高三数学选修模块练习.doc

三数学选修模块练习

一．选择题（共25小题）
1．数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案有（　　）种．
A．A B．CCC34
C．43 D．CCC43
2．如果三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字，则这样的三位数一共有（　　）
A．240个 B．285个 C．231个 D．243个
3．已知3A=，则x等于（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．对正方体的八个顶点作两两连线，其中成异面直线的有（　　）

A．3（CC+CC）对 B．3（C﹣12）对
C．3（C﹣6）对 D．3C对
5．（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n的所有二项式的各项系数和是（　　）
A．2n+1 B．2n+1+1 C．2n+1﹣1 D．2n+1﹣2
6．在二项式（3+2x）8的展开式中，最大的二项式系数是（　　）
A．C B． C． D．
7．（1+2x2）（x﹣）8的展开式中常数项为（　　）
A．42 B．﹣42 C．24 D．﹣24
8．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是（　　）
A．0.26 B．0.08 C．0.18 D．0.72
9．某地人群中高血压的患病率为p，由该地区随机抽查n人，则（　　）
A．样本患病率X/n服从B（n，p）
B．n人中患高血压的人数X服从B（n，p）
C．患病人数与样本患病率均不服从B（n，p）
D．患病人数与样本患病率均服从B（n，p）
10．设离散型随机变量X的分布列为P（X=i）=，i=1，2，…，N，则a=（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4

11．已知离散型随机变量X的分布列如下：
X
0
1
2
P
a
4a
5a
则均值E（X）与方差D（X）分别为（　　）
A．1.4，0.2 B．0.44，1.4 C．1.4，0.44 D．0.44，0.2
12．若随机变量X服从两点分布，其中P（X=0）=，则E（3X+2）和D（3X+2）的值分别是（　　）
A．4和4 B．4和2 C．2和4 D．2和2
13．设，则P（X≤4）等于 （　　）
A． B． C． D．1
14．下列关于复数的命题，正确的个数是（　　）
①复数a+bi与c+di的积是实数的充要条件是ad+bc=0
②命题“已知m为实数，若复数z=m+1+（m﹣1）i为虚数，则m≠1”的逆命题
③对于任意的z1，z2，z3∈C，有（z1•z2）•z3=z1•（z2•z3）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
15．一个实数与一个虚数的差（　　）
A．不可能是纯虚数 B．可能是实数
C．不可能是实数 D．无法确定是实数还是虚数
16．已知复数z=x+yi（x，y∈R），且有=1+yi，是z的共轭复数，那么的虚部为（　　）
A．﹣i B． C．﹣ D．i
17．方程（1+i）x2+（1+5i）x﹣（2﹣6i）=0有实根，则这个实根的值是（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
18．的模是（　　）
A．1 B． C． D．
19．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（　　）
A．2 B． C． D．﹣2
20．过点（﹣1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为（　　）
A．2x+y+2=0 B．3x﹣y+3=0 C．x+y+1=0 D．x﹣y+1=0
21．，则f′（x0）等于（　　）
A．2 B．1 C． D．0
22．已知f（x）=x2+2xf'（2016）﹣2016lnx，则f′（2016）=（　　）
A．2015 B．﹣2015 C．2016 D．﹣2016
23．已知f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围为（　　）
A．（，+∞） B．（﹣∞，﹣）
C．（﹣，﹣2） D．（2，）
24．已知函数f（x）=x•sinx，则f（）、f（﹣1）、f（﹣）的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．
25．关于函数f（x）=+lnx，下列说法错误的是（　　）
A．x=2是f（x）的极小值点
B．函数y=f（x）﹣x有且只有1个零点
C．存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立
D．对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）=f（x2），则x1+x2＞4

二．填空题（共12小题）
26．将4个相同的白球和5个相同的黑球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中球数不能少于2个，那么所有不同的放法的种数为　　．

27．（1+2x）7的展开式的第5项的系数　　．
28．在二项式的展开式的所有项中，其中有　　项是有理项．
29．设两个随机变量X，Y相互独立，且D（X）=2，D（Y）=4，则D（2X﹣Y+5）=　　．

