高中数学知识点： 直线.doc

第九章 直 线

一、考纲要求
1.理解有向线段的概念.掌握有向线段定比分点坐标公式，熟悉运用两点间的距离公式和线 段的中点坐标公式.
2.理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的公式，熟练掌握直线方程的点斜式，掌 握直线方程的斜截式、两点式、截距式以及直线的一般式.能够根据条件求出直线的方程.
3.掌握两条直线平行与垂直的条件.能够根据直线的方程判定两条直线的位置关系.会求两条 直线的夹角和交点.掌握点到直线的距离公式.
二、知识结构
1.有向线段
一条有向线段的长度，连同表示它的方向的正负号，叫做有向线段的数量.有向线段 的数量用AB表示.
若有向线段在数轴上的坐标为A(x1)，B(x2)，则
它的数量 AB=x2-x1
它的长度 ｜AB｜=｜x2-x1｜
平面上两点间的距离 设P1(x1,y1),P2(x2,y2)是坐标平面上的任意两点，则 它们的距离
｜P1P2｜=
当P1P2⊥Ox轴时，｜P1P2｜=｜y2-y1｜；当P1P2⊥Oy轴时，｜P1P2｜ =｜x2-x1｜；点P(x,y)到原点O的距离，｜OP｜=.
三角形的中线长公式
如图，AO是△ABC的BC边上的中线.则｜AB｜2+｜AC｜2
=2［｜AO｜2+｜OC｜2］
2.线段的定比分点
有向直线l上的一点P，把l上的有向线段分成两条有向线段分成两条有向线段，则和的数量之比
λ=
定比分点公式 若P1、P2两点坐标为(x,y1)，(x2,y2),点P(x,y)分有向线段成定比
λ=(λ≠-1)，
则P点坐标
x=， y=.
(1).中点公式 设P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则P1P2的中点P(x,y)的坐标是
x=, y=.
(2)三角形的重心公式 若△ABC的各顶点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则△ABC的重心G(x,y)的坐标是
x=， y=.
3.直线的方程
直线方程的几种形式
名称
已知条件
方程
说明
斜截式
斜率k
纵截距b
y=kx+bx
不包括y轴和平行于y轴的直线
点斜式
点P1(x1,y1)
斜率k
y-y1=k(x-x1)
不包括y轴和平行于y轴的直线
两点式
点P1(x1,y1)
和P2(x2,y2)
=
不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线
截距式
横截距a
纵坐标b
+=1
不包括坐标轴，平行于坐标轴和原点的直线
一般式
—
Ax+By+C=0
A、B不同时为0

