一题多解妙趣横生.doc

一题多解，妙趣横生
湖北省襄阳市第五中学 刘军（邮编：441000）
一题多解是数学解题中很有趣的一项活动，它深刻揭示出数学思维的多向性、深刻性、灵活性，充分体现出数学是锻炼人的思维灵活性的价值理念.解题过程中，只要我们开动脑筋，细致思考，就能旁引博证，奇招连连，方法多多，妙趣横生.下面笔者通过对一道问题的研究，来加以说明，希望读者能从中有一定的启发和收获。
例：是否存在正数，使不等式对任意正实数、恒成立？试证明你的结论.若存在，则求出的值.
【方法1】猜想——证明.令，则有时，不等式恒成立.
下面给出证明：

.

综上知：对任意的正实数、恒有，
所以存在正常数满足题设要求.
点评：此题中的参变量与主变量已呈现分离状态，因此只需要求出左右两端式子的最值便求出了值.用的是猜想加证明的方法.可见合理的猜想是解决数学问题的重要方法之一.
【方法2】重要不等式法求最值.
∵

，
当且仅当时，取最大值.
又

，
当且仅当时，取最小值.
所以，使不等式对任意正实数、恒成立，当且仅当，所以存在正常数满足题设要求.
点评：【方法2】是利用重要不等式求左右两端的最值.关键是注意到中两项的分子分母的关系及中两项的分子分母的关系，非常巧妙的变为及变为形式，加以变形，即可利用重要不等式求出最值.
【方法3】整体转换——代数换元.
设解方程组 得

当且仅当即时，取最大值.

当且仅当即时，取最小值.
所以，使不等式对任意正实数、恒成立，当且仅当，所以存在正常数满足题设要求.
点评：【方法3】是受【方法2】的解法的启发获得的一种解法.由【方法2】中的式子
和特征知道，由重要不等式求最值时，应用的是分子和分母整体结构，从而引设来解决问题.
【方法4】利用分子分母关于和的一次齐次特征解题.
因为、是正实数，令，则所以有

当且仅当即，也就是时，取最大值.

当且仅当即，也就是时，取最小值.
所以，使不等式对任意正实数、恒成立，当且仅当，所以存在正常数满足题设要求.
点评：本解法是注意到左右两端式子的分子、分母关于一次齐次特征进行变形，以为整体量化为关于的一元函数来求解的.
高中数学问题, 综合性强, 题型较多, 有一定的难度.解答问题时, 认真分析条件和结论的结构特征是解题的立足点, 在此基础上寻找解决问题的途径. 解题中，熟知典型问题的常用解题套路也是十分必要的, 在积累经验的基础上求应变.
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