数学知识点总结（第一章集合--第十五章复数）.pdf

目录目录.1第一章-集合.2第二章-函数.5第三章数列.9第四章-三角函数.13第五章-平面向量.19第六章-不等式.25第七章-直线和圆的方程.27第八章-圆锥曲线方程.31第九章-立体几何.35第十章-排列组合二项定理.43第十一章-概率.48第十二章-概率与统计.49第十三章-极限.51第十四章导数.53第十五章复数.56第1页共58页第一章-集合考试内容:集合、子集、补集、交集、并集.逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件.考试要求：(1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.(2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充 要条件的意义.01.集合与简易逻辑知识要点一、知识结构：本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分：二、知识回顾:(一)集合1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为Aq A；空集是任何集合的子集，记为(|)q A；空集是任何非空集合的真子集；如果Aq B,同时Bq A,那么A=8.如果A=6,Bj C,那么A=注:工二整数(J)Z=全体整数(X)已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.(X)(例：S=N；A=N+,则0sA=0)空集的补集是全集.若集合人=集合8,则Cb4=0,C小=0 Cs(C0=。(注：C小=0).3.(%,y)Lx y=0,xGR,yR坐标轴上的点集.(%,y)xy0,xR,yR 一、三象限的点集.注:对方程组解的集合应是点集.第2页共58页例：了)：3 解的集合(2,1).2x-3y=1点集与数集的交集是.(例：A=(x,y)l y=x+l B=y ly=f+1则 AG3=0)4.个元素的子集有2个.个元素的真子集有2 1个.个元素的非空真子集有2一2个.5.一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题O逆命题.一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题O逆否命题.例：若a+h 5,贝必丰2或Z?丰3应是真命题.解：逆否：a=2且匕=3,则a+0=5,成立，所以此命题为真.x w 1 且y w 2,%+y w 3.解：逆否：+y=3=1 或 y=2.尤H1且y H 2Ax+y工3,故x+y W 3是 H 1且2的既不是充分，又不是必要条件.小范围推出大范围；大范围推不出小范围.3.例：若%5,=x X 5或r Y 2.4.集合运算：交、并、补.交：Ar3o%lx w AJELx eB并：x l x e AMx e B补：Cl A x g U,jc A5.主要性质和运算律/、-wh Au A,u A,AuU,CuAuU,(1)包含关系：_，_，(/一，(2)等价关系：A,B AQjB=A AU5=B uB=U(3)集合的运算律：交换律：An 3=3n AAU3=3UA结合律：(An 3)n c=An(3n c)；(AU3)u c=Au(3u c)分配律：.AA(BUC)=(An 5)U(An C);AU(Bn C)=(AUB)n(AUC)0-1 律：DA=a)，UA=AUPIA=A,UUA=U等事律：An A=A,Alj A=A求补律：AGCuA=(p AUCuA=U,CuU=(p,Cv(p=U反演律：Q(AGB)=(CuA)U(Ci B)Cu(AUB)=(CuA)A(CuB)6.有限集的元素个数定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为c ard(A)规定c ard(c p)=0.基本公式：(l)car d(AJ B)=car d(A)+car d(B)-car d(A A B)(2)cwd(A U 8 U C)=car d,(A)+car d(B)+car d(C)-car d(A A B)-car d(BC C)-car d(C Pl A)+car d(ApBnC)(3)c ard(uA)=c ard(U)-c ard(A)第3页共58页(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根轴法(零点分段法)将不等式化为法n)&2”&-*10(0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)求根，并在数轴上表示出来；由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点(为什么？)；若不等式(x的系数化“+”后)是“0”，则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“X(自右向左正负相间)则不等式的+t z1Z _1+a2xn2+即0(0)的解可以根据各区间的符号确定.特例一元一次不等式ax b解的讨论；一元二次不等式ax2+bo x 0(a0)解的讨论.A0A=0A z一元二次方程ax+bx+c=0(a0画根有两相异实根%1,%2(汨 0(a0)的解集c、b 2a,R2ax+bx+c0)的解集国西 X 0(或工0)；虫 20(或工 W0)的形式，g(%)g(%)g(%)g(%)(2)转化为整式不等式(组)0o/(x)g(x)0；*)之 g(x)g(x)3.