两条直线的位置关系
直
线
方
程
位
置
关
系
当直线不平行于坐标轴时：

l1∶y=k1x+b1
l2∶y=k2x+b2
l1∶A1x+B1y+C1=0
l2∶A2x+B2y+C2=0
l1与l2组成的方程组
平行

k1=k2且b1≠b2
=≠
无解
重合

k1=k2且b1=b2
==
有无数多解
相交

k1≠k2
=
有唯一解
垂直

k1·k2=-1
A1A2+B1B2=0

两条直线的交角公式
(1)直线l1到l2的角 直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1 到l2的角.
计算公式
设直线l1，l2的斜率分别是k1，k2，则
tgθ= (k1k2≠-1)
(2)两条直线的夹角 一条直线到另一条直线的角小于直角的角，即两条直线所成的锐角叫 做两条直线所成的角，简称夹角.这时的计算公式为：tgθ=
4.点与直线的位置关系
点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上的充要条件是
Ax0+By0+C=0.
点到直线的距离公式
点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离是
d=
据此可推出：
(1)两平行线间的距离公式
两平行直线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0间的距离为
d=.
5.直线关于点的对称
直线关于点的对称直线一定是一条与已知直线平行的直线，由中点坐标公式可得
直线Ax+By+C=0关于点P(x0,y0)的对称直线方程是
A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0
即 Ax+By-(2Ax0+2By0+C)=0.
“直线关于直线”对称
(1)几种特殊位置的对称
已知曲线f(x,y)=0，则它：
①关于x轴对称的曲线是f(x,-y)=0；
②关于y轴对称的曲线是f(-x,y)=0；
③关于原点对称的曲线是f(-x,-y)=0；
④关于直线y=x对称的曲线f(y,x)=0；
⑤关于直线线y=-x对称的曲线
f(-y,-x)=0；
⑥关于直线x=a对称的曲线是
f(2a-x,y)=0；
⑦关于直线y=b对称的曲线是
f(x,2b-y)=0
三、知识点、能力点提示
(一)有向线段、两点间距离、线段的定比分点
例1 在△ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(-4，7)，求∠BAC平分线的长.
解： 由两点距离公式求得│AB│=5，│AC│=10，设角平分线交BC于D(x，y)，由角平分线 性质得λ===，从而求得D(，)，故可得│AD│=.
(二)直线方程，直线的斜率，直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，直线方程的一 般形式
例2 一直线过点P(-3，4)且在两坐标轴上的截距相等，求此直线方程.
解： 设截距a=b且均不为零，故可设所求直线方程为+=1.由P在直线上，解得a=1，∴所求直线方程为x+y-1=0.但还有一种情况，即a=b=0 ，直线过原点时也合题意，此时直线方程为4x+3y=0.故在使用截距式时必须检验截距为零是 否适合，以防漏解.
(三)两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角，两条直线的交点，点到直线的距离
说明 这部分内容近年高考在填空、选择及解答题中都常考查到.
使用公式求l1到l2的角时，应注意k1、k2的顺序.过两直线交点的直线系方程中不 包括直线l2.
例3 光线由点(-1，4)射出，遇直线2x+3y-6=0被反射，已知反射光线过点(3 ，).求反射光线所在直线方程.
解： 设(-1，4)点关于已知直线对称点为(x′，y′).
则点(-1，4)与点(x′，y′)的连线段被已知直线垂直平分，故可得

= x′=-
解得
2()+3()-6=0 y′=
，再由两点式可得所求直线方程为13x-26y+85=0.
(四)综合例题赏析
例4 如果A·C＜0且B·C＜0，那么直线Ax+By+C=0不 通过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解： ∵A·C＜0，B·C＜0
∴A≠0，B≠0，C≠0，
∴Ax+By+C=0可化y=-x-.
∵B·C＜0＜0-＞0，
∴直线和y轴正半轴有交点.
∵A·C＜0，即A和C异号，B·C＜0即B和C异号，
∴A和B同号＞0-＜0，
从而直线Ax+By+C=0过第一、二、四象限，不过第三象限.
应选C.
例5 和直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程是( )
A.3x+4y-5=0 B.3x+4y+5=0
C.-3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0
解： 若曲线c的方程f(x,y)=0，曲线c和c′关于x轴对称，则曲线c′的方程 是f(x，-y)=0.
∴3x-4(-y)+5=0即3x+4y+5=0为所求.
应选B.
例6 直线bx+ay=ab(a＜0，b＜0＝的倾斜角是( )
A.arctg(-) B.arctg(-)
C.π-arctg D.π-arctg
解： 直线的倾角范围是［0，π］.
由a＜0，b＜0知a≠0，故原方程可化为y=-x+b.
设此直线的倾角为α，则tgα=-.
由a＜0且b＜0＞0-＜0，
∴a∈(，π).
∴α=π-arctg，
应选C.
例7 若三点P1，P2在一条直线上，点P1和点P2在直角坐标系中的坐标分别为(0，-6)和(3，0)，且=-， 则点P的坐标是_________.
解： 若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)和P(x，y)三点在一条直线上，且λ=，则
x=，y=，

