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高中数学部分易错题分类举例解析
自贡六中 聂成坤
高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。
一、 忽视等价性变形，导致错误。
如： Û ，但 与 不等价。
例1、求函数y＝的定义域．
【错解】　因为y＝＝，所以x≠－3.故函数的定义域为{x|x≠－3}．
【错因分析】因代数式变形不等价致误　约分扩大了自变量的取值范围．由于同时约去了分式函数中分子与分母的公因式x－2，使原函数变形为y＝，从而改变了原函数自变量x的取值范围而出错．
【正解】　要使函数有意义，必须使x2＋x－6≠0，即(x－2)(x＋3)≠0，
所以x－2≠0且x＋3≠0，即x≠2且x≠－3.
故所求函数的定义域为{x|x≠2且x≠－3}．
【防范措施】　1.求函数的定义域时，不可对原表达式化简变形．
2．注意思维的全面性，定义域常从被开方数是否有意义，分母是否为零等角度列不等式(组)求解．
例2、已知f(x) = ax + ，若求的范围。
【错解】 由条件得
②×2－①
①×2－②得
+得
【错因分析】 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数，其值是同时受制约的。当取最大（小）值时，不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。
【正解】 由题意有, 解得：

把和的范围代入得
反思：在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。
二、忽视隐含条件，导致结果错误。
例3：设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，∁UA＝{5}，求实数a的值．
【错解】　∵∁UA＝{5}，∴5∈U且5∉A，∴a2＋2a－3＝5，且|2a－1|≠5，解得a＝2或a＝－4，即实数a的值是2或－4.
【错因分析】　上述求解的错误在于忽略验证“A⊆U”这一隐含条件．对补集的概念认识不到位致误
【正解】　法一　∵∁UA＝{5}，∴5∈U且5∉A，
∴a2＋2a－3＝5，且|2a－1|≠5，解得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，|2a－1|＝3，A＝{2,3}，符合题意；
而当a＝－4时，A＝{9,2}，不是U的子集．∴a的取值是2.
法二　∵∁UA＝{5}，∴5∈U且5∉A，且|2a－1|＝3.∴
解得a＝2，即a的取值是2.
【防范措施】　准确理解补集的概念是求解此类问题的关键．实际上∁UA的数学意义包括两个方面，首先必须具备A⊆U，其次是定义∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．因此本题应先由5∈U求出a的值，再利用5∉A验证a的值是否合题意．
例4 (1) 设是方程的两个实根，则的最小值（
思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。
利用一元二次方程根与系数的关系易得：

有的学生一看到，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。
原方程有两个实根，∴ Þ
当时，的最小值是8；
当时，的最小值是18。
这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。
(2) 已知(x+2)2+ =1, 求x2+y2的取值范围。
错解 由已知得 y2=－4x2－16x－12，因此 x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+)2+ ，
∴当x=－时，x2+y2有最大值，即x2+y2的取值范围是(－∞, ]。
分析 没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。
事实上，由于(x+2)2+ =1 Þ (x+2)2=1－ ≤1 Þ －3≤x≤－1，
从而当x=－1时x2+y2有最小值1。∴ x2+y2的取值范围是[1, ]。
注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数ax>0，圆锥曲线有界性等。
例5、若函数在定义域上为奇函数，则实数k=（ ）
错解：f(0)=0,则k=1
错因分析：忽视函数的定义域，直接通过f(0)=0,得 k=1
防范措施：已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域。
正解：
练习1、函数的单调递增区间是（ ）
A (-,1) B (1,+ ) C (2,+ ) D (-,0)
三、忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。
例6、（1）已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值。
错解 (a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8,
∴(a+)2+(b+)2的最小值是8.
错因分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。
正解：原式= a2+b2+++4=( a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4
= (1－2ab)(1+)+4，
由ab≤()2= 得：1－2ab≥1－=, 且≥16，1+≥17，
∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)，
∴(a + )2 + (b + )2的最小值是。
【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三相等”，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。
（2）求的最小值。
错解1
错解2
错误分析 在解法1中，的充要条件是
即这是自相矛盾的。
在解法2中，的充要条件是
这是不可能的。
正确解法1