30．某人进行射击，每次中靶的概率均为0.6，现规定：若中靶就停止射击；若没中靶，则继续射击．如果只有4发子弹，则射击停止后剩余子弹数ξ的数学期望为　　．
31．设随机变量X服从二项分布B（n，p），且E（X）=1.6，D（X）=1.28，则n=　　，p=　　．
32．事件A，B，C相互独立，若P（A•B）=，P（•C）=，P（A•B•）=，则P（B）=　　．
33．在用数学归纳法求证：1+2+3+…+2n=（n∈N*）的过程中，则当n=k+1时，左端应在n=k时的左端上加上　　．
34．用数学归纳法证明|n2﹣5n+5|≠1，需证明的第一个n值是　　．
35．设f（n）=（1+）（1+）…（1+）用数学归纳法证明f（n）≥3，在假设n=k时成立后，f（k+1）与f（k）的关系是f（k+1）=f（k）•　　．
36．若复数z满足，则z=　　．
37．若虚数z满足，则|z﹣2i|的取值范围是　　．
三．解答题（共3小题）
38．甲乙两人分别进行3次和n次射击，甲乙每次击中目标的概率分别为和p，记甲乙击中目标的次数分别为X和Y，且E（Y）=2，D（Y）=
（1）求X的概率分布及数学期望E（X）
（2）求乙至多击中目标2次的概率．

39．数列{an}中，满足a1=1，且an+1=（1+）an+（n≥1，且n∈N*），用数学归纳法证明：an≥2（n≥2，且n∈N+）

40．已知函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对函数f（x）定义域内的任一个实数x，都有xf（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．
（Ⅲ） 求证：对一切x∈（0，+∞），都有3﹣（x+1）•f（x）＞﹣成立．

高三数学选修模块练习
参考答案与试题解析

一．选择题（共25小题）
1．（2016•赤峰模拟）数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案有（　　）种．
A．A B．CCC34
C．43 D．CCC43
【解答】解：将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题有C123C93C63C33，最后选一名组长各有3种，
故不同的分配方案为：C123C93C6334，
故选：B．

2．（2010•福田区校级模拟）如果三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字，则这样的三位数一共有（　　）
A．240个 B．285个 C．231个 D．243个
【解答】解：当十位数字是9时，百位数字有8种取法，个位数字有9种取法，此时取法种数为8×9；
当十位数字是8时，百位数字有7种取法，个位数字有8种取法，此时取法种数为7×8，
依此类推，直到当十位数字是2时，百位数字有1种取法，个位数字有2种取法，此时取法种数为1×2，
∴总的个数为1×2+2×3+3×4+…+8×9=240．
故选A．

3．已知3A=，则x等于（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：∵3A=，
∴3•x（x﹣1）（x﹣2）=2•x（x+1）+6•x（x﹣1），
化简得3x2﹣17x+10=0，
解得x=5或x=（不合题意，舍去），
∴x=5．
故选：A．

4．对正方体的八个顶点作两两连线，其中成异面直线的有（　　）
A．3（CC+CC）对
B．3（C﹣12）对
C．3（C﹣6）对
D．3C对
【解答】解：C为八个顶点中任取四个的情况数，12为四点共面的数目
（C﹣12）为八个点中可以组成四面体的个数，四面体中三组对棱相互异面
所以对正方体的八个顶点作两两连线，其中成异面直线的有3（C﹣12）．
故选：B．

5．（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n的所有二项式的各项系数和是（　　）
A．2n+1 B．2n+1+1 C．2n+1﹣1 D．2n+1﹣2
【解答】解：（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n的所有二项式的各项系数和是
2+22+23+…+2n==2n+1﹣2．
故选：D．

6．在二项式（3+2x）8的展开式中，最大的二项式系数是（　　）
A．C B． C． D．
【解答】解：二项式（3+2x）8的展开式的展开式共有9项，故展开式中二项式系数最大项是第5项，
∴最大的二项式系数是C84，
故选：B．

7．（1+2x2）（x﹣）8的展开式中常数项为（　　）
A．42 B．﹣42 C．24 D．﹣24
【解答】解：（x﹣）8的通项．
由8﹣2r=0，得r=4，即（x﹣）8的常数项为；
由8﹣2r=﹣2，得r=5，即（x﹣）8的含x﹣2的项为．
∴（1+2x2）（x﹣）8的展开式中常数项为．
故选：B．