由题设知，x１=0，y1=6，x2=3，y2=0，λ=，代入上面公式 ，得
x===-3,
y=
∴P点坐标是(-3，-12).
例8 通过点(0，2)且倾斜角为15°的直线方程是( )
A.y=(-2)x+2 B.y=(-1)x+2
C.y=(2-)x+2 D.y=(-1) x+2
解： ∵直线通过点(0，2).
∴直线在y轴上的截距b=2.
∵直线的倾角为15°，
∴直线的斜率k=tg15°=
把k=2-，b=2代入直线的斜截式方程y=kx+b，得y=(2-)x+2 .
应选C.
例9 直线3x-2y=6在y轴上的截距是( )
A. B.-2 C. -3 D.3
解： ∵3x-2y=6y=-+=1，
又直线的截距为
∴b=-3，即在y轴上的截距为-3.
应选C.
例10 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么系数a=( )
A.-3 B.-6 C.- D. 
解：l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，且A2≠0，B2≠0，C2≠ 0，则有l1∥l2

∴由题设有.
应选B.
例11 如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称 ，那么( )
A.a=，b=6 B.a=，b=-6
C.a=3，b=-2 D.a=3，b=6
解：若C1的方程是f(x,y)=0,C2和C1关于直线y=x对称，则C2的方程是f(y,x)=0.
∴直线y=ax+2关于直线y=x对称的直线的方程是x=ay+2，即y=x-.
由题设y=和y=3x-b是同一条直线，
∴,解得
∴应选A.
例12 如果直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直，那么a 的值等于( )
A.1 B.- C. - D.-2
解：两直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，互相垂直的充要条件是 ：
A1A2+B1B2=0
∴由题设得a·1+2·1=0，从而a=-2.
应选D.
例13 点P(2，5)关于直线x+y=0的对称点的坐标是( )
A.(5，2) B.(2，-5)
C.(-5，-2) D.(-2，-5)
解：设P(2，5)和Q(m，n)关于直线y=-x对称，则PQ中点R()在y=-x上，且KPQ·(-1)=-1.
∴ 解得
∴对称点Q的坐标是(-5，-2).
应选C.
例14 原点关于直线8x+6y=25的对称点坐标是( )
A.(2，) B.()
C.(3，4) D.(4，3)
解：设(m，n)为所求，则
①
②

解得m=4，n=3
∴应选D.
例15 点(0，5)到直线y=2x的距离是( )
A． B．
C． D．
解：y=2x2x-y=0
∴d=
应选(B)
例16 以A(1，3)、B(-5，1)为端点的线段垂直平分线的方程是( )
A.3x-y+8=0 B.3x+y+4=0
C.2x+y+2=0 D.3x+y+8=0
解：设P(x，y)为线段AB的中垂线上的点，
则│PA│=│PB│
即化简得3x+y+4=0.
应选B.
例17 在直角坐标系xoy中，过点P(-3，4)的直线1与直线OP的夹角为45°，求1的方程.
解：设1的斜率为k，kOP=-
∴tg45°===,
得=±1，解出k=-，7
∴1的方程为y-4=- (x+3)或y-4=7(x+3).
即1的方程为x+7y-25=0或7x-y+25=0.
例18 点(0，1)到直线x+y=2的距离是 .
解：d=