含绝对值不等式的解法(1)公式法：ax+q c(c 0)型的不等式的解法.(2)定义法：用”零点分区间法”分类讨论.(3)几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.4.一元二次方程根的分布一元二次方程 ax?+bx+c=0(aWO)(1)根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.第4页共58页(2)根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.(三)简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑 联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。构成复合命题的形式：P或q(记作“pVq”);P且q(记作“pAq”3、“或”、“且”、“非”的真值判断(1)“非P”形式复合命题的真假与F的真假相反；(2)“P且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假;(3)“P或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真.4、四种命题的形式：原命题：若P则q；逆命题：若q则P；否命题：若P则iq；逆否命题：若则IP。(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；）;非 P（记作q ）o原命题 若p则q否_3否命题若1 p则1 q(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题.5、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题O逆否命题)、原命题为真，它的逆命题不一定为真。、原命题为真，它的否命题不一定为真。、原命题为真，它的逆否命题一定为真。6、如果已知p=q那么我们说，P是q的充分条件，q是P的必要条件。若p=q且q=p,则称p是q的充要条件，记为pOq.7、反证法：从命题结论的反面出发(假设)，引出(与已知、公理、定理)矛盾，从而否定假设证明原命题 成立，这样的证明方法叫做反证法。第二章-函数考试内容：映射、函数、函数的单调性、奇偶性.反函数.互为反函数的函数图像间的关系.指数概念的扩充.有理指数累的运算性质.指数函数.对数.对数的运算性质.对数函数.函数的应用.考试要求：(1)了解映射的概念，理解函数的概念.(2)了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法.(3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数.(4)理解分数指数幕的概念，掌握有理指数哥的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和性质.(5)理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质.(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.02.函数知识要点一、本章知识网络结构：第5页共58页对数一对数函数二、知识回顾：(一)映射与函数1.映射与-映射2.函数函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域 也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.3.反函数反函数的定义设函数y=/(x)(x A)的值域是C,根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x=(p(y).若 对于y在C中的任何一个值，通过x=(p(y),x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(p(y)就表示y是自变 量,x是自变量y的函数，这样的函数x=(p(y)(yeC)叫做函数y f(%)(%e A)的反函数，记作X=/(y),习惯上改写成y=(二)函数的性质1.函数的单调性定义：对于函数f(X)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值X|,X2,若当xl X2时，都有f(Xi)f(X2),则说f(x)在这个区间上是减函数.若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间 叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.2.函数的奇偶性 a f(X)Q X.DD f(-x)=f(x),a 口口口 f(X)D./(X)是函数o/(-,)=K/W*/W a f(X)D Xf0D f(-X)=-f(X),D 口口 f(X)D.f(x)是奇函数 O7)=_/(x)o/(7)+/(x)=0o 缤=_1U(x)wQ)/w第6页共58页正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数，(%)为奇函数或偶函数的必要不充分条件；(2)/(-x)=/(x)或=-/(x)是定义域上的恒等式。2.奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数 的图象关于y轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也 可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增 减性相反.4.如果八元)是偶函数，则/(x)=lxl),反之亦成立。若奇函数在=0口寸有意义，贝1/(。)=。7.奇函数，偶函数：偶函数：f(x)=/(x)设(a,b)为偶函数上一点，则(-a,b)也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于y轴对称，例如：y=”+l在上不是偶函数.满足/(一幻=/(X),或/(_%)_/(x)=0,若/(x)，0时，=1./(-x)奇函数：/(-x)=-/(x)设(a,b)为奇函数上一点，则(-a,-b)也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如：y=1在口,1)上不是奇函数.满足/(%)=/(X),或/(x)+/(x)=O,若 时,=于(T)8.对称变换：y=/(x)轴对称y=/(_%)y=/(%)一对称)=_/(%)臼(%).原点对称“y=_/(_%)9.判断函数单调性(定义)作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如:/(修)一/(%2)=+庐-收+后=-=y=2=xx+b+q%+b在进行讨论.io.外层函数的定义域是内层函数的值域.X例如：已知函数八%)=1+-的定义域为A,函数然%)的定义域是B,则集合A与集合B之间的关系是 1-%解：A邛的值域是幻)的定义域3,f(x)的值域gR,故BwR,而4=卜1%。1,故BnA.11.常用变换：F(x+y)=/U)/(y)=f(x-y)=.证：/(%-)=f(y)f(x)=。且a w 1）的图象和性质y=12xz+2x-l I f I y I 关于 x 轴对称.熟悉分式图象：例：y=2x+i=2+7=定义域x lx w 3,x eR,%-3 x-3值域yly#2,ye/?一值域。x前的系数之比.（三）指数函数与对数函数对数函数ylogax的图象和性质:al0al图 象y，1y=lo gax-_一/性 质（1）定义：X7 Z),+8)（2）值域：R(3)过点(1,0),即当 x=l 时,y=0 x g(0,1)时 y 0X e(0,1)H t y 0 x g(l,+oo)时 y 0,N0,a 80,a wl,bA0,bwl,cA0,cwl,ai,a2.an aO 且 wl)注：当 a,0Y0 时，l o g QZ?)=lo g 6)+lo g G/?).：当时，取“+”，当是偶数时且MyO时，M0,而MYO,故取“一”.例如：10&%2。21。&%=(210&尤中%0 而 lo g/2 中 R).(2)y=a”(。上0,。彳1)与y=l o g a X互为反函数.当时，y=lo g“x的a值越大，越靠近x轴；当0Y4Y1时，则相反.(四)方法总结(1).相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.函数表达式的求法：定义法；换元法；待定系数法.反函数的求法：先解x,互换x、y,注明反函数的定义域(即原函数的值域).函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的 依据为分母不为0;偶次根式中被开方数不小于0;对数的真数大于0,底数大于零且不等于1；零指数募 的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等.函数值域的求法：配方法(二次或四次)；“判别式法”；反函数法；换元法；不等式法；函数 的单调性法.单调性的判定法：设X,X2是所研究区间内任两个自变量，且X|VX2；判定f(x j与f(X2)的大小；作差比较或作商比较.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：f(-x)=f(x)为偶 函数；f(-x)=-f(x)为奇函数;f(-X)-f(x)=0 为偶；f(x)+f(-x)=0 为奇；f(-x)/f(x)=l 是偶；f(x)4-f(-X)=-1 为奇函数.(8).图象的作法与平移：据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸 缩变换；利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.第三章数列考试内容：数列.等差数列及其通项公式.等差数列前n项和公式.等比数列及其通项公式.等比数列前F项和公式.考试要求：第9页共58页(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数 列的前几项.(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题.03.数列知识要点1.等差、等比数列:等差数列等比数列定义an A P an+x-an=d(常数)为G P o=以常数)通项公式an=a+(n-1)d=ak+(n-k)d=dn+-dn nk求和公式+an)nn-1),sn=-=na H-a=+(qS“=2)a”=kn+h(n,k 为常数).看数列是不是等比数列有以下四种方法：即=即_闯(之2,1为常数且w 0)a：=a+i(n2,anan+lan_i。0)注：i.h=yac,是a、b、c成等比的双非条件，即b=&还=b、c等比数列.ii.b=y/ac(ac 0)f为a、b、c等比数列的充分不必要.iii.A=而一为a、b、c等比数列的必要不充分.i v.b=J应且ac x()f为a、b、c等比数列的充要.