8．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是（　　）
A．0.26 B．0.08 C．0.18 D．0.72
【解答】解：甲种子发芽而乙种子不发芽的概率为0.8×0.1=0.08，
乙种子发芽而甲种子不发芽的概率为0.9×0.2=0.18，
故恰有一粒种子能发芽的概率是0.08+0.18=0.26，
故选：A．

9．某地人群中高血压的患病率为p，由该地区随机抽查n人，则（　　）
A．样本患病率X/n服从B（n，p）
B．n人中患高血压的人数X服从B（n，p）
C．患病人数与样本患病率均不服从B（n，p）
D．患病人数与样本患病率均服从B（n，p）
【解答】解：∵某地人群中高血压的患病率为p，由该地区随机抽查n人，
∴由二项分布定义得：
样本患病率X/n不服从B（n，p），
n人中患高血压的人数X服从B（n，p），
从而得到A、C、D错误，B正确．
故选：B．

10．设离散型随机变量X的分布列为P（X=i）=，i=1，2，…，N，则a=（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵离散型随机变量X的分布列为P（X=i）=，i=1，2，…，N，
∴=1，解得a=1．
故选：A．

11．已知离散型随机变量X的分布列如下：
X
0
1
2
P
a
4a
5a
则均值E（X）与方差D（X）分别为（　　）
A．1.4，0.2 B．0.44，1.4 C．1.4，0.44 D．0.44，0.2
【解答】解：由离散型随机变量X的分布列的性质得：
a+4a+5a=1，
解得a=0.1，
∴E（X）=0×0.1+1×0.4+2×0.5=1.4，
D（X）=（0﹣1.4）2×0.1+（1﹣1.4）2×0.4+（2﹣1.4）2×0.5=0.44．
故选：C．

12．（2014春•东莞期末）若随机变量X服从两点分布，其中P（X=0）=，则E（3X+2）和D（3X+2）的值分别是（　　）
A．4和4 B．4和2 C．2和4 D．2和2
【解答】解：∵X服从两点分布，P（X=0）=，
∴E（X）=0×+1×=，
D（X）=（）2×+（）2×=，
∴E（3X+2）=4，D（3X+2）=2
故选：B．

13．（2014春•蚌埠期末）设，则P（X≤4）等于 （　　）
A． B． C． D．1
【解答】解：∵，
∴P（X≤4）=1﹣P（X=5）=1﹣=．
故选：B．

14．下列关于复数的命题，正确的个数是（　　）
①复数a+bi与c+di的积是实数的充要条件是ad+bc=0
②命题“已知m为实数，若复数z=m+1+（m﹣1）i为虚数，则m≠1”的逆命题
③对于任意的z1，z2，z3∈C，有（z1•z2）•z3=z1•（z2•z3）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：①∵（a+bi）（c+di）=ac﹣bd+（ad+bc）i，
复数a+bi与复数c+di的积是实数，
∴所得的复数的积的虚部是零，
∴ad+bc=0，故①正确；
②命题“已知m为实数，若复数z=m+1+（m﹣1）i为虚数，则m≠1”的逆命题是：
“已知m为实数，若m≠1，则复数z=m+1+（m﹣1）i为虚数”，正确；
③设z1=a+bi，z2=c+di，z3=e+fi，
有（z1•z2）•z3=[（ac﹣bd）+（ad+bc）i]（e+fi）=（ace﹣bde﹣adf﹣bcf）+（acf﹣bdf+ade+bce）i；
z1•（z2•z3）=（a+bi）[（ce﹣df）+（cf+de）i]=（ace﹣adf﹣bcf﹣bde）+（acf+ade+bce﹣bdf）i．
∴（z1•z2）•z3=z1•（z2•z3），故③正确．
故选：D．

