高三数学一轮领航（解三角形）.docx

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高三数学一轮复习阶段性训练题领航卷（解三角形）
满分:150分,时间:120分钟
一.选择题（5×12=60分）
1.在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若a=3,b=4,C=,则c= 【 】
A. B. C.6 D.
2.在锐角三角形中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若a=1,cosA=, cosC=,则b= 【 】
A. B. C. D.
3.在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若==,则A等于 【 】
A. B. C. D.
4.在△ABC中,A、B、C的对边分别是a、b、c,若c·cosB=b·cosC,且cosA=,则cosB= 【 】
A. B.- C. D.-
5.在△ABC中,cosB=,BC边上的高等于BC,则sinC= 【 】
A. B. C. D.
6.在△ABC中,角A、B的对边分别是a、b,且A=60°,b=2,a=x,若解此三角形有两解,则x
的取值范围是 【 】
A.x> B.0<x<2 C.<x<2 D.<x≤2
7.以3,4,5为边长的直角三角形,各边分别增加x(x>0)个单位,得到的三角形是 【 】
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角或钝角三角形
8.△ABC中,A、B、C的对边分别是a、b、c,且2A=B,a︰c=3︰5,则角C的余弦值为 【 】
A. B. C. D.
9.△ABC中,sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB ,则角C等于 【 】
A. B. C. D.
10.△ABC中,A、B、C的对边分别是a、b、c,且8b=5c,C=2B,则cosB= 【 】
D
B
A
C
150
A. B. C. D.
11.如图,小明在点C处发现河对岸有两个建筑A和B,准备在不过河的
情况下测量A和B之间的距离,经测量知∠ACB=60°,然后小明直线
行走了150米后到达D处,再次测量得到∠ADB=45°,又测量得到
∠ADC=∠BCD=45°,则此时A和B之间的距离为 【 】
A.150米 B.75 C.150米 D. 150米
12.△ABC中,A、B、C的对边分别是a、b、c,若△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tanC
等于 【 】
A. B. C.- D.-
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项

二.填空题（5×4=20分）
13.已知△ABC的三边长成公比为的等比数列,则△ABC是 三角形.
14.三边互不相等的三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC= .
B
A
C
O
15. △ABC中,A、B、C的对边分别是a、b、c,已知a=2,若acosB+bcosA=csinC,
且c2+b2-a2=bc则△ABC外接圆半径为 .
16.如图,在△ABC中,A、B、C的对边分别是a、b、c,已知B=,且
bsinB+csinC=asinA,若点O是△ABC外一点,OC=3,OB=2,
则当四边形OCAB的面积最大时,sin∠COB= .
三.解答题(共70分,每题须写出必要的步骤及解答过程）
17. (10分)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知a=1,b=2,cosC=,E为边
AB的中点.(1)求△ABC的周长; (2)求CE的长.

18. (12分)如图渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12海里,
渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处
出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上.
A
C
西
东
北
南
60。
α
B
(1)求渔船甲的速度; (2)求sinα的值.

19.(12分) △ABC中D是BC上的点, AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.
(1)求;
(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.

20.(12分)已知△ABC中,a、b、c分别为三个内角A、B、C的对应的边,tanA·tanB-
(tanA+tanB)=,且c=.
(1)求角C的大小;
(2)求△ABC周长的取值范围.

21.(12分)在△ABC中角A、B、C的对边分别是a、b、c,3sin2C+8sin2A=11sinAsinC,且c<2a.
(1)求证: △ABC为等腰三角形;
(2)若△ABC的面积为8,且sinB=,求BC边上的中线长.

22. (12分)△ABC的外接圆的半径为1,a、b、c分别为角A、B、C的对边,向量m=(cosA,a),
n=(b,4cosB)且满足m//n
(1)求cosA-cosB的范围;
(2)若△ABC的面积为S,周长为l,实数x满足Sx=l,求x的范围.

一.选择题(5×12=60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
D
B
A
C
A
C
A
C
C
D
C
C
1.D; c2=a2+b2-2abcosC=25+2×12×=37, c=;
2.B; 由sinA=, sinC=,sinB=sin(A+C)=×+×=,b=sinB=×=;
3.A; 由(a-c)(a+c)=b(b-c)得 b2+c2-a2=bc, cosA==, A=;
3
D
B
8
4
5
A
C
4.C; 由正弦定理得sinCcosB=sinBcosC,即sin(B-C)=0得B=C,又A=,∴B=,cosB=;
5.A; 如图所示BC边上的高为AD,不妨令AB=5,则BD=4,得AD=3,
∴BC=12,DC=8,∴ sinC=;
另:由csinB=bsinC=a得c=bsinC=a,即b=,a=c,代入b2=a2+c2-2accosB
有=c2-×c2,即sinC=.
6.C; 由bsinA<a<b时必有两解得,<x<2.
7.A; 由(3+x)2+(4+x)2-(5+x)2=x2+4x=x(x+4)>0得大角为锐角,故为锐角三角形;
8.C; 由===cos2A+2cos2A=3-4sin2A=,∴sinA=,
sinC=, sinC=; 另有:由=,且==2cosA,又a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-
D
B
A
C
O
150
b2=c2+b2(1-),即c2-a2=b2 ∴a2-a2=b2∴==2cosA ∴sinA= , sinC=;
(※另有:可直接令a=3,b=5进行计算)
9.C; 由正弦定理得a2+b2=c2+ab,即a2+b2-c2=ab,cosC==, C=;
10.D; 由正弦定理得====2cosB 即cosB= ;
11.C; 在Rt△COD中易知CO=OD=75,同理在Rt△ACO中由∠ACB=60°得AO=75
×=75;又OB=OD=75知在Rt△AOB中AB===150;
12.C; 由2S=absinC=(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab,得sinC-1==cosC,即sinC-1=cosC
由万能公式有-1=,得, tan=2, tanC==-;
另有: 2(cosC+1)=sinC即4cos2=2sincos,(cos≠0) ∴tan=2, tanC=- ;
再有: 2(cosC+1)=sinC得cosC<0,构造,即sinC=, tanC=-.