其中，当
正 确 解 法2 取正常数，易得

其中“”取“＝”的充要条件是
因此，当
四、不进行分类讨论，导致错误
例7、(1)已知数列的前项和，求
错误解法
错误分析 显然，当时，。
错误原因：没有注意公式成立的条件是。
因此在运用时，必须检验时的情形。即：。

(2)实数为何值时，圆与抛物线有两个公共点。
错误解法 将圆与抛物线 联立，消去，
得 ①
因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得，解之得
错误分析（如图2－2－1；2－2－2）显然当时，圆与抛物线有两个公共点。
x
y
O
图2－2－2
x
y
O
图2－2－1

要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。
当方程①有一正根、一负根时，得解之，得
因此，当或时，圆与抛物线有两个公共点。
思考题：实数为何值时，圆与抛物线，
（1）有一个公共点；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共点。
五、以偏概全，导致错误
以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。
例8、设，，若，求实数a组成的集合的子集有多少个？
【错解】集合A化简得，由知故，代入得或，综上满足条件的a组成的集合为故其子集共有个
【易错点分析】此题由条件易知，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的值产生漏解现象。
【正解】：集合A化简得，由知故（Ⅰ）当时，即方程无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当时，即方程的解为3或5，代入得或。综上满足条件的a组成的集合为，故其子集共有个。
【知识点归类点拔】（1）在应用条件A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论或（2）在解答集合问题时，要注意集合元素的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质.
练1已知集合、，若，则实数的取值范围是 。答案：或。
练习2：已知集合，若，则实数的取值范围是 。
例9、集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
【错解】∵集合A只有一个元素，∴一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1，此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}
【错因分析】：上述解法对集合集合A只有一个元素，理解不到位，忽略“k＝0”这种情况，方程有一解，也满足集合A只有一个元素这一条件。
【规范解答】　(1)当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，
x＝2. 2分 此时集合A＝{2}.
(2)当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根.
只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}.
【思路点拨】　
反思1．讨论关于x的方程实数根的情况，从中确定k的取值范围，依题意，方程有一个实数根或两个相等的实数根或无实数根．明确集合A的含义→对k加以讨论→求出k值→写出集合A
2．本题因kx2－8x＋16＝0是否为一元二次方程而分k＝0和k≠0而展开讨论，从而做到不重不漏．“k＝0”这种情况最容易被忽视，只有在“k≠0”的条件下，方程kx2－8x＋16＝0才是一元二次方程，才能用判别式Δ解决问题．
3．集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果．需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．
例10 (1)设等比数列的全项和为.若，求数列的公比.
错误解法 ，

。
错误分析 在错解中，由，
时，应有。
在等比数列中，是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比的情况，再在的情况下，对式子进行整理变形。
正确解法 若，则有但，即得与题设矛盾，故.
又依题意 Þ Þ ,即因为，所以所以解得
说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。
(2)求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点。
错误解法 设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为
，消去得整理得
直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为
错误分析 此处解法共有三处错误：
第一，设所求直线为时，没有考虑与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。
第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。
第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。
正确解法 ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切。
②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点。
③一般地，设所求的过点的直线为,则，
令解得k = ,∴ 所求直线为
综上，满足条件的直线为：
例11、（2005高考北京卷）数列前n项和且。（1）求的值及数列的通项公式。
【易错点分析】此题在应用与的关系时误认为对于任意n值都成立，忽略了对n=1的情况的验证。易得出数列为等比数列的错误结论。
解析：易求得。由得故得又，故该数列从第二项开始为等比数列故。
【知识点归类点拔】对于数列与之间有如下关系：利用两者之间的关系可以已知求。但注意只有在当适合时两者才可以合并否则要写分段函数的形式。
【练12】（2004全国理）已知数列满足则数列的通项为 。
答案：（将条件右端视为数列的前n-1项和利用公式法解答即可）

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