15．一个实数与一个虚数的差（　　）
A．不可能是纯虚数 B．可能是实数
C．不可能是实数 D．无法确定是实数还是虚数
【解答】解：设实数为a，虚数为b+ci，（c≠0），
则实数与虚数的差为a﹣b﹣ci，（c≠0），
当a﹣b=0时，复数为纯虚数，
当a﹣b≠0时，复数为虚数，
故不可能是实数，
故选：C．

16．已知复数z=x+yi（x，y∈R），且有=1+yi，是z的共轭复数，那么的虚部为（　　）
A．﹣i B． C．﹣ D．i
【解答】解：由==1+yi，得
，即x=﹣2，y=1．
∴，则=．
∴的虚部为．
故选：B．

17．（2010秋•天心区校级月考）方程（1+i）x2+（1+5i）x﹣（2﹣6i）=0有实根，则这个实根的值是（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【解答】解：设x为方程（1+i）x2+（1+5i）x﹣（2﹣6i）=0的实根，
由（1+i）x2+（1+5i）x﹣（2﹣6i）=0，
得：（x2+x﹣2）+（x2+5x+6）i=0，
即，解得：x=﹣2．
故选：C．

18．（2010秋•徐水县校级月考）的模是（　　）
A．1 B． C． D．
【解答】解：===﹣+i，
||=|﹣+i|==1，
故选 A．

19．（2016•榆林二模）设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（　　）
A．2 B． C． D．﹣2
【解答】解：∵y=∴y′=﹣
∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣
∵切线与直线ax+y+1=0垂直
∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．
∴﹣•（﹣a）=﹣1得a=﹣2
故选D．

20．（2016•贵阳二模）过点（﹣1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为（　　）
A．2x+y+2=0 B．3x﹣y+3=0 C．x+y+1=0 D．x﹣y+1=0
【解答】解：y'=2x+1，设切点坐标为（x0，y0），
则切线的斜率为2x0+1，
且y0=x02+x0+1
于是切线方程为y﹣x02﹣x0﹣1=（2x0+1）（x﹣x0），
因为点（﹣1，0）在切线上，
可解得x0=0或﹣2，当x0=0时，y0=1；x0=﹣2时，y0=3，这时可以得到两条直线方程，验正D正确．
故选D

21．（2013春•临沂期末），则f′（x0）等于（　　）
A．2 B．1 C． D．0
【解答】解：∵，
∴=f′（x0）=
故选C．

22．（2017春•葫芦岛期末）已知f（x）=x2+2xf'（2016）﹣2016lnx，则f′（2016）=（　　）
A．2015 B．﹣2015 C．2016 D．﹣2016
【解答】解：f（x）=x2+2xf'（2016）﹣2016lnx，
则f′（x）=x+2f'（2016）﹣，
则f′（2016）=2016+2f'（2016）﹣，
则f′（2016）=﹣2015，
故选：B

23．（2016•陕西校级模拟）已知f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围为（　　）
A．（，+∞） B．（﹣∞，﹣） C．（﹣，﹣2） D．（2，）
【解答】解：f（x）=|xex|=，
易知f（x）在[0，+∞）上是增函数，
当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=﹣xex，
f′（x）=﹣ex（x+1），
故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，0）上是减函数；
作其图象如下，

且f（﹣1）=；
故若方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，
则方程x2+tx+1=0（t∈R）有两个不同的实根，且x1∈（0，），x2∈（，+∞），
故，
解得，t∈（﹣∞，﹣），
故选：B．

24．（2016•海淀区模拟）已知函数f（x）=x•sinx，则f（）、f（﹣1）、f（﹣）的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由于f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x）
则f（x）为偶函数，；
又由f′（x）=sinx+xcosx在（，0）内有f′（x）＜0，
所以f（x）在（，0）内递减，
因为，
所以，
故，
故答案为：A

