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因式分解练习题 一、填空题(103=30)1、计算3103-104=_2、分解因式 x3y-x2y2+2xy3=xy(_)4、分解因式 4x2-4xy+y2=_5、分解因式 x2-5y+xy-5x=_6、当k=_时，二次三项式x2-kx+12分解因式的结果是(x-4)(x-3)7、分解因式 x2+3x-4=_8、已知矩形一边长是x+5，面积为x2+12x+35,则另一边长是_9、若a+b=-4,ab= ,则a2+b2=_10、化简1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)1995=_二、选择题(123=36)1、下列各式从左到右的变形，是因式分解的是( )A、m(a+b)=ma+mb B、ma+mb+1=m(a+b)+1C、(a+3)(a-2)=a2+a-6 D、x2-1=(x+1)(x-1)2、若y2-2my+1是一个完全平方式，则m的值是( )A、m=1 B、m=-1 C、m=0 D、m=13、把-a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)分解因式正确的结果是( )A、(x-y)(-a-b+c) B、(y-x)(a-b-c)C、-(x-y)(a+b-c) D、-(y-x)(a+b-c)4、-(2x-y)(2x+y)是下列哪一个多项式分解因式后所得的答案( )A、4x2-y2 B、4x2+y2 C、-4x2-y2 D、-4x2+y25、m-n+ 是下列哪个多项式的一个因式( )A、(m-n)2+ (m-n)+ B、(m-n)2+ (m-n)+ C、(m-n)2- (m-n)+ D、(m-n)2- (m-n)+ 6、分解因式a4-2a2b2+b4的结果是( )A、a2(a2-2b2)+b4 B、(a-b)2C、(a-b)4 D、(a+b)2(a-b)27、下列多项式(1) a2+b2 (2)a2-ab+b2 (3)(x2+y2)2-x2y2(4)x2-9 (5)2x2+8xy+8y2，其中能用公式法分解因式的个数有( ) A、2个 B、3个 C、4个 D、5个8、把多项式4x2-2x-y2-y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是( )A、(4x2-y)-(2x+y2) B、(4x2-y2)-(2x+y)C、4x2-(2x+y2+y) D、(4x2-2x)-(y2+y)9、下列多项式已经进行了分组，能接下去分解因式的有( )(1) (m3+m2-m)-1 (2) 4b2+(9a2-6ac+c2)(3) (5x2+6y)+(15x+2xy) (4)(x2-y2)+(mx+my)A、1个 B、2个 C、3个 D、4个10、将x2-10x-24分解因式，其中正确的是( )A (x+2)(x-12) B(x+4)(x-6) C(x-4)(x-6) D(x-2)(x+12) 11、将x2-5x+m有一个因式是(x+1)，则m的值是( )A、6 B、-6 C、4 D、-412、已知x2+ax-12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是( )A、3个 B、4个 C、6个 D、8个三、分解因式(65=30)1、x-xy2 3、x3+x2y-xy2-y3 4、1-m2-n2+2mn 5、(x2+x)2-8(x2+x)+12 6、x4+x2y2+y4四、已知长方形周长为300厘米，两邻边分别为x厘米、y厘米，且x3+x2y-4xy2-4y3=0，求长方形的面积。(6)五、分解因式(x2+5x+3)(x2+5x-23)+k=(x2+5x-10)2后，求k的值。(6) 六、已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式(x+5)，且m+n=17，试求m、n的值。(6) 七、设多项式A=(a2+1)(b2+1)-4ab(1)试将多项式写成两个非负数的和的形式。(2)令A=0，求a、b的值。 (6)2.x2+3x-10 3.x2-x-20 4.x2+x-6 5.2x2+5x-3 6.6x2+4x-2 7.x2-2x-3 8.x2+6x+8 9.x2-x-12 10.x2-7x+10 11.6x2+x+2 12.4x2+4x-3 解方程：（x的平方+5x-6）分之一=（x的平方+x+6）分之一 十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解. 1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数. 2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式.（2）用十字相乘法来解一元二次方程. 3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快,能够节约时间,而且运用算量不大,不容易出错. 4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单,但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单.2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目.3、十字相乘法比较难学. 5、十字相乘法解题实例： 1)、 用十字相乘法解一些简单常见的题目 例1把m+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-112,-26,-34,-43,-62,-121当-12分成-26时,才符合本题 因为 1 -2 1 6 所以m+4m-12=（m-2）（m+6） 例2把5x+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为15,-8可分为-18,-24,-42,-81.当二次项系数分为15,常数项分为-42时,才符合本题 因为 1 2 5 -4 所以5x+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3解方程x-8x+15=0 分析：把x-8x+15看成关于x的一个二次三项式,则15可分成115,35. 因为 1 -3 1 -5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 例4、解方程 6x-5x-25=0 分析：把6x-5x-25看成一个关于x的二次三项式,则6可以分为16,23,-25可以分成-125,-55,-251. 