四、能力训练
(一)选择题
1.数轴上有一有向线段，起点A的坐标为-m，终点B的坐标为n，那么此有向线段的数量 可表示为( )
A.=n-m B.AB=n+m
C.│AB│=n+m D.AB=n-m
2.已知点M(3，4)，N(12，7)，P在直线MN上，且=，则点P的坐标是( )
A.(6，5) B.(9，6)
C.(0，3) D.(0，3)或(6，5)
3.直线x+y-1=0的倾斜角是( )
A. B.-
C. D.
4.方程│x-1│+y=1确定的曲线与x轴围成的图形的面积是( )
A. B.1 C.2 D.4
5.过点(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( )
A.x+y=5 B.3x-2y=0
C.x+y=5或3x-2y=0 D.4x-y=5
6.过点(1，2)倾斜角α的正弦值是的直线的方程是( )
A.4x-3y+2=0 B.4x+3y-6=0
C.3x-4y+6=0 D.y=±(x-1)+2
7.如果直线Ax+By+C=0的倾斜角是一锐角，且在y轴上的截距大于零，则( )
A.AB＞0，AC＞0 B.AB＞0，AC＜0
C.AB＜0，AC＞0 D.AB＜0，AC＜0
8.下列各点中，不与P(4，3)、Q(-1，6)两点共线的点是( )
A.(5，6) B.(2，-3)
C.(3t，t+3)(这里t∈Z) D.(t+3，3t)(这里t∈Z)
9.两条不重合的直线mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的充要条件是( )
A.m=1，n=1 B.m=-1，n=-1
C.m=1,n≠-1,或m=-1,n≠1D.m≠±1，n≠±1
10.点(a，b)关于直线x+y=1对称的点的坐标是( )
A.(1-a，1-b) B.(1-b，1-a)
C.(-a，-b) D.(-b，-a)
11.已知0≤θ≤，且点(1，cosθ) 到直线xsinθ+ycosθ=1的距离等于 ，则θ等于( )
A. B. C. D. 
12.已知直线l1∶x-2y-6=0，l2∶3x-y+4=0下列说法中错误的是( )
A.l1与l2的夹角是45° B.l1到l2的角是45°
C.l2到l1的夹角是45° D.l2到l1的角是135 °
13.l1∶x+3y-7=0，l2∶kx-y-2=0与x轴、y轴正方向所围成的四边形有外接圆，则k为( )
A.-3 B.3 C.-6 D.6
14.已知P(-2，-2)，Q(0，-1)，取一点R(2，m)使│PR│+│RQ│最小，则m为( )
A. B.0
C.-1 D.-
15.设点A(-1，2)，B(2，-2)，C(0，3)，且M(a，b)是线段AB上的一点(a≠0)，则直线MC的斜率的取值范围是( )
A.［-，1］ B.［-1，］
C.［-，0］∪(0，1) D.(-∞ ，-］∪〔1，+∞)
(二)填空题
16.两条平行直线2x-7y+8=0和2x-7y-8=0间的距离是 .
17.直线x+5=0与直线x+2y-5=0的夹角是 .
18.直线y=-x+b和5x+3y-31=0的交点在第一象限，那么b的范围是 .
19.已知点P是直线l上一点，将直线l绕点P沿逆时针方向旋转角α(0°＜α＜90°＝，所得直 线的方程是x-y-2=0，若将它继续为转90°-α，所得直线的方程2x+y-1=0，则直线l的方程为 .
(三)解答题
20.正方形中心为G(-1，0)，一边所在直线的斜率为3，且此正方形的面积为14.4，求这正方 形各边所在直线的方程.
21.已知在△ABC的边上运动的点D、E、F在t=0时分别从A、B、C出发，各以一定的速度向B、 C、A前进，在t=1时分别达到B、C、A，试证明在运动过程中，△DEF的重心是一个定点.
22.一条光线从点M(5，3)射出，被直线l∶x+y=1反射，入射光线到直线l的角为β，已知tgβ=2，求入射光线与反射光线所在直线的方程.
23.用解析法证明三角形内角平分线性质定理.
24.过点P(2，1)作直线l交x，y轴的正向于A，B的点，求
(1)当△AOB的面积最小值时，直线l的方程.
(2)│PA│·│PB│为最小时，直线l的方程.
25.当θ≠时，求证：方程x2(tg2θ+cos2θ)-2xytgθ+y2sin2θ=0表示过原点的两直线，且其斜率之差 的绝对值为2.

能力训练参考答案

(一)1.B 2.D 3.D 4.B 5.C 6.D 7.D 8.C 9.C 10.B 11.A 12.C 13.B 14.D 15.D 
(二)16.；17.-arctg；18.＜b＜；19.略
(三)20.3x-y+9=0,3x-y-3=0,x+3y+7=0,x+3y-5=0;21，证略：22.入射光线：y -3x+12=0,反射光线：3y-x+10=0;23.证略；24.(1)x+2y-4=0,(2)x+y-3=0；25.证略.