关于无穷积分与数项级数的一些思考.pdf

第2 6 卷第3期2023年5月doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2023.03.005高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.26,No.3May,2023关于无穷积分与数项级数的一些思考陆小庆（江苏第二师范学院数学科学学院，江苏南京2 112 0 0）摘要以几何意义为指引，无穷积分与数项级数之间的关联可通过“积分和”及构建辅助级数建立起来.结合不同例题，加深对无穷积分与相关数项级数同敛散的认识。关键词无穷积分；数项级数；敛散性；几何意义中图分类号0 17 2.2;0 17 3.1文献标识码A文章编号10 0 8-1399(2 0 2 3)0 3-0 0 10-0 4Improper Integrals and Infinite SeriesLU Xiaoqing(School of Mathematical Sciences,Jiangsu Second Normal University,Nanjing 211200,China)Abstract With the geometric meaning,the improper integrals and infinite series can be connected by“in-tegral sum and the auxiliary series.With examples,the concurrent convergence of the improper integralsand the related series can be better understood.Keywords improper integral,infinite series,convergence and divergence,geometric meaning数项级数是无穷个数相加为了克服无穷带来的计1引言算终止性问题，无穷积分和数项级数在定义收敛时采无穷积分与数项级数是微积分的两个重要概用了类似的处理方法1.2：对于无穷积分，先令自变念，二者之间既有联系，又有区别本文采用类比的量（也是积分变量）在有限区间a,uCa，十o方法，对无穷积分与数项级数的收敛性定义，收敛的上变化,并假设f（）在任意a，u 上均可积，计算性质以及两者之间的联系进行辨析，加深对其的理定积分 F(u）=f（)d，再令u十，以极限解与认识.2剑敛散性的概念2.1收敛的定义无穷积分与数项级数都涉及无穷，无穷积分中积分变量的变化范围,即积分区间为无穷区间a，十o），收稿日期：2 0 2 2-0 9-15基金项目：国家自然科学基金（12 0 0 12 43）；江苏省“青蓝工程”资助项目；江苏第二师范学院教学改革研究课题（JSSNU-JXGG2021YB12).作者简介：陆小庆（198 4一），女，江苏南京，博士，副教授，单复变函数,Email:.lim F(u)=limu+u+8是否收敛的定义标准；对于数项级数，先计算有限项和，即部分和S,=ui十uz十十un，再令n十oo，以极限limS，是否存在作为级数是否收敛的定义标准.2.2柯西准则修改日期：2 0 2 2-12-0 7既然无穷积分与数项级数都是在有限的基础之上通过取极限来考虑无穷变化时的“和数”（积分可以看成是一种特殊的“和”），那么就可以从极限存在的柯西准则出发，获得刻画无穷积分或数项级数收f（)dc是否存在作为无穷积分第2 6 卷第3期敛的柯西准则：无穷积分收敛的柯西准则无穷积分()dc收敛的充要条件是：任给。0,存在Ga，只要ul，u2 G,便有f()da0，存在正整数N，只要n2 nN,便有|un+1+un+2+.+un f(n)也收敛,因为此“积分和”对于无穷区间1，十）的分割细度IT I=1,达不到对于细度的要求;反之11在某些点处的函数值可以任取,因此随着的不断变化，函数值f（）无需具有统一的变化特征；但对于数项级数而言,要想矩形的面积和un+1十un+2+un足够小，在每个小矩形的底边长固定为1的情况下，只能要求矩形的高足够小，特别地，只截取一个项数充分大的矩形，记其面积为unz，则unz要足够则u.即为，f(a)dz的一个积分和n=1n=1112“积分和”（n）收敛，并不能保证其它的“积分n=1和”也收敛，所以无穷积分高等数学研究I U,+u,+1+.+Un2Cn+1n+2f()d+f()dx+f()dx 也无法保证n12023年5月()dni+1收敛如下的两个例题反映了无穷积分与数项级数的收敛没有关联.