上海市崇明县2014届高三数学二模试卷(理科,含答案).doc

崇明县2014年高考模拟考试试卷
高三数学（理科）
（考试时间120分钟，满分150分）

考生注意：
1． 每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；
2． 答卷前，考生务必将姓名、准考证号码等相关信息在答题纸上填写清楚；
3． 本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、经过点且法向量为的直线的方程是　　　　　　　　．
2、已知集合，集合是函数的定义域，则　 　 　　．
3、方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数取值范围是　　　　　　　　．
4、已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，表示数列的前项和，则
　 　 　　．
5、在的展开式中，含项的系数等于　　　　　　　．（结果用数值作答）
6、方程的解集是　 　 　　．
7、实系数一元二次方程的一根为（其中 为虚数单位），则
　　　　　　　．
8、某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人．如果在
全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，现采用分层抽样（按年级分层）
在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数等于　　　　　．
9、已知的反函数为，则不等式的解集是
　　　 　　　　．
10、已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同，若圆柱M与球O的表面积相等，则它们的体积之比= （结果用数值作答）．
11、在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离等于　　　　　　　．
12、如果函数，，关于的不等式
对于任意恒成立，则实数的取值范围是　　　　　　　．
13、已知二次函数同时满足：①不等式的解集有且只有一个
元素；②在定义域内存在，使得不等式成立．设数列的前项
和为，且．规定：各项均不为零的数列中，所有满足的正整数
的个数称为这个数列的变号数．若令（），则数列的变号数等
于 ．
14、已知圆，点是该圆面（包括⊙O圆周及内部）上一点，则
的最小值等于　　　　　　　．
二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
15、给出下列命题，其中正确的命题是………………………………………………………（　　）
A．若，且，那么一定是纯虚数
B．若、且，则
C．若，则不成立
D．若，则方程只有一个根
16、已知，．若是的必要非充分条件，则实数a的取值范围是…（　　）
A． B．
C． D．

17、已知随机变量的分布律如右图，其中成等差数列，
如果，则的值等于 ………………（　　）
A． B．
C． D．
18、某同学对函数进行研究后，得出以下五个结论：①函数的图像是轴对
称图形；②函数对任意定义域中值，恒有成立；③函数的图
像与轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等；④对于任意常数，存在常
数，函数在上单调递减，且；⑤当常数满足时，
函数的图像与直线有且仅有一个公共点．其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②④ D．①③④
三、解答题（本大题共有5小题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
19、（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
如图所示，在直四棱柱中，底面是矩形，，，，
是侧棱的中点．
A
B
A1
D
C
C1
B1
D1
E
x
y
z
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小．

O

20、（本题满分14分）本题共有２小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，某广场中间有一块扇形绿地，其中为扇形
所在圆的圆心，，扇形绿地的半径为．广场管理部门欲在绿地上修建观光
A
B
D
C
O
E
小路：在上选一点，过修建与平行的小路，与
平行的小路，且所修建的小路与的总长最长．
（1）设，试将与的总长表示成的函数；
（2）当取何值时，取得最大值？求出的最大值．

21、（本题满分14分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分．
　　设为奇函数，为常数．
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性，并说明理由；
（3）若对于区间上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．

22、（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
平面直角坐标系中，已知点在函数的图像上，
点在直线上．
（1）若点与点重合，且，求数列的通项公式；
（2）证明：当时，数列中任意三项都不能构成等差数列；
（3）当时，记，，设，将集合的
元素按从小到大的顺序排列组成数列，写出数列的通项公式．

23、（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．
已知椭圆 经过点，且其右焦点与抛物线的焦点重合，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设O为坐标原点，线段上是否存在点，使得？
若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
（3）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，
试证明：直线过定点．

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崇明县2014年高考模拟考试（理科）参考答案及评分标准
一、 填空题（本大题共14小题，满分56分）
1、 ；2、 ；3、 ；4、 ；5、 ；
6、 ；7、 ；8、 ；9、 ；
10、 ；11、 ；12、 ；13、 ；14、 .
二、 选择题
15、A； 16、B; 17、C； 18、C.
三、 解答题
19、（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
解：建立如图所示空间直角坐标系.
（1）

.
（2）设 是平面的一个法向量，

解得 ，取 ，得
， 的一个法向量为
设与的夹角为 ，则
结合图形，可判别得二面角 是锐角，它的大小为 .
20、（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.
解：设扇形的半径为 .
（1） 在 中， ，
（2） ，同理 .

（2） ， .

当，即 时， .
21、（本题满分14分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分.
解：（1） 为奇函数，
对定义域内的任意 都成立，
，
， 解，得或（舍去）.
（2）由（1）知：，
任取 ，设 ，则：
，
，
，
在 上是增函数.
（3）令 ，
上是减函数，
由（2）知，是增函数，
，
对于区间 上的每一个 值，不等式 恒成立，
即 恒成立， .
22、（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
解：(1)因为,所以,,
由,得,所以,
因为且,所以, 　
所以 ,是等差数列,
（反证法）假设存在数列中的三项 , , 成等差数列,其中 ,
则 ,　且
所以，
因为等式左边为偶数，等式右边为奇数，所以等式不成立，
所以假设不成立.
所以数列中的任意三项都不能构成等差数列. (2)由题意，得： ,
(3)当时,设,则,且,设,,则,所以,　
因为,且,所以能被整除.
当时, ；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
当时,,
所以能被整除. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
当时,
,
所以不能被整除. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
综上, 时,，
所以 .
23、（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.
解：（1）由题意，得：
所以 ， 解，得 ，所以椭圆的方程为： ；
（2）设直线 的方程为： ，代入，得：

恒成立.
设线段的中点为 ，
则 ，
由 得： ，
所以直线 为直线 的垂直平分线，
直线的方程为： ，
令 得：点的横坐标，
因为， 所以，所以.
所以线段 上存在点 使得，其中.
（3） 证明：设直线 的方程为：，代入，得：
，
由，得： ，
设 ，则
，
则直线的方程为 ，
令 得：
，
所以直线 过定点 .