反比例函数案例设计.doc

反比例函数案例设计说明一、教学目标 知识与技能：（1）从现实情境和已有知识出发，讨论两个变量的相依关系，加深对函数概念的理解。（2）探索现实生活中数量之间的反比例关系，进一步体会和认识反比例函数这种刻画现实世界中特定关系的数学模型，并能从实际问题中求出反比例关系的解析式。过程与方法：经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比函数的概念。情感与态度、价值观：从现实情境和已有知识经验出发研究两个变量之间的相互关系，进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点。体现数学来源于生活实际，激发学生学习数学的热情和兴趣。 二、教材分析地位作用与方法：本小节属于全日制义务教育数学课程标准实验稿中“数与代数”领域，是我们在学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，再一次进入函数领域，通过本小节的学习，让学生感受到函数是反映现实生活的一种有效模型，同时，本小节的学习内容，直接关系到后续内容的学习，也可以说是后续内容基础。由于学生已学过正比例关系，一次函数，正比例函数等概念，由于打算采用新旧知识相联系的方法，让学生通过比较发现从而掌握新知识。通过观察、比较、发现、概括的方法来学习新知识。 教学重点：反比例函数的概念。教学难点：正确理解反比例函数的概念 三、教学过程 忆旧导新 师：我们已经学习了一次函数，请同学们对下列函数做出判断，请看大屏幕。（出示课件）下列函数哪一个函数不是一次函数？（1）y=-2x+3 （2）y=（3）y= （4）y=2x-1 生：（3）（4）不是。 师：都不是一次函数？那么它们是什么函数呢？ 生（一小部分）：-（露出茫然的神色） 生（一大部分）：-(窃窃私语)这个问题已经激发了这部分同学的好奇心和求知欲生（个别的几个）：是反比例函数吧。声音很小，显得很不自信师：（教师板书课题）对，就是反比例函数，为了清楚的了解它，下面我们一起对它做出具体的探究。学生已经具有了一次函数的概念，并且知道一次函数的一般形式，通过比较、辨析等活动，得出（3）（4）非一次函数，初步体验非一次函数的存在，为形成反比例函数埋下伏笔。（2）式与（3）式的结构是非常相似的，仅仅只是自变量的位置不同，这一变化，函数的特性发生了变化，将生成一种新的函数，从而会促进学生对新函数的探究意识。 操作探究师：我们学校距县城大约8千米，想一想，我们有哪些方式到县城？生1：乘汽车。生2：骑自行车。生3：做小车。生4：步行也可以。 师：很好。请大家完成表格的填写。（多媒体课件展示）活动1：见表格1：从南营到宜城有8千米，可以步行、骑自行车，坐公汽和小轿车，具体速度（千米/时）见下表：步 行骑 自 行 车乘 公 汽坐 小 轿 车V千米/时 415 30 60T小时师：时间是速度的函数吗?生1：是的，因为速度在变化，时间也在变化。生2：不全面，对于每一个v的取值，有唯一确定t的值与之对应。师：好极了，这两个变量之间的独特关系是什么？生4：随着v的增大，t在逐步减少？师：是，还有别的吗？生5：两个变量之积是8。师：很好。（板书：vt =8）师：想一想：v与t之间的关系还可以怎样表示？生6：v=8/t ,t=8/v 教师从学生各种乘车的经历入手，自然导入，使学生带着欢乐、求知、好奇的心态进入学境。从课程上讲 ，就是要把学生的个人知识、直接经验、生活的世界看成是重要的课程资源，尊重“儿童文化”，发掘“童心”、“童趣”的课程价值。从教学上讲，就是鼓励学生对教科书的自我解读、自我理解，尊重学生的个人感受和独特见解，使学习的过程成为富有个性的过程。从学习上讲，就是要把直接经验的改造与发展作为重要的学习目的。活动2、（课件展示）你能设计一个面积为20平方厘米的矩形吗？长x241510宽y1052042师：这样的矩形我们能设计多少个？生：无数个。师：矩形的宽是长的函数吗？为什么？生1：对于x的每一个确定值，y有唯一确定的值与之对应？师：在这两个问题中，y与x的关系相同吗？生2：不相同，上例中两个变量之积等于8，本题中两个变量之积等于20。生3：8和20都是常量，所以两个变量之间的关系是相同的。师：生3的思考非常有理，事实上，上述两个问题的背景虽然不同，但两个变量之间的关系是相同的，即两个变量之积是常量（数）我们把其中一个变量称为另一个变量的反比例函数。板书：y=k/x(k0 )“ 做”是一种尝试性探究活动，在实践中获得体验，在体验中感悟数学知识的价值（长方形面积公式），只有做，才能让猜想与假设变为真理。由于少年儿童习惯用孤立的观点看待周围的事物，总觉得量之间关系很神秘，让学生动手设计制作长方形实质是一个不断验证假设与猜想的过程。在这个过程中，他们能够体验到长与宽之间的相互联系、相互制约，从而加深理解和产生认识、情感、行为的变化。 