13.钝角三角形; 不妨设三边为a、b、c,且a<b<c,则b=a,c=2a, cosC==
<0, 故为钝角三角形;
14.; 由S△ABC =acsinB=得,sinB=, B=或,AC2=b2=a2+c2-2accosB
=4-2cosB,分别将cosB=±代入得b=1(舍)或b=;
B
A
C
O
a
θ

15.; 由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=sin2C 即sin(A+B)=sinC=sin2C, sinC=1 即
C=,又cosA=== ,∴A==B ∴其外接圆半径为;
16. ; 由正弦定理得b2+c2=a2即△CAB为Rt△,A=,∠ACB=θ,则;
在△COB中S△OCB=3sinθ又由余弦定理得a2=13-12cosθ,
而S△CAB=×a×=a2,∴SOCAB=S△CAB+S△OCB=a2+3sinθ=+3sinθ-cosθ
=+sin(θ-φ),tanφ= ,故(SOCAB)max=,此时θ=φ+,sinθ=cosφ=;

1
1
1
C
2
A
B
E
17.解: (1)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=12+22-2×1×2×=4,
∴c=2, △ABC的周长为5;
(2)如图由cosB=cosC=,在△CBE中,CE2=12+12-2×1×1×=,即CE=.
(另有:用余弦定理,利用cos∠CEB=-cos∠CEA建立等式求解.)
A
C
西
东
北
南
60。
α
B

18.解:设渔船甲的速度为v,则在△ABC中AC=20,AB=12,∠BAC=120°,
由余弦定理得 BC2=122+202+2×12×20×=784,即
BC=28,∴v甲=14海里/小时 ;
(2)由∠BAC=α据正弦定理得sinα=×AB=×12=.

1

1

D
B
C
A
19.解: (1)由正弦定理得===2有 ==;
(2)由==2 得BD=2CD=; 设AC=b,则AB=2b
由cos∠BDA=-cos∠ADC据余弦定理得 =-,解得AC=1.
(另有:可用初中知识计算本题,如用“AC×BD=AB×DC”来计算BD,作高来算AC.)

20.解: (1)由题中等式易变形得 (1-tanA·tanB)=-(tanA+tanB) (tanA·tanB≠1) 即
tanC=-tan(A+B)=-=, ∴C=; (A≠,B≠).
(2)由正弦定理得α+b=×(sinA+sinB)=2(sinA+sinB),又A=-B
∴α+b= 2[sin(-B)+sinB]=cosB+3sinB=2sin(B+) 而0<B<,且B≠,
∴ <B+<,且B+≠, ∴<sin(B+)≤1,且sin(B+)≠,
<α+b≤2,且α+b≠3, 即周长的取值范围为(2,3+)∪(3+,3].
另有:由正弦定理得3=a2+b2-2abcos=(a+b)2-3ab,即(a+b)2-3=3ab≤3,
∴4(a+b)2-12≤3(a+b)2,(a+b)2≤12 (当且仅当a=b=时取等号), 又a+b>,
故<α+b≤2,结合B≠, 知周长的取值范围(2,3+)∪(3+,3].

21.解: (1)由正弦定理得3c2+8a2=11ac,3c2-11ac+8a2=0 即(3c-8a)(c-a)=0
又c<2a得, c=a>2a 不合题意, ∴c=a,即△ABC为等腰三角形;
(2)由正弦定理得S△ABC=acsinB=a2×=8 得a=c=8,
设BC边的中线为AD,则BD=4, AB=8,cosB=±, 则余弦定理得
AD2=42+82±2×4×8×=64或96, 即AD=8或4.

22.解: (1)由正弦定理得a=2RsinA=2sinA,b=2Rsinb=2sinB, 又m//n有4cosB·cosA=ab=4sinA·sinB,即cosB·cosA-sinA·sinB=cos(A+B)=0
∴A+B=,cosA=sinB,则cosA-cosB=sinB-cosB=sin(B-),
因0<B<,得-<B-<, -<sin(B-)<, 故cosA-cosB的范围为(-1,1);
(2)由(1)知c=2sin=2,a+b=2sinA+2sinB=2(sinA+cosA),l=2(sinA+cosA+1)
又S=absinC=2sinAcosA,则x== (x>0),令t=sinA+cosA=sin(A+)
因0<A<,得 <A+<,∴t∈(1,],则sinAcosA=, x==, t∈(1,]
因0<t-1≤-1,故x的范围为[2+2,+∞).
另有: Sx=abx=a+b+2, x=≥=4(+)=4(+)2-1, 又2ab≤a2+b2=c2=4,
∴ 0<ab≤2, (当且仅当a=b时取等号) ∴0<≤ ,即4(+)2-1≤2+2, 故x∈[2+2,+∞).

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