注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac 0,则等比中项一定有两个.斯=(c,q为非零常数).正数列即成等比的充要条件是数列lo g,a.(x l)成等比数列.数列 a”的前八项和S”与通项a“的关系：.sn-sn_(n2)注:即=田+(-lM=d+(ai-d)(d可为零也可不为零一为等差数列充要条件(即常数列也是等差数列)一若d 不为0,则是等差数列充分条件).等差册前项和S产An2+Bn=f9可以为零也可不为零f为等差的充要条件若d为零,则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件.非军常数列既可为等比数列，也可为等差数列.(不是非零，即不可能有等比数列)2.等差数列依次每项的和仍成等差数列，其公差为原公差的F倍枭,S2-S,S3-S2公.；S奇 an若等差数列的项数为20gn+),则S偶一5奇=M匕-=-；若等差数列的项数为2-1gN+),则且S奇-5偶=a，包=/_二代入到2-1得到所求项数.3.常用公式：1+2+32/+22+32+2=小+吠2+1)62尸+23+33 3=卜(+1)一_ 2 _注:熟悉常用通项：9,99,999,.na=10-1；5,55,555,=即-1).4.等比数列的前7项和公式的常见应用题：生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为a,年增长率为r,则每年的产量成等比数列，公比为1+r.第11页共58页其中第八年产量为a（l+r）T,且过年后总产量为:a+a(l+r)+a(l+r)2+.+a(l+r),i _ 1=l-(l+r)银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存。元，利息为r,每月利息按复利计算，则每月的。元过个月后便成为。（1+r）”元.因此，第二年年初可存款：a(l+r)l-(l+r)12 l-(l+r)a(l+r)12+(l+r)11+(l+r)10+.+a(l+r)=分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为。元；”为“个月将款全部付清；为年利率.a(l+r)“=x(l+r)”+QrQ+r广x(l+r)+x=a(l+r)，n5.数列常见的几种形式：a”+2=pa+i+q a（P、4为二阶常数）-用特证根方法求解.具体步骤：写出特征方程x 2=Px+q（一对应a4+2,%对应。+1）,并设二根片,2若%产2可设，若占=%2可设。=（。1+。2八）：；由初始值即,。2确定“C2.a,产&a+r（P、r为常数）一用转化等差，等比数列；逐项选代；消去常数转化为斯+2=2即+1+的”的 形式，再用特征根方法求a“；a“=ci+c2Pl（公式法），sc由的,。2确定.转化等差，等比：a+i+x=P(an+x)a+)=Pan+Px x=-p 1选代法：an=Pan_+r=P(Pan_2+r)+r=-=an=(ai+=(a+x)P-xp p =Pnial+Pn-2-r+-+Pr+r.用特征方程求解：I b的o Ln an+i-aj Paa-Pain aa+id P+Dan-Pai.an=Pan+r 由选代法推导结果：c j=-一，c2=i+-，=c2P/，-l+C=（+-一）Pl+-一.1-P P-1 P-P6.几种常见的数列的思想方法：等差数列的前项和为S,在d YO时，有最大值.如何确定使S”取最大值时的值，有两种方法：一是求使即2 0,即+1 YO,成立的值；二是由金=42+3一：|）鹿利用二次函数的性质求的值.如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：1-1,32n-1）2 4 2n两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两 个数列公差山，打的最小公倍数.2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：（1）定义法:对于n 22的任意自然数，验证为-（巴二）为 an-同一常数。通项公式法。（3）中项公式法:验证2a+=a”+a_ 2（a；+i=aa+2）e N都成立。第12页共58页d 03.在等差数列,中，有关Sn的最值问题：(1)当勾0,d0时，满足1 一 的项数m使得S,”取最大值.(2)当、根+1 0a 0时，满足加一 的项数m使得%取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时，注意转化思想的应用。相+1 (三)、数列求和的常用方法1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2.裂项相消法:适用于 其中即是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数 列等。3.错位相减法:适用于4a其中 4是等差数列，也是各项不为0的等比数列。4.倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法.5.常用结论1)1+2+3+n-22)l+3+5+.+(2n-l)=几,e Fl I23)I3+23 H-n=n(n+1)4)I2+22+32+-+H2=3伽+1)(2+1)6、1 1 1 1 1/1、5)-=-=(-)nn+1)n n+1 nn+2)2 n +2、1 I/ll、，、6)二(一)(/pq q-p p q第四章-三角函数考试内容：角的概念的推广.