF2的外接圆圆心为（﹣，0），半径r=a，
所以，解得a=2，
∴c=1，，
所求椭圆方程为…（6分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知F2（1，0），l：y=k（x﹣1），
设M（x1，y1），N（x2，y2），
由，代入得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0
则，
y1+y2=k（x1+x2﹣2）…（8分）

由于菱形对角线垂直，
则
故x1+x2﹣2m+k（y1+y2）=0
即x1+x2﹣2m+k2（x1+x2﹣2）=0，
…（10分）
由已知条件知k≠0，
∴
∴故m的取值范围是．…（12分）
点评：
本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．

20．（13分）（2013•石景山区一模）给定有限单调递增数列{xn}（n∈N*，n≥2）且xi≠0（1≤i≤n），定义集合A={（xi，xj）|1≤i，j≤n，且i，j∈N*}．若对任意点A1∈A，存在点A2∈A使得OA1⊥OA2（O为坐标原点），则称数列{xn}具有性质P．
（Ⅰ）判断数列{xn}：﹣2，2和数列{yn}：﹣2，﹣1，1，3是否具有性质P，简述理由．
（Ⅱ）若数列{xn}具有性质P，求证：
①数列{xn}中一定存在两项xi，xj使得xi+xj=0；
②若x1=﹣1，x2＞0且xn＞1，则x2=1．
（Ⅲ）若数列{xn}只有2013项且具有性质P，x1=﹣1，x3=2，求{xn}的所有项和S2013．

考点：
等差数列与等比数列的综合；数列的求和．
专题：
综合题；等差数列与等比数列．
分析：
（Ⅰ）利用数列{an}具有性质P的概念，对数列{xn}：﹣2，2与数列{yn}：﹣2，﹣1，1，3分析判断即可；
（Ⅱ）①取A1（xi，xi），数列{xn}具有性质P，故存在点A2（xi，xj）使得OA1⊥OA2，利用向量的坐标运算整理即可证得xi+xj=0；
②由（1）知，数列{xn}中一定存在两项xi，xj使得xi+xj=0；数列{xn}是单调递增数列且x2＞0，1为数列{xn}中的一项，通过反证法可证得x2=1；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，x2=1．若数列{xn}只有2013项且具有性质P，可得x4=4，x5=8，猜想数列{xn}从第二项起是公比为2的等比数列，利用等比数列的求和公式计算即可．
解答：
解：（Ⅰ）数列{xn}具有性质P，数列数列{yn}不具有性质P．
对于数列{xn}，若A1（﹣2，2），则A2（2，2）；若A1（﹣2，﹣2）则A2（2，﹣2）；均满足OA1⊥OA2，所以具有性质P．
对于数列{yn}，当A1（﹣2，3）若存在A2（x，y）满足OA1⊥OA2，即﹣2x+3y=0，即=，数列{yn}中不存在这样的数x，y，因此不具有性质P．…（3分）
（Ⅱ）（1）取A1（xi，xi），又数列{xn}具有性质P，所以存在点A2（xi，xj）使得OA1⊥OA2，即xixi+xixj=0，又xi≠0，所以xi+xj=0．…（5分）
（2）由（1）知，数列{xn}中一定存在两项xi，xj使得xi+xj=0；又数列{xn}是单调递增数列且x2＞0，所以1为数列{xn}中的一项．
假设x2≠1，则存在k（2＜k＜n，k∈N*）有xk=1，所以0＜x2＜1．
此时取A1（x2，xn），数列{xn}具有性质P，所以存在点A2（xi，xs）使得OA1⊥OA2，所以x2xi+xnxs=0；只有x1，所以当x1=﹣1时x2=xnxs＞xs≥x2，矛盾；
当xs=﹣1时x2=≥1，矛盾．所以x2=1．…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，x2=1．若数列{xn}只有2013项且具有性质P，可得x4=4，x5=8，
猜想数列{xn}从第二项起是公比为2的等比数列．（用数学归纳法证明）．
所以S2013=﹣1+1+2+4+…+22011==22012﹣2 …（13分）
点评：
本题考查等差数列与等比数列的综合，考查新概念的理解与应用，突出考查抽象思维与反证法的综合应用，属于难题．

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