25．（2016•新余校级一模）关于函数f（x）=+lnx，下列说法错误的是（　　）
A．x=2是f（x）的极小值点
B．函数y=f（x）﹣x有且只有1个零点
C．存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立
D．对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）=f（x2），则x1+x2＞4
【解答】解：f′（x）=，∴（0，2）上，函数单调递减，（2，+∞）上函数单调递增，
∴x=2是f（x）的极小值点，即A正确；
y=f（x）﹣x=+lnx﹣x，∴y′=＜0，函数在（0，+∞）上单调递减，x→0，y→+∞，∴函数y=f（x）﹣x有且只有1个零点，即B正确；
f（x）＞kx，可得k＜，令g（x）=，则g′（x）=，
令h（x）=﹣4+x﹣xlnx，则h′（x）=﹣lnx，∴（0，1）上，函数单调递增，（1，+∞）上函数单调递减，
∴h（x）≤h（1）＜0，∴g′（x）＜0，
∴g（x）=在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值，
∴不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正确；
对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，（0，2）上，函数单调递减，（2，+∞）上函数单调递增，若f（x1）=f（x2），则x1+x2＞4，正确．
故选：C．

二．填空题（共12小题）
26．（2010•丹东一模）将4个相同的白球和5个相同的黑球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中球数不能少于2个，那么所有不同的放法的种数为　18　．
【解答】解：根据题意，分2步，
①每个盒子分别先放入一个白球和黑球，有1种放法，
②剩余1个白球有3种放法，剩余2个黑球有6种放法，
根据乘法计数原理可得，3×6=18，共18种，
故答案为18．

27．（1+2x）7的展开式的第5项的系数　560　．
【解答】解：（1+2x）7的展开式的第5项=（2x）4=24x4，
其系数为：=560．
故答案为：560．

28．（2011•广东模拟）在二项式的展开式的所有项中，其中有　4　项是有理项．
【解答】解：由题设知：，
而，
只有当r除以3余数为1时其对应项才为有理项，
故r=1，4，7，10共4项．
故答案为：4．

29．设两个随机变量X，Y相互独立，且D（X）=2，D（Y）=4，则D（2X﹣Y+5）=　12　．
【解答】解：∵两个随机变量X，Y相互独立，
且D（X）=2，D（Y）=4，
∴D（2X﹣Y+5）=4D（X）+D（Y）+D（5）=8+4+0=12．
故答案为：12．

30．（2016春•准格尔旗校级月考）某人进行射击，每次中靶的概率均为0.6，现规定：若中靶就停止射击；若没中靶，则继续射击．如果只有4发子弹，则射击停止后剩余子弹数ξ的数学期望为　2.376　．
【解答】解：由题意知ξ=0，1，2，3，
∵当ξ=0时，表示前三次都没射中，第四次还要射击，但结果可射中也可不射中，
∴P（ξ=0）=0.43，
∵当ξ=1时，表示前两次都没射中，第三次射中，
∴P（ξ=1）=0.6×0.42，
∵当ξ=2时，表示第一次没射中，第二次射中，
∴P（ξ=2）=0.6×0.4，
∵当ξ=3时，表示第一次射中，
∴P（ξ=3）=0.6，
∴Eξ=0×0.43+1×0.6×0.42+2×0.6×0.4+3×0.6=2.376．
故答案为：2.376．

31．（2016春•东莞市校级期中）设随机变量X服从二项分布B（n，p），且E（X）=1.6，D（X）=1.28，则n=　8　，p=　0.2　．
【解答】解：∵随机变量X服从二项分布B（n，p），且E（X）=1.6，D（X）=1.28，
∴EX=1.6=np，①
Dξ=1.28=np（1﹣p），②
①与②相除可得1﹣p==0.8，
∴p=0.2，n==8．
故答案为：8；0.2

32．（2016春•邯郸校级月考）事件A，B，C相互独立，若P（A•B）=，P（•C）=，P（A•B•）=，则P（B）=　　．
【解答】解：∵事件A，B，C相互独立，P（A•B）=，P（•C）=，P（A•B•）=，
∴，解得P（C）=，P（B）=，P（A）=．
∴P（B）=．
故答案为：．

33．在用数学归纳法求证：1+2+3+…+2n=（n∈N*）的过程中，则当n=k+1时，左端应在n=k时的左端上加上　4k+3　．
【解答】解：当n=k时，等式左端=1+2+3+…+2k，
当n=k+1时，等式左端=1+2+…+2k+（2k+1）+（2k+2），
即当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上2k+1+2k+2即为4k+3
故答案为：4k+3