弧度制.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数y=Asin(3x+(p)的图像.正切函数的图像和性质.已知三角函 数值求角.正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.考试要求：(1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算.(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义.(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.(4)能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数丫=人5皿3 x+(p)的简图，理解A3、(p的物理意义.(6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arc si nx arc-c o sx arc t anx表示.(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形.第13页共58页(8)“同角三角函数基本关系式：si n2a+c o s2a=1,si na/c o sa=t ana,t ana*c o sa=104.三角函数知识要点1.与a(0a0)定义域RRj x 1 x g Rl l x H A兀+An,/:g zjx l x e R.ft x w 攵兀，e Z R值域-1,+1-1,+1RR-A A周期性2ji2n兀712兀 c o奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当”0,非奇非偶 当（p=0,奇函数单调性+2%瓦,2-+2k7l2上为增函数；-+2kn,2+2k7l2上为减函数(左 Z)侬-5,.2k7l,上为增函数2人兀，（2k+1R上为减函数（keZ）(兀 7 7 1 7)-+kn,+kn1 2 2 J上为增函(攵 eZ)数（E,化+）上为减函数（4e Z）兀2/cti (D-(A),3 12kn+兀-(p-(-A)_ 3 上为增函数；兀 1+(p-z(A),3 32kn+兀-(p-z-(T)_ 3 上为减函数(攵 eZ)注意:y=-5也%与 y=sinx 的单调性正好相反;y=-c o sx与 y=c o sx 的单调性也同样相反.一般地，若 y=/（x）在a,切上递增（减），则y=-/（x）在例上递减（增）.y=si nA|与y=|c osa|的周期是兀.、2tt丁=sin3x+（p）或 y=c o s3x+（p）（c o w O）的周期 T=一,v=t an龙的周期为2兀（7.兀=7一2兀，如图，翻折无效）2 阿=sin3x+（p）的对称轴方程是x=E（Z eZ）,对称中心（桁,0）;y=c o s3x+（p）的对称轴方程是x=左兀（keZ）,对称中心（e+Lo）；y=t an3%+（p）的对称中心（”,0）.2 2y=c o s2x-y=-c o s（-2x）=-c o s2x(5 t ana t an 0=1,a+0=fo r+g(攵 e Z)；t ana t an 0=-l,a-P=fo r+、(攵 g Z).第16页共58页y=c o sx与y=sjn*+*+2E i是同一函数，而y=（c o x+（p）是偶函数，则y-(3x+(p)=si n(c o x+kit+兀)=c os(c o x)函数y=t an x在R上为增函数.（x）只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，y=t anx为增函数，同样也是错误的.霞义域关于原点对称是.f（%）具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：/（-X）=/（%）,奇函数：_%）=一/（幻）奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：y=t anx是奇函数，=t an（x+1兀）是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）3 Ay奇函数特有性质：若。工的定义域，则/（x）一定有/（0）=0.（0代工的定义域，则无此性质）y=si n|A|不是周期函数；y=sin;t|为周期函数（7=冗）；y=c o科是周期函数（如图）；y=c o s%为周期函数（7=兀）；y=c o s2x+l的周期为兀（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如:2y=f(x)=5=于(x+k),k g R.y=ac o sa+/?sinp=yla2-b2 si n(x+(p)+c o s(p=Wj a2+h2 y.a11、三角函数图象的作法：y=coslxl 图象y=l c o s2x+l/2l 图象1）、几何法:2）、描点法及其特例五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.3）、利用图象变换作三角函数图象.三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.函数y=Asin（w x+（p）的振幅|A|，周期？=生，频率,=J_=，相位3%+（p；初相（p（即当x=0时的相位）.