湘教版九年级数学下册教案.doc

：1.1 二次函数
撰写人： 授课班级： 审稿人： 授课日期：
学习目标：
1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义；
2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。
学习重点：
1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
2.能够表示简单变量之间的二次函数。
学习难点：确定实际问题中二次函数的关系式。
学习过程：
一、自学准备：
1.设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值， y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的 ，x叫做 。
2.我们已经学过的函数有：一次函数、反比例函数，其中 的图像是直线，
的图像是双曲线。我们得到它们图像的方法和步骤是：
① ； ② ；
③ 。
3. 形如，（ ）的函数是一次函数，当时，它是 函数，图像是经过 的直线；形如，（ ）的函数是 函数，它的表达式还可以写成：① 、②
二、提出问题（展示交流）：
1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S与半径r之间的函数关系式是 。
2．用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。
3．要给一个边长为x (m)的正方形实验室铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线价格为每米30元，如果其它费用为1000元，那么总费用y（元）与x（m）之间的函数关系式是 。
三、归纳提高（讨论归纳）：
观察上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？ 。
一般地，形如 ，（ ，且 ）的函数为二次函数。其中是自变量， 函数。
三个特点：1、含有自变量的代数式是整式；2、自变量的最高次数为2；3、二次项系数不能为0.
注意：1、定义中只要求二次项系数a不为零（必须存在二次项），一次项系数b、常数项c可以为零。最简单形式的二次函数：例如，y＝-5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100都是二次函数．我们以前学过的正方形面积A与边长a的关系，圆面积s与半径r的关系等也都是二次函数的例子．
2、二次函数中自变量的取值范围是 ，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？
四、例题精讲（小组讨论交流）：
例1 函数y=（m＋2）x＋2x－1是二次函数，则m= ．
练习：若y=（m2＋m）x是二次函数，则m= ．
例2．下列函数中是二次函数的有（ ） ①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；
③y=（x＋3）2－2x2； ④y=＋x． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
练习：下列函数中，哪些是二次函数？(1) (2) (3) （4） （5）
例3、写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
⑴圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
⑵某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息税，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；
⑶菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系
五、课堂训练
1．下列函数中，二次函数是（ ）A．y=6x2＋1 B．y=6x＋1 C．y=＋1 D．y=＋1
2．函数y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函数的条件是（ ）A．m、n为常数，且m≠0 B．m、n为常数，且m≠n C．m、n为常数，且n D．m、n可以为任何常数
3．半径为3的圆，如果半径增加2x，则面积S与x之间的函数表达式为（ ）
A.S=2π（x＋3）2 B.S=9π＋x C.S=4πx2＋12x＋9 D. S=4πx2＋12πx＋9π
4.下列函数关系中,满足二次函数关系的是( )
A.圆的周长与圆的半径之间的关系; B.在弹性限度内,弹簧的长度与所挂物体质量的关系;C.圆柱的高一定时,圆柱的体积与底面半径的关系;D.距离一定时,汽车行驶的速度与时间之间的关系.
5.已知菱形的一条对角线长为a，另一条对角线为它的倍，用表达式表示出菱形的面积S与对角线a的关系_________．
6.若一个边长为cm的无盖正方体形纸盒的表面积为cm，则，其中的取值范围是 。
7.一矩形的长是宽的1.6倍，则该矩形的面积与宽之间函数关系式： 。

8.如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，请写出绿地面积(㎡)与路宽(m)之间的函数关系式： 。

9.如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积(㎡)与它与墙平行的边的长(m)之间的函数关系式： 。
10.已知函数是二次函数，求m的值．

1.2 二次函数的图象与性质
二次函数的图象（一）
【学习目标】
1．知道二次函数的图象是一条抛物线；
2．会画二次函数y＝ax2的图象；
3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．（重点）
【学法指导】
数形结合是学习函数图象的精髓所在，一定要善于从图象上学习认识函数.
【学习过程】
一、知识链接：
1.画一个函数图象的一般过程是① ；② ；③ 。
2.一次函数图象的形状是 ；反比例函数图象的形状是 .
二、自主学习
画二次函数y＝x2的图象.
列表:
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…