34．用数学归纳法证明|n2﹣5n+5|≠1，需证明的第一个n值是　5　．
【解答】解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；
结合本题，由于n2﹣5n+5=1时，n=1或4，n2﹣5n+5=﹣1时，n=2或3，
所以需证明的第一个n值是5．
故答案为：5．

35．设f（n）=（1+）（1+）…（1+）用数学归纳法证明f（n）≥3，在假设n=k时成立后，f（k+1）与f（k）的关系是f（k+1）=f（k）•　　．
【解答】解：∵f（k）=（1+）（1+）…（1+），f（k+1）=（1+）（1+）…（1+）（1+）（1+），
∴f（k+1）=f（k）•，
故答案为：．

36．（2010•湖南模拟）若复数z满足，则z=　﹣i　．
【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），所以=a﹣bi，
所以，化为i（a+bi）+2（a﹣bi）=1+2i．即2a﹣b+（a﹣2b）i=1+2i
由复数相等可知，解得a=0，b=﹣1，
z=﹣i．
故答案为：﹣i．

37．（2007•奉贤区一模）若虚数z满足，则|z﹣2i|的取值范围是　　．
【解答】解：设Z=a+bi（a，b∈R）
由Z为虚数，故b≠0
则=a+bi+，
若，则b﹣=0
则a2+b2=1（b≠0）
又∵|z﹣2i|=|a+（b﹣2）i|=（b≠0）
故|z﹣2i|∈
故答案为：

三．解答题（共3小题）
38．甲乙两人分别进行3次和n次射击，甲乙每次击中目标的概率分别为和p，记甲乙击中目标的次数分别为X和Y，且E（Y）=2，D（Y）=
（1）求X的概率分布及数学期望E（X）
（2）求乙至多击中目标2次的概率．
【解答】解：（1）由已知得X～B（3，），
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
∴X的概率分布列为：
X
0
1
2
3
P

EX==．
（2）由已知得Y～B（n，p），
∵且E（Y）=2，D（Y）=，
∴，解得n=3，p=，
∴乙至多击中目标2次的概率为：
p=1﹣P（Y=3）=1﹣=1﹣=．

39．数列{an}中，满足a1=1，且an+1=（1+）an+（n≥1，且n∈N*），用数学归纳法证明：an≥2（n≥2，且n∈N+）
【解答】证明：①当n=2时，a2=2≥2，不等式成立．
②假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即ak≥2（k≥2），
那么ak+1=[1+]ak+≥ak≥2．这就是说，当n=k+1时不等式成立．
根据①②可知：ak≥2对所有n≥2成立．

40．（2016秋•禅城区校级月考）已知函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对函数f（x）定义域内的任一个实数x，都有xf（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．
（Ⅲ） 求证：对一切x∈（0，+∞），都有3﹣（x+1）•f（x）＞﹣成立．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，
而点（1，f（1））在直线x+y=2上，∴f（1）=1，
又直线x+y=2的斜率为﹣1，∴f′（1）=﹣1，
故有，解得：；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=（x＞0），由xf（x）＜m，得：＜m，
令g（x）=，g′（x）=，
令h（x）=1﹣x﹣lnx，则h′（x）=﹣1﹣＜0，（x＞0），
∴h（x）在区间（0，+∞）上是减函数，
∴当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，
从而当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，
故g（x）max=g（1）=1，
要使＜m成立，只需m＞1，故m的取值范围是（1，+∞）；
（Ⅲ）证明：要证3﹣（x+1）•f（x）=lnx+1＞﹣，对∀x＞0成立，
即证明：xlnx+x＞﹣对∀x＞0成立，
设φ（x）=xlnx+x（x＞0），φ′（x）=lnx+2，
当x＞e﹣2时，φ′（x）＞0，φ（x）递增；当0＜x＜e﹣2时，φ′（x）＜0，φ（x）递减；
∴φ（x）min=φ（e﹣2）=﹣，
设g（x）=﹣（x＞0），g′（x）=，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减；
∴g（x）max=g（1）=﹣，∴φ（x）min=﹣＞g（x）max=﹣，
∴xlnx+x＞﹣，对∀x＞0成立，
∴3﹣（x+1）f（x）=lnx+1＞﹣对∀x＞0成立．

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