（当 Ic o I T 2 兀A0,w 0时以上公式可去绝对值符号），由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当IAI1）或缩短（当0VIAIV1）到原来的IAI倍，得到y=Asin x的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.（用y/A替换y）由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0lw ll）到原来的倍，得到y=sinw x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.（用U）x替换x）由y=sinx的图象上所有的点向左（当（p0）或向右（当（p0）或向下（当b0,w 0）（x GR）的图象，要特别注意：当 周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。4、反三角函数：函数y=s in x,卜兀的反函数叫做反正弦函数，记作y=arc s inx,它的定义域是-1,1,值域是卜兀,.函数y=c o s%,（%0,）的反应函数叫做反余弦函数，记作y=arc c o sx,它的定义域是1,1,值域是0,TT .第17页共58页函数y=t an r,卜e卜兀兀）的反函数叫做反正切函数，记作y=arc t aiir,它的定义域是（一8,+8）,值域是三三）函数y=c t g x,%（0,）的反函数叫做反余切函数，记作y=arc c t g x,它的定义域是（一8,十8）,值域是（0,n）.II.竞赛知识要点一、反三角函数.1.反三角函数：(1反正弦函数y=arc sin%是奇函数，故arc sinj%)=-arc sinx,x e-l,l(一定要注明定义域，若x e(-8,+o o)，没有1与y-对应，故丁=sinx无反函数)注：sin(arc sinX)=无，arc sinx e L 2 2_(2反余弦函数 y=arc c o s x非奇非偶，但有arc c o sj无)+arc c o s(r)=兀+2E,%w-1,1.注：(Dc o s(arc c o st)=x%e-1,1 arc c o sx g 0,ti.y=c o sx是偶函数，y=arc c o s x非奇非偶，而y=sinx和y=arc sin%为奇函数.(3反正切函数：y-arc t an x,定义域(8,+),值域(-三,三)，y=arc t an%是奇函数，2 2arc t an 6%)=-arc t anx，X G(o o,+o o).注：t an(arc t aix)=x,X e(-o o,+o o).(4反余切函数：y=ar c c o t x,定义域(-8,+8),值域(一，)，V=。房双%是非奇非偶.arc c o t(-x)+ar ccot Q c)=冗+2也，X G(o o,+o o).注：(Dc o t rc c o t x)=x,X G(-00,+o o).y=arc sinx与y=arc si nQ-X)互为奇函数，y=arc t anx同理为奇而y=arc c o s与y=ar ccot x非奇非偶但满足 arc c o s(-x)+arc c o sx=ti+2kn,x e l,lrc c o t x+rc c o t x)=7 1+2kTt.x e1,1.正弦、余弦、正切、余切函数的解集：。的取值范围解集si n x=a的解集a 1 0=1 x l x=2攵兀+arc si na,Z w Z V1,I x=E+（-1）arc sine,左 Z。的取值范围解集c o s%=a的解集|a|l 0a=1 x I%=2祈+arc c o sa,Z g ZC l 1%l%=E arccosa,k eZtan光=a 的解集：%I%=左兀+arctana,A w Z005=的解集：xl x=E+arccota,Z wZ二、三角恒等式.组一c o sa c o s2a c o s4a.c o s2z,a组二sin2/,+la2 sinasi n3a=3sina-4sin3ac o s3a=4c o s3 a-3c o sasin2 a-sin2 p=sin(a+p)si n(o c-p)2 Q 2=c o s p-c o s aana=c o sc o sc o sc o s2”si na2sin 2n2a4a8a第18页共58页/、si n(W+l)d)c o sa+d)c o s(x+Z d)=c o sx+c o s(r+d)+Fc o s(r+n)=-sinJsi n(x+Z d)=sinx+si n(r+d)H-s in(x+nd)=sin(3+l)d)si n(x+nd)si ndt an 奴+p 4-y)-团101+t an p+t any-t ana t an p t any1-t ana t anp-t anp t any-t any t ana组三三角函数不等式si n x x t anx,a:e(0,)/(%)=如？在(0,兀)上是减函数2%若 A+3+C=tu,则/+黄+Z?之 2yzeo sA+2%zc o sB+2盯c o sC第五章-平面向量考试内容：向量.向量的加法与减法.实数与向量的积.平面向量的坐标表示.线段的定比分点.平面向量的数量积.平面两 点间的距离、平移.考试要求：(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.(2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌 握向量垂直的条件.(6)掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式.05.