因为 2 -5 3 5 所以 原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0 所以 x1=5/2 x2=-5/3 2)、用十字相乘法解一些比较难的题目 例5把14x-67xy+18y分解因式 分析：把14x-67xy+18y看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为114,27, 18y可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为 2 -9y 7 -2y 所以 14x-67xy+18y= (2x-9y)(7x-2y) 例6 把10x-27xy-28y-x+25y-3分解因式 分析：在本题中,要把这个多项式整理成二次三项式的形式 解法一、10x-27xy-28y-x+25y-3 =10x-（27y+1）x -（28y-25y+3） 4y -3 7y -1 =10x-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1） =2x -（7y -1）5x +（4y -3） 2 -（7y 1） 5 4y - 3 =（2x -7y +1）（5x +4y -3） 说明：在本题中先把28y-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1）,再用十字相乘法把10x-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为2x -（7y -1）5x +（4y -3） 解法二、10x-27xy-28y-x+25y-3 =（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3 2 -7y =（2x -7y）+1 （5x -4y）-3 5 4y =（2x -7y+1）（5x -4y -3） 2 x -7y 1 5 x - 4y -3 说明:在本题中先把10x-27xy-28y用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解为（2x -7y）+1 （5x -4y）-3. 例7：解关于x方程：x- 3ax + 2aab -b=0 分析：2aab-b可以用十字相乘法进行因式分解 x- 3ax + 2aab -b=0 x- 3ax +（2aab - b）=0 x- 3ax +（2a+b）（a-b）=0 1 -b 2 +b x-（2a+b） x-（a-b）=0 1 -（2a+b） 1 -（a-b） 所以 x1=2a+b x2=a-b 5-7(a+1)-6(a+1)2 =-6(a+1)2+7(a+1)-5 =-2(a+1)-13(a+1)+5 =-(2a+1)(3a+8); -4x3 +6x2 -2x =-2x(2x2-3x+1) =-2x(x-1)(2x-1); 6(y-z)2 +13(z-y)+6 =6(z-y)2+13(z-y)+6 =2(z-y)+33(z-y)+2 =(2z-2y+3)(3z-3y+2). 比如.x2+6x-7这个式子 由于一次幂x前系数为6 所以,我们可以想到,7-1=6 那正好这个式子的常数项为-7 因此我们想到将-7看成7*（-1） 于是我们作十字相成 x +7 x -1 的到（x+7）（x-1） 成功分解了因式 3ab2-9a2b2+6a3b2 =3ab2(1-3a+2a2) =3ab2(2a2-3a+1) =3ab2(2a-1)(a-1) 5-7(a+1)-6(a+1)2 =-6(a+1)2+7(a+1)-5 =-2(a+1)-13(a+1)+5 =-(2a+1)(3a+8); -4x3 +6x2 -2x =-2x(2x2-3x+1) =-2x(x-1)(2x-1); 6(y-z)2 +13(z-y)+6 =6(z-y)2+13(z-y)+6 =2(z-y)+33(z-y)+2 =(2z-2y+3)(3z-3y+2). 比如.x2+6x-7这个式子 由于一次幂x前系数为6 所以,我们可以想到,7-1=6 那正好这个式子的常数项为-7 因此我们想到将-7看成7*（-1） 于是我们作十字相成 x +7 x -1 的到（x+7）（x-1） 成功分解了因式 3ab2-9a2b2+6a3b2 =3ab2(1-3a+2a2) =3ab2(2a2-3a+1) =3ab2(2a-1)(a-1) x2+3x-40 =x2+3x+2.25-42.25 =(x+1.5)2-(6.5)2 =(x+8)(x-5) 十字相乘法 这种方法有两种情况. x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) kx2+mx+n型的式子的因式分解 如果如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d) 图示如下： a b c d 例如：因为 1 -3 7 2 -37=-21,12=2,且2-21=-19, 所以7x2-19x-6=(7x+2)(x-3) 十字相乘法口诀：首尾分解,交叉相乘,求和凑中 分组分解法 分组分解是解方程的一种简洁的方法,我们来学习这个知识. 能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式：二二分法,三一分法. 比如： ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 我们把ax和ay分一组,bx和by分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了困难. 同样,这道题也可以这样做. ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 几道例题： 1. 5ax+5bx+3ay+3by 解法：=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b) 说明：系数不一样一样可以做分组分解,和上面一样,把5ax和5bx看成整体,把3ay和3by看成一个整体,利用乘法分配律轻松解出. 2. x3-x2+x-1 解法：=(x3-x2)+(x-1) =x2(x-1)+(x-1) =(x-1)(x2+1) 利用二二分法,提公因式法提出x2,然后相合轻松解决. 3. x2-x-y2-y 解法：=(x2-y2)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y+1) 利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b),然后相合解决. 758258 =(758+258)(758-258)=1016*500=508000件