让生活走进数学课堂，是课改所要求的基本教学理念，生活走进课堂，有利于学生以身体之、以心验之，生活走进课堂，能够大大提高学生学习热情，本例的两个情境是学生非常熟悉的且这两个情境中都蕴含有反比例函数关系的因素，因而多数学生都能够参与学习，在活动中体验反比例函数的关系本质特征，进而形成反比例函数概念。练习：下列函数表达式中，x表示自变量，那么哪些是反比例函数？k的值为多少？y=0.4/x y= x/2 x y=3y=6x+3 x y+7=0 y=5x1练习的重要目的是“识别”，识别是概念形成的重要环节，同时反馈反比例函数是否理解，反比例函数解析式是否掌握。的形式与反比例函数一般式有所变化，这其实是一种变式，不同的形式反映的本质特征是相同的，因此它容易激活学生思维。对数学知识的普遍联系性和数学的和谐美，在更高的层次上体验、领悟，进而将知识内化。 应用提高小明是一个爱动脑筋的学生，一次住院打点滴时，发现瓶中剩余药量随着时间推移而越来越少，因此，他认为瓶中剩下的药液量是时间的反比例函数，你认为他的想法对吗？生：（齐）对师：为什么？生1：一个变量增加，另一个变量减少，这不就是反比例函数吗？师：真的吗？下面我们一起来验证。（假设药瓶中有药液500毫升，每分钟滴25毫升。）时间t5101520剩药液量v（升）（升）3752501250它们的乘积1875250018750师：它们的乘积还是一个定值吗？t是v的反比例函数吗？生：真的还不是。师：你能写出v与t的关系式吗？生：v=500-25t师：其实v是t的一次函数。把握概念的本质特征需要一个过程，在这个过程中突出一些非体质因素的干扰，进而使概念的本质特征更加突出。随堂练习：1、你能举出两个反比例函数的实例吗？写出函数关系式。给学生足够的时间和空间，为他们创造展示他们能力和所学知识的机会。2、见课本P133做一做T2T3 。练习2具有很强的生活色彩，体现了反比例函数在日常生产上的应用，又一次体现数学来源于生活实际，激发学生学习数学的热情和兴趣，同时鼓励学生用数学的眼光分析实际问题，增强数学的应用意识。练习3这一环节通过对问题的分析解决，强化了学生对知识的理解，促进了知识的迁移、深化、巩固，进一步完善知识结构。 应用拓展例：已知y=(m2+2m)xm2+m-1当m为何值时，y是x的正比例函数？当m为何值时，y是x的反比例函数？分析：欲使y是x的正比例函数，根据正比例函数概念可知常数k，x的次数应满足一个什么条件？欲使y是x的反比例函数，根据反比例函数概念可知常数k，x的次数应满足一个什么条件？（解答过程略）（学生完成过程后，评价交流。）通过此例，可以让学生更准确的把握正、反比例函数的本质特征。让学生更进一步加深对反比例函数的运用和理解。小结：师：通过本节的学习，谈谈你有什么收获？（教师引导学生回忆、总结，教师予以补充。）生1：学习了反比例函数的意义。生2：认识了反比例函数的一般形式及学会了把生活中的问题用反比例函数来解决。生3：只要我们善于观察事物一定会发现新知识。 通过小结，归纳、总结所学，使学生把所学知识进一步内化、系统化。四、教学反思1、巧设初始问题，激发学习的欲望本节课开始，设计形式上相近的两个一次函数和两个反比例函数的式子，看似简单，却是一个好的初始问题，它为学生的思维活动提供了一个好的切入口，确定了一个好的方向，为学生的活动找到了一个载体，也能激发学生的探究欲望。学生已具有一次函数概念，结合已掌握的一次函数的一般形式，对上四式进行反复比较、辨认、排出，初步体验非一次函数的存在，另加教师一句追问，它们是什么函数？激励学生自主探究，从而为学生探究反比例函数埋下伏笔。2、巧借生活问题，体验概念的形成过程让学生体验概念的形成过程，即在什么情景中蕴含有概念的因素，在什么背景下初露端倪，如何经过分析、对比、归纳、抽象，最后形成理性的概念。这个过程，如果处理得当，对发展学生的数学思维很有利。本节课就是一节概念教学课，让学生从初步感知非一次函数到从两个背景不同生活问题中探讨两个变量之积是常量这一相同的特殊关系，经过分析、对比、归纳，初步完成反比例函数建构，这一过程虽然是逐步深入过程，也是学生容易体验概念形成过程。3、充分挖掘学生的错误资源孔子说过，“知之者不如好知者，好知者不如乐知者”只要让学生“乐之”，学习的效果就一定会很明显。由于学生在小学已经学习过反比例，因此他们容易将反比例和反比例函数混淆。在本节课中，设计“应用提高”这一环节，有意让学生犯错误，认为剩药液量是时间的反比例函数，让学生追寻着这些错误进行充分地探究，跌倒爬起，经历了一个曲折过程得出了一个与自己的猜想相矛盾的结论，因而有效的克服知识的负迁移，进而使反比例函数概念的本质特征更加突出。笔者深信学生亲身经历的这个探究过程要比教师直接讲授而得到的反比例函数的概念印象要深刻的多，以后再遇到反比例函数的概念的有关知识就会想起本节课他们所犯过的错误。- 6 -