平面向量知识要点1.本章知识网络结构-4平面两点间距7S I,I平移公式 1国本军用|一段的定比分点|2.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法AB；字母表示：田坐标表示法a=x i+y j=(x,y).(3)向量的长度：即向量的大小，记作I。I.(4)特殊的向量：零向量a=0o I a I=0.单位向量4。为单位向量O II=1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(X1,y 1)=(X2,y 2)0为 不Ji=乃(6)相反向量：a=-bob=-a=a+b=O平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作b.平行向量也称为共线向量.第19页共58页3.向量的运算运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的 加法1.平行四边形法则2.三角形法则a+b=(xi+x2,yi+y2)a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)AB+BC=AC向量的 减法三角形法则a-b=(xl-x2,yi-y2)ab=a+(Z 7)AB=-BA,OB-OA=AB数 乘 向 量1.花是一个向量，满足：队*=1九11泊2.入 0时，Xa与a同向;入 0时，九a与异向；入=0 时，Xa=0-九a=(4光，九y)M|na)=(却)(k+A)a=ka+ia k(a+b)=ka+kb allb oa=Xb向 量 的 数 量 积a石是一个数1.a=。或石=0时，=0.Z.0且 Bw N 寸，2.一 M=abcos(a,b)a9b=xx2+y1y2ab=t f a(入 a)b=a(入初=九3 B)(a+石)c=a c+5 ca=1 a 2 即lal=+y，a*bab4.重要定理、公式(1)平面向量基本定理a,e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数*1,A 2,使a=*262.(2)两个向量平行的充要条件a/b%2yl=0.(3)两个向量垂直的充要条件 8=0 O%iX2+yiy2=0.(4)线段的定比分点公式设点P分有向线段所成的比为R,即 户=*PP,则 1 1-op=一丁。6+-OP2(线段的定比分点的向量公式)1+X 1+X九1 十就2X-9 1+入(线段定比分点的坐标公式)M+九%V=-.第20页共58页i dl当人=1时，得中点公式:0P=-2x=(函+诬)或y=两+%22，乃+为2(5)平移公式设点PG,y)按向量。=(h,k)平移后得到点P(/,-22 j 2 2附：证明：c o sC=M-,得在钝角A3。中，c o s。Y 0 o c J+b?-c Y 0,0屋+2 Yc 2ab平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.甲+小甲=2(甲+心空间向量1.空间向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量.注：空间的一个平移就是一个向量.向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.2.空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下OB=OA+AB=a+bBA=OA-OB=a-bOP=Xa(kR)运算律：加法交换律：ab=b+a(2)加法结合律：(&+B)+e=+(5+彳)第22页共58页(3)数乘分配律：X(a+b)=Xa+Xb3.共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.万平行于B记作allb.当我们说向量万、5共线(或日5)时，表示万、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线.4.共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量日、b(Bw O),日B的充要条件是存在实数九 使日推论：如果/为经过已知点a且平行于已知非零向量二的直线，那么对于任意一点。，点p在直线/上的充要 条件是存在实数，满足等式OP=OA+t a.其中向量5叫做直线/的方向向量.5.向量与平面平行：已知平面a和向量M，作。4=4，如果直线OA平行于a或在a内，那么我们说向量日平行于平面a，记作：alia.通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量.说明：空间任意的两向量都是共面的.6.共面向量定理：如果两个向量。石不共线，力与向量25共面的充要条件是存在实数,y使力=加+、尻推论：空间一点P位于平面MA8内的充分必要条件是存在有序实数对x,y,使标=j d西+J丽或对空间任一点0,有痂=两+x丽5+y丽 式叫做平面K48的向量表达式.7.空间向量基本定理：如果三个向量7及不不共面，那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使=S+.推论：设。A氏。是不共面的四点，则对空间任一点尸，都存在唯一的三个有序实数羽y,z，使加=砺+z双.8.空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量第方，在空间任取一点。，作至=砺，则/AO8叫做向量&与