例1考虑无穷积分sin元da 与数项级数sinn元的敛散性.n=1解利用无穷积分收敛的定义易知发散，而sinn元中的每一项均为0，所以n=1n=1收敛.sin(2+1/2)dx 与例2考虑无穷积分sin(2n+1/2)的敛散性.数项级数n=1解利用Dirichlet判别法易知sin(2+1/2)dazJ1收敛，而sin(2n 1/2)元=元1nnn=1n=1发散.何种条件下，1f()d与f(n）才具有相同n=1的敛散性呢?考虑到当f（）是1，十）上的非负连续函数时，(n）中的每一项可以看成是将无穷区间分割后，对小块曲边梯形用小矩形近似，每一块近似小矩形的面积,所以引人辅助级数()da，rn2+11所以2.=2+1wf()dx收敛.n=1假设,=（a)da收敛，由柯西准则可知,任给 0,存在正数N,任取nn1N,均sin元da成立|m+m2lN+1,任给X,XiX,存在正整数sinn元nnN,满足nXiX0,存在正数X，任取X,Xi X,均成立取NX,任给nniN,均有7f()dc发散,见下例.例3考虑无穷积分cos元da与数项级数Cn+1cos元cda的敛散性.+1n解利用无穷积分收敛的定义易知n=1发散，而cos元c在n,n十1上正好对应轴上、下方两块形状相同的曲边梯形，于是cos元dx=O,Vn Ef()dxf(n）的敛散性。这两个级数的通项，若考虑几1何意义，前者是分割小区间上的小块曲边梯形的面积，后者是以分割小区间左端点处函数值为高的近似小矩形的面积.因为改变一点处的函数值不影响函数在某个区间上的定积分，所以可以通过重新定义(n)，使得了()dz和(n）具有不同的敛n+1散性，见例4。由此可见，这两个级数的敛散性没有任何联系.例4定义1，十8）上的两个函数，其中1，=1,2,f()=g()=/22=1,.,l0，其它，(1，其它，8惠Z（n）和之(f(a)da,以及Zg(n)n+1分别考虑=1和Cn+1g()d 的敛散性.77Ff(a)dz=Jn+1因为解n=12，所以2n+12f(n)=f()dx 收敛,=1nn=12f(n)发散.n=180因为n=12，所以22g(n)Cm+1g()da 发散,-1nn=12g(n)收敛.=1为了避免取正整数时函数定义方式的突然改变,要对f()的取值加以限制.如果f()在1，十8 o)上保持单调，则有如下结论：结论2 若f(）是定义在1，十）上的单调函数，了（a)da收敛当且仅当f(n）收敛.n+1证不妨假设f()在1,十)上单调递减假n+1设了f(a)dz收敛,则limf()da=0.由单调性可知f(n+1)f()f(n),En,n+1,VnEN+,故f(n+1)f()daf(n)/7十1由夹逼法可知limf(n）=0.又因为f()在1，十)陆小庆：关于无穷积分与数项级数的一些思考C+1致Z(a)da和上单调递减,所以f()0，El，十8),由比80较审敛法可知f(n）收敛.n=1假设f(n）收敛，则limf(n）=0，同上可知f(）在1,十）上非负.因为f()在1，十8）上单调递减,所以()daf(n)，由比较审敛法1Cn+1可知f()d收敛.n=1综合结论1、2 可得到如下结论，该结论即为正项级数敛散性判别法中的积分判别法：结论3 2若f()是定义在1，十）上的非负1单调函数，f(c)dc收敛当且仅当f(n）收敛.注对于定义在1，十）上的一般函数f（），只考虑用正整数点分割无穷区间得到的“积分和 f(a)d或f(n）的敛散性，无法确+1n=1n=1Cn+1odx=0,n=1n=1g(a)d:=2Cn+1n=n=1Cn+113n=1-1定，f()dc的敛散性此时,需要考虑用任意方式分割得来的“积分和”,有如下的结论。结论43,47，f()d收敛的充要条件是对任意趋于十o的递增数列（A，）（其中A1=1)，数项级数Af()dc收敛于同一个数,且f()da=Cn+11da=Z1,n=14小结本文从几何意义入手，通过对比分析，说明无穷积分与数项级数的收敛问题可以看成是积分存在与积分和存在之间的关系讨论，既实践了这两个概念的类比学习，又实践了无穷积分与定积分的类比学习，加深对积分认识和理解的同时，也促进了级数概念的掌握.参考文献1华东师范大学数学系数学分析（上册)M.4版.北京：高等教育出版社，2 0 10.2华东师范大学数学系.数学分析（下册）M.4版.北京：高等教育出版社，2 0 10.3刘玉琏，傅沛仁，林等.数学分析讲义（下册)MI.5f()da,版.北京：高等教育出版社，2 0 0 8.4李娟.反常积分与无穷级数收敛性关系探析安康学院学报，2 0 13，2 5（6)：2 6-2 7,35.f()dx.1=A1