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三角函数应用的几种形式
江苏省金湖县教师进修学校（211600）徐加生
关于三角函数的应用问题是近年高考中关于三角知识的亮点题型，尤其对函数y=Asin(ωx+φ)+b的考查更有特色，必须引起重视，下面就与此相关问题举例分析，供参考。
一、解析函数 对已经给出的函数关系进行分析，并解决相关问题
例1．已知电流强度I(单位：A)随时间t(单位：s)的变化的函数关系是I=5sin(100πt+)，t∈[0,+∞)。 (1)求电流强度I的变化周期、频率、振幅和初相； (2)当t=，，，（单位：s）时，求对应的电流强度。
简解：(1)由ω=100π可得周期为T=，频率为f==50，振幅为5，初相为。
(2)当t=时，I=5；t=时，I=0；t=时，I=－5；t=时，I=0。
点评：本题主要考查对函数式中相关参数的意义的理解和把握，是简单应用问题。
例2．单摆从某一点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系为S =6sin(2)。 (1)单摆开始摆动(t=0)时，离开平衡位置多少厘米？ (2)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？ (3)单摆来回摆动一次需要多少秒？
解析：(1)当t=0时，S=6sin=3，即单摆开始摆动时，离开平衡位置3cm；
(2)S=6sin(2)，振幅为6，即摆动到最右边，离开平衡位置6cm；
(3)S=6sin(2)的周期为T=1，即来回摆动一次需要1s。
点评：本题已给出了单摆离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系，解题的关键是理解周期T和振幅A在单摆问题中的实际意义。
二、求出函数 根据题目的提示，通过设函数式，求出相关参数，解决对应问题
例3．某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦曲线变化。求出种群数量作为时间t的函数表达式（其中t以年初以来的月为计量单位）并估计9月1日左右的种群数量。
解析：设表示该曲线的三角函数为y=Asin(ωx+φ)+b，由已知平均数量为800，最高数量与最低数量差为200，数量变化周期为12个月，所以振幅A==100，ω=，b=800，又7月1日为种群数量达最高，∴×6+φ=，∴φ=－，则种群数量关于时间t的函数表达式为y=800+100sin(t－3).又当t=9时，可得y=800，即9月1日左右的种群数量约为800。
点评：此类问题比较多见，从所给问题中分析出相关的参数是解题的关键。
例4．以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元；而该商品在商店内的销售价格是在8元基础上按月份也是随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月能售完，请估计哪个月盈利最大，并说明理由。
简解：由条件可得，出厂价格函数为y=2sin(x－)+6，销售价格函数为y=2sin(x－)+8，则利润函数y=m(y－y)=m[2sin(x－)+8－2sin(x－)－4]=m(2－2sinx)，所以，当x=6时，y=(2+2)m，即6月份盈利最大。
点评：这是经济学中的销售利润问题，此题中是两个正弦曲线的迭加，而抓住已知条件分别建立出厂价格函数和销售价格函数是解题的重要步骤。
三、构造函数 有些实际问题中隐含着函数关系，如风车转动等，通过类比、构造解题
例5．如下图是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题。
(1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一
次往复运动？如从A点算起呢？
(3)写出这个简谐运动的函数表达式。
解析：(1)根据课本知识可以知道，简谐运动的图象是正弦曲线，从图象上可以看出，这个简谐振动的振幅为2cm，周期为0.8s，频率为。
(2)如果从O点算起，到曲线的D点，表示完成了一次往复运动；如果从A点算起，则到曲线上的E点，表示完成了一次往复运动。
(3)设这个简谐振动的函数表达式为y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)，那么A=2，由=0.8得ω=，由图象知初相φ=0，于是表达式为y=2sinx，x∈[0,+∞)
点评：根据简谐运动的图象是正弦曲线这个知识，去阅读和理解所给的函数图象，一切问题就变得清晰起来，解题就是水到渠成。
例6．一个半径为2m的风车如图所示，风车圆心O距地面为4m，已知风车每分钟转6圈，如果当风车上点P距地面最高时开始计时。 (1)将点P距地面的高度h(m)表示时间t(s)的函数； (2)点P第二次距地面4m要经过多长时间？