…
描点,并连线

图象可得二次函数y＝x2的性质:
1.二次函数y＝x2是一条曲线,把这条曲线叫做______________.
2.二次函数y＝x2中,二次函数a＝_______,抛物线y＝x2的图象开口__________.
3.自变量x的取值范围是____________.
4.观察图象,当两点的横坐标互为相反数时,函数y值相等,所描出的各对应点关于________对称,从而图象关于___________对称.
5.抛物线y＝x2与它的对称轴的交点( , )叫做抛物线y＝x2的__ _.因此,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的 _
6.抛物线y＝x2有____________点(填“最高”或“最低”) .
三.例题分析
例1.在同一直角坐标系中,画出函数y＝x2,的图象.
解:列表：
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y＝x2
…

…

归纳:抛物线y＝x2,y＝x2,的二次项系数a_______0;顶点都是__________;对称轴是_________;顶点是抛物线的最_________点(填“高”或“低”) .
例2.请在上图的直角坐标系中画出函数y＝－x2,y＝－x2的图象.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y＝x2
…

…
列表:

x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y=－x2
…

…

归纳:抛物线y＝－x2,y＝－x2, y＝－2x2的二次项系数a___0,顶点都是______,对称轴是________,顶点是抛物线的最_______点(填“高”或“低”) .

二次函数的图象（二）
【学习目标】
1．知道二次函数与的联系．
2.掌握二次函数的性质，并会应用；
【学法指导】
类比一次函数的平移和二次函数的性质学习，要构建一个知识体系。
【学习过程】
一、 知识链接：
1.直线可以看做是由直线 得到的。
2.若一个一次函数的图象是由平移得到，并且过点（-1,3），求这个函数的解析式。
解：

3.由此你能推测二次函数与的图象之间又有何关系吗？
猜想： 。
二.探索新知:在同一直角坐标系中,画出二次函数y＝x2＋1,y＝x2－1的图象.
解:先列表
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2＋1
…

…
y＝x2－1
…

…

描点并画图

1.
开口方向
顶点
对称轴
有最高(低)点
最值
y＝x2

y＝x2－1

y＝x2＋1

观察图象得:
2.可以发现,把抛物线y＝x2向______平移______个单位,就得到抛物线y＝x2＋1;把抛物线y＝x2向_______平移______个单位,就得到抛物线y＝x2－1.
3.抛物线y＝x2,y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________.
函数
开口方向
顶点
对称轴
最值
对称轴左侧的增减性
y＝－5x2＋3

y＝7x2－1

三.理一理知识点
1.
y＝ax2
y＝ax2＋k
开口方向

顶点

对称轴

有最高(低)点

最值

a＞0时,当x＝______时,y有最____值为________;
a＜0时,当x＝______时,y有最____值为________.
增减性

2.抛物线y＝2x2向上平移3个单位,就得到抛物线__________________;
抛物线y＝2x2向下平移4个单位,就得到抛物线__________________.
因此,把抛物线y＝ax2向上平移k(k＞0)个单位,就得到抛物线_______________;
把抛物线y＝ax2向下平移m(m＞0)个单位,就得到抛物线_______________.
3.抛物线y＝－3x2与y＝－3x2＋1是通过平移得到的,从而它们的形状__________,
由此可得二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的形状__________________.
五.课堂巩固训练
1.填表
函数
草图
开口方向
顶点
对称轴
最值
对称轴右侧的增减性
y＝3x2

y＝－3x2＋1

y＝－4x2－5

2.将二次函数y＝5x2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________.
3.写出一个顶点坐标为(0,－3),开口方向与抛物线y＝－x2的方向相反,形状相同的抛物线解析式_____________.
4.抛物线y＝4x2＋1关于x轴对称的抛物线解析式为______________________.
5.抛物线y＝－x2＋h的顶点坐标为(0,2),则h＝_______________.
6.抛物线y＝4x2－1与y轴的交点坐标为_____________,与x轴的交点坐标为_________.

