广东省肇庆市2012-2013学年高二数学下学期教学质量评估试题-理-新人教A版.doc

试卷类型：A
肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第二学期统一检测试题
高二数学(理科)
本试卷共4页，20小题，满分150分。考试用时120分钟
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班别、座位号、考号 填写在答题卷上密封线内相对应的位置上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷或草稿纸上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再在答题区内写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知点P的极坐标为，则点P的直角坐标为
A.（1，） B.（1，-） C.（，1） D.（，-1）
2. 一物体作直线运动，其运动方程为，则t=1时其速度为
A. 4 B. -1 C. 1 D. 0
3. 若是纯虚数，则实数x=
A. -1 B. 1 C. -1或1 D. 0
4. 曲线（t为参数）与x轴交点的直角坐标是
A.（1，4） B.（1，-3） C.（，0） D.（，0）
5. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60°”时，应该先
A. 假设三内角都不大于60° B. 假设三内角都大于60°
C. 假设三内角至多有一个大于60° D. 假设三内角至多有两个大于60°
6. 若随机变量X~N（1，），且，则
A. 0.7989 B. 0.2011 C. 0.2021 D. 以上答案均不对
7. 复数与在复平面上所对应的向量分别是，，O为原点，则这两个向量的夹角∠AOB=
A. B. C. D.
8. 已知数列{}的通项公式，记，通过计算，，，的值，猜想的值为
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
9. 计算 ▲ .
10. i是虚数单位，则 ▲ .
11. 若直线l经过点M（1，5），且倾斜角为，则直线l的参数方程为 ▲ .
12. 已知，
则 ▲ .
13. 圆心在，半径为1的圆的极坐标方程是 ▲ .
14. 观察下列等式：
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律，第五个等式应为 ▲ .
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分12分）
某地有两所中学，为了检验两校初中毕业生的语文水平，从甲、乙两校九年级学生中各随机抽取20%的学生（即占各自九年级学生总数的20%）进行语文测验. 甲校32人，有21人及格；乙校24人，有15人及格.
（1）试根据以上数据完成下列2´2列联表；

及格
不及格
合计
甲

乙

合计

（2）判断两所中学初中毕业生的语文水平有无显著差别？
附：

0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05

0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
.

16．（本小题满分12分）
某产品的广告费用支出x与销售额y之间有如下的对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
（1）求回归直线方程；
（2）据此估计广告费用为10时销售收入y的值.
附：线性回归方程中系数计算公式，，其中，表示样本均值.

17．（本小题满分14分）
六一儿童节期间，某商场对儿童节礼品采取促销措施. 某儿童节礼品的进货价是10元/件，据市场调查，当销售量为x（万件）时，销售价格（元/件）. 若，问销售量x为何值时，商场获得的利润最大？并求出利润的最大值.

18．（本小题满分14分）
某学校高一年级组建了A、B、C、D四个不同的“研究性学习”小组，要求高一年级学生必须参加，且只能参加一个小组的活动. 假定某班的甲、乙、丙三名同学对这四个小组的选择是等可能的.
（1）求甲、乙、丙三名同学选择四个小组的所有选法种数；
（2）求甲、乙、丙三名同学中至少有二人参加同一组活动的概率；
（3）设随机变量X为甲、乙、丙三名同学参加A小组活动的人数，求X的分布列与数学期望EX.

19．（本小题满分14分）
设数列的前n项和为，且（）.
（1）求，，，的值；
（2）猜想的表达式，并加以证明.

20．（本小题满分14分）
已知， ，，其中e是无理数且e=2.71828…，.
（1）若a=1，求的单调区间与极值；
（2）求证：在（1）的条件下，；
（3）是否存在实数a，使的最小值是-1？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

2012—2013学年第二学期统一检测题
高二数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
B
C
B
A
D
C

二、填空题
9. 0 10. 3-i 11. （t为参数）（其它正确答案同样给分）
12. -2 13. （其它正确答案同样给分） 14. 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81

三、解答题

15．（本小题满分12分）
解：（1）

及格
不及格
合计
甲
21
11
32
乙
15
9
24
合计
36
20
56
（6分）
（2）. （10分）
因为，所以两所中学初中毕业生的语文水平无显著差别. （12分）

16．（本小题满分12分）
解：（1）， （1分）
， （2分）
， （3分）
， （4分）
， （6分）
， （8分）
所以回归直线方程为. （9分）
（2）x=10时，预报y的值为y=6.5´10+17.5=82.5. （12分）

17．（本小题满分14分）
解：设商场的利润为y万元，由题意得
（） （5分）
（7分）
令，得，（舍去）. （8分）
，y随x变化的情况如下表：
x
（0，）

（，+¥）

+
0
-
y
递增
极大值
递减
（11分）
因为，当x=3时，y=9；当x=4时，y=9； （12分）
所以当x=3或x=4时，. （13分）
答：销售量x为3万件或4万件时，商场获得的利润最大，最大值为9万元. （14分）

18．（本小题满分14分）
解：（1）甲、乙、丙三名同学每人选择四个小组的方法是4种，故有种. （4分）
（2）甲、乙、丙三名同学选择三个小组的概率为，
所以三名同学至少有二人选择同一小组的概率为. （8分）
（3）由题意X的可能取值为：0，1，2，3
，，
，， （12分）
所以X的分布列如下：
X
0
1
2
3
P

故数学期望. （14分）

19．（本小题满分14分）
解：（1）因为，， （1分）
所以，当时，有，解得； （2分）
当时，有，解得； （3分）
当时，有，解得； （4分）
当时，有，解得. （5分）
（2）猜想（） （9分）
方法一：
由（），得（）， （10分）
两式相减，得，即（）. （11分）
两边减2，得， （12分）
所以{}是以-1为首项，为公比的等比数列，
故， （13分）
即（）. （14分）
方法二：
①当n=1时，由（1）可知猜想显然成立； （10分）
②假设当n=k时，猜想成立，即， （11分）
由（），得，
两式相减，得， （12分）
所以，
即当n=k+1时，猜想也成立. （13分）
根据①和②，知对任意，猜想成立. （14分）

20．（本小题满分14分）
解：（1）当a=1时，，， （1分）
令，得x=1.
当时，，此时单调递减； （2分）
当时，，此时单调递增. （3分）
所以的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，e），的极小值为.
（4分）
（2）由（1）知在上的最小值为1. （5分）
令，，所以. （6分）
当时，，在上单调递增， （7分）
所以.
故在（1）的条件下，. （8分）
（3）假设存在实数a，使（）有最小值-1.
因为， （9分）
①当时，，在上单调递增，此时无最小值； （10分）
②当时，当时，，故在（0，a）单调递减；当时，，故在（a，e）单调递增； （11分）
所以，得，满足条件； （12分）
③当时，因为，所以，故在上单调递减.
，得（舍去）； （13分）
综上，存在实数，使得在上的最小值为-1. （14分）

9