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硕翰学院高三第十六周周考试题
理 科 数 学
注意事项：
1．本次数学考试满分150分，答题时间120分钟。
2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡指定的边框内上，超出边框或者写在本试题卷上无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若a为实数，且2+ai=(1+i)(3+i)，则a=
(A) -4 (B) 一3 (C) 3 (D) 4
2.设x∈R，则“l<x<2”是“l<x<3”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
3.下列四个命题，其中正确命题的个数
①若a＞｜b｜，则　 ②若a＞b，c＞d，则a一c＞b一d
③若a＞b，c＞d，则ac＞bd ④若a＞b＞0，
(A)3个　 (B)2个　 (C)1个　 (D)0个
4.从5本不同的书取3本分给2个同学，每人至少1本，则不同的分配方法总数为
（A）48 （B） 60 （C）72 （D）120
A
B
D
C
x
y
O

x
y
O
x
y
O
x
y
O
（D）
（A）
（C）
（B）
5.若,满足，实数满足,则关于的函数图象是

6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为8，则
输出的值为
(A)546 (B)547 (C)1067 (D)1066
7.一条光线从点射出，经轴反射后与圆
相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
(A) 或 (B)或
(C)或 (D)或
x
x
A
B
P
y
O
8.函数的部分图象如图所示，设是图象
的最高点，A、B是图象与轴的两个交点，记，则
(A) (B) (C) (D)
9.定义在上的函数满足，对上任意两点,
都有 .若实数是定义域内的任意两个数，则点满足的概率是
（A） （B） （C） （D）
10.设D是函数定义域内的一个子区间，若存在，
使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间D上存在次不动点，若函数在区间上存在次不动点，则实数a的取值范围是
(A) (B) (C) (D)

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分. 本大题共25分。
11．直线x－2y－3＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E、F两点，则△ECF的面积为 ▲ ．
12．设x,y满足约束条件,则的取值范围是 ▲ .
13.已知函数f(x)＝，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是 ▲ ．
14.在梯形中，，，为梯形所在平面上一点，且满足，，为边上的一个动点，则的最小值为 ▲ ．
15．若曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”．下列方程：①；②；③；④对应的曲线中存在“自公切线”的有 ▲ .
三、解答题：本大题共6小题，16-19每小题12分，20小题13分，21小题14分，本大题共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）已知为公差不为0的等差数列的前项和，且，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．

17．（本小题满分12分）
已知,,
且函数
（1）设方程在内有两个零点，求的值；
（2）若把函数的图像向左平移个单位,再向上平移2个单位,得函数图像,求函数在上的单调增区间．
18.（本小题满分12分）
高三学生小王在寒假中报名参加了驾校培训，按规定参与驾校培训的学员依次参加理论、场地、道路三轮考试，上一轮考试未通过，不可以参加下一轮考试，每一轮考试有两次考试机会.如果他在某一轮考试未通过，他将不得不放弃本次寒假的培训考试.假设他在培训后每轮的第一次考试通过的概率为0.9，第二次考试通过的概率为0.8，两次考试的结果互不影响，每轮考试的结果互不影响.
(Ⅰ)求小王在第一轮理论考试中通过的概率；
(Ⅱ)假设小王理论考试已经通过，表示他在场地和道路考试中参加的考试总次数，求的分布列和数学期望.

19.（本小题满分12分）
已知几何体如图所示，是正三角形，四边形为菱形，面面，，，是边的中点.
(Ⅰ)求证：面⊥面；
(Ⅱ)求面与面所成的锐二面角的余弦值.

20.（本小题满分13分）
已知f(x)＝ax2 (a∈R)，g(x)＝2ln x.
(Ⅰ)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；
(Ⅱ)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不等解，求a的取值范围．

21.（本小题满分14分）
已知函数，其图象经过点，且在点处的切线斜率为（为自然对数的底数）．
(Ⅰ)求实数、的值；
(Ⅱ)若不等式对任意恒成立，求的最大整数值；
（Ⅲ）证明：.

硕翰学院高三第十六周周考试题
理科数学参考答案及评分意见
一、选择题
1-5 D ACBA 6-10 ADDBB
二、填空题
11． 12. ； 13. (0,1) 14． 15．②③
三、解答题
16．（Ⅰ）,；（Ⅱ）．
试题解析：（Ⅰ）由已知，得，即 得
又由， 得，故；
（Ⅱ）由已知可得，

,
17. （1）3；（2）在和上递增
（1）

而，得：，而，得：或
所以．
(2)
左移可得，
上移2-个单位可得，
则的单调递增区间：
，则，
而，得：在和上递增
18．（1）设王强同学在第一轮理论考试中第一次通过为事件，第二次通过为事件，王强同学在第一轮理论考试中通过为事件，由题：
5分
（2）设王强同学在第二轮场地考试、第三轮道路考试的两次考试中通过分别为事件，又2,3,4 6分

10分
所以的分布列为

2
3
4

0.83
0.162
0.008

所以， 12分
19.（1）证明： 面面ACDB，又面面ACDB=AB，BC面ACDB
BC⊥面ABF，又AG面ABF AG⊥BC
又是正三角形，G是边BF的中点， AG⊥BF
又 AG⊥面BCF 又面AGE
面AGE⊥面BCF 6分
（2）如图建立空间直角坐标系，则 ，由及BC=4，BD=2知：，则
由（1）知平面BCF的法向量为，又
设平面CDE的法向量为，则
取
设与的夹角为，则
面BCF与面DCE所成的锐二面角的余弦值为 13分
20．解析： (1)F(x)＝ax2－2ln x，其定义域为(0，＋∞)，所以F′(x)＝2ax－＝ (x>0)．
①当a>0时，由ax2－1>0，得x>.由ax2－1<0，得0<x<.
故当a>0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
②当a≤0时，F′(x)<0 (x>0)恒成立．故当a≤0时，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．
(2)原式等价于方程a＝＝φ(x)在区间[，e]上有两个不等解．
由φ′(x)＝易知，φ(x)在(，)上为增函数，
在(，e)上为减函数，则φ(x)max＝φ()＝，而φ(e)＝<＝＝φ()．
所以φ(x)min＝φ(e)，
如图可知φ(x)＝a有两个不等解时，需≤a<.
即f(x)＝g(x)在[，e]上有两个不等解时，a的取值范围为.
21．解析： (1)∵，∴，此时，
依题意，所以 ………………………………………4分
(2)由（1）知：, 当时,
当时，设，则 ……………………6分
设，则，在上是增函数
因为，，
所以，存在，使 ………………………………………………8分
时，，，即在上为减函数；
同理在上为增函数 ,从而的最小值为
所以，的最大整数值为…………………………………………10分．
(3)由（2）知，当时，，
所以，即，
所以

…………………………… 14分
8