二次函数的图象（三）
【学习目标】
1．会画二次函数的图象；
2.知道二次函数与的联系．
3.掌握二次函数的性质，并会应用；
【学习过程】
一、知识链接：
1.将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
2.将抛物线的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为 。
二、自主学习
画出二次函数，的图象；先列表：

…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…

…

…

…

…
归纳：（1）的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 。
图象有最 点，即= 时，有最 值是 ；
在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时随的增大而 。
可以看作由向 平移 个单位形成的。
（2）的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ， 图象有最 点，即= 时，有最 值是 ；在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时随的增大而 。
可以看作由向 平移 个单位形成的。
三、知识梳理
抛物线特点：
1.当时，开口向 ；当时，开口 ；
2. 顶点坐标是 ；3. 对称轴是直线 。
3.
y＝ax2
y＝ax2＋k
y＝a (x-h)2
开口方向

顶点

对称轴

最值

增减性
(对称轴左侧)

四、课堂训练
1.填表
图象(草图)
开口方向
顶点
对称轴
最值
对称轴右侧的增减性
y＝x2

y＝－5 (x＋3)2

y＝3 (x－3)2

3. 抛物线的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是_______；
4.抛物线向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．
5. 抛物线向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．
6．抛物线与y轴的交点坐标是_______，与x轴的交点坐标为________．

二次函数的图象（四）
【学习目标】1．会画二次函数的顶点式的图象；
2．掌握二次函数的性质；
【学习过程】
一、知识链接：
1.将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
2.将抛物线的图象向左平移3个单位后的抛物线的解析式为 。
二、自主学习
在右图中做出的图象：
观察：1. 抛物线开口向 ；
顶点坐标是 ；对称轴是直线 。

y＝ax2
y＝ax2＋k
y＝a (x-h)2
y＝a (x－h)2＋k
开口方向

顶点

对称轴

最值

增减性(对称轴右侧)

2. 抛物线和的形状 ，位置 。（填“相同”或“不同”）
3. 抛物线是由如何平移得到的？答：
。
三、知识梳理
2.抛物线与形状 ，位置不同，是由平移得到的。
3.二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。
五、课堂训练
1.二次函数的图象可由的图象（ ）
A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
2.抛物线开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x＝ 时，y有最 值为 。

开口方向

顶点

对称轴

3.填表：

4.函数的图象可由函数的图象沿x轴向 平移 个单位，再沿y轴向 平移 个单位得到。
5.若把函数的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为 。
6. 顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线相同的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
7.若抛物线y＝ax2＋k的顶点在直线y＝－2上,且x＝1时,y＝－3,求a.k的值.

二次函数的图象（五）

【学习目标】
1.能通过配方把二次函数化成的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。
2．熟记二次函数的顶点坐标公式；
3．会画二次函数一般式的图象．
【学习过程】
一、知识链接：
1.抛物线的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；当= 时有最 值是 ；当 时，随的增大而增大；当 时，随的增大而减小。
2. 二次函数解析式中，很容易确定抛物线的顶点坐标为 ，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。
二、自主学习：
（一）、问题：（1）你能直接说出函数 的图像的对称轴和顶点坐标吗？
（2）你有办法解决问题（1）吗？
解：

的顶点坐标是 ，对称轴是 .
（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式从而直接得到它的图像性质.
（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：
① ② ③

（5）归纳：二次函数的一般形式可以用配方法转化成顶点式： ，因此抛物线的顶点坐标是 ；对称轴是 ，
（6）用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。
用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。
① ② ③

（二）、用描点法画出的图像.
（1）顶点坐标为 ；
（2）列表：顶点坐标填在 ；（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．）

…

…

…

（3）描点，并连线：
（4）观察：①图象有最 点，即= 时，有最 值是 ；
② 时，随的增大而增大； 时随的增大而减小。
③该抛物线与轴交于点 。
④该抛物线与轴有 个交点.

三.目标检测:
1.用顶点坐标公式和配方法求二次函数y＝x2－2－1的顶点坐标.

2.二次函数y＝－x2＋mx中,当x＝3时,函数值最大,求其最大值.