解析：(1)由于风车转动时，风车上点P运动的轨迹与单位圆上的点的轨迹一样，一定是正弦曲线，即函数表达式是y= Asin(ωx +φ)+ b，由于风车每分钟
转6圈，即每圈需10秒，∴T=10s，=；又知最高点离
地面为6m，最低点离地面2m，则A=2，b=4，又当x=0时，y取
最大值6， ∴y=2sin()+4=2cos(x)+4。
(2)由于点P第二次距地面4m时，风车转过个周期，则t=×10=7.5s。
点评：从风车上点的运动联想到单位圆上点的运动，是正确解题的关键，也可以通过设角，建立对应的函数关系。
四、拟合函数 有些问题可近似地看成三角函数，可通过拟合一个函数近似表达式解题
例7．某校学生进行研究性学习，在参观某工厂时了解到某车间一天(0≤t≤24)的温度变化中，在3时和15时达到最高温度26℃，在9时和21时出现最低温度14℃， (1)试根据给出的数据拟合一个函数，求近似的函数解析式； (2)估计什么时候温度为23℃？
解析：(1)由于最高温度和最低温度呈周期出现，可以用三角函数去拟合，设函数y= Asin(ωx +φ)+ b，由最高温度26℃，最低温度14℃，可得A=6，b=20，又在24小时内出现两个周期，且T=6，可得ω=，即y=20+6sin(t+φ)，再将点（3，26）代入可得φ=0，∴近似的函数解析式为y=20+6sin(t)。
(2)令θ=23℃，得23=20+6sin(t)，∴sin(t)=，结合0≤t≤24，解得：t=1、5、13或17，故在1时、5时、13时和17时温度为23℃。
点评：一般情况下，气温变化是近似地满足正弦曲线的，本题中通过分析已给的数据得到了函数y= Asin(ωx +φ)+ b中的相关参数，从而求出近似的函数表达式。
例8．某港口水的深度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记作y=f(t)，下表是某日的水深数据.
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
经长期观察，这组数据比较稳定。 (1)试根据以上数据，拟合函数y=f(t)的近似表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上被记为是安全的(船舶停靠时只需不碰海底即可)，某船吃水深度（船底离水平面的距离）为6.5m，如果该船希望在同一天内安全进出港口，那么它至多能在港内停留多久？（忽略进出港所需时间）
解析：(1)对所给表中数据分析（或画散点图）可知，y=f(t)可近似看成一个三角函数，且最大值为10，最小值为7，2个周期为24 h ，设y= Asin(ωt +φ)+ b，即已知A=3，T=12，b=10，∴y=3sin(t+φ)+10，又当t=0时，y=10，即可取φ=0，故y=f(t) =3sint+10。
(2)由题意可知船舶进出港时，水深应不小于11.5m，∴ 3sint+10≥11.5即∴sint≥，∴≤t≤或+2π≤t≤+2π，得∴1≤t≤5或13≤t≤17。所以一天中，水深不小于11.5m的时段为[1，5]和[13，17]所以船舶1时进港，17时出港，至多停留16个小时。
点评：通过对给出数据的研究，了解函数的大致走向，为拟合函数提供直观的印象，这是利用三角函数解决实际问题最常见的方法。
链接练习
1． 挂在弹簧下的小球作上下振动，它在时间t(s)内离开平衡位置的距离h(m)由函数关系h=3sin(2t+) ，t∈[0,+∞)确定，问每秒钟小球能往返振动 次？
2． 人的血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，设某人的血压满足函数关系p(t)=105+20sin(160πt),其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人的收缩压是 (mmHg)，舒张压是 (mmHg)。
3． 点O为做简谐运动的物体的平衡位置，向右方向为正方向，已知物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系是x=3sin(t+)，当t=3时，物体在距点O 处。
4． 某海滨浴场的浪高度y(米)可近似为时间t(0≤t≤24)(小时)的函数，即y=cos(t)+1，若规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，则一天内的8：00时至20：00时之间有 小时可供冲浪爱好者运动？
链接练习答案及提示
1．。提示：由ω=2可得周期为T=π，频率为f==；
2．125，85．
3．向右1.5cm处。提示：将t=3代入x=3sin(t+)得，x=1.5。
4．6．提示：令cos(t)+1＞1，得cos(t)＞0，∴2kπ-＜t＜2kπ+(k∈Z)，即12k-3＜t＜12k+3，又t∈(8,20)，得t∈(9，15)。