数学史上的三大数学危机.pdf

朱业成1历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大 的挫折也可以叫做危机。危机也意味着挑战,危机的解决就意味着进步。所以，危机往往 是数学发展的先导。数学发展史上有三次数 学危机。每一次数学危机，都是数学的根基 受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了 数学科学的发展。2一、V2与第一次数学危机1.毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯Pythagoras（约前570年一 前500年）是公元前500多年古希腊的哲学家、数学 家、天文学家。毕达哥拉斯（公元 前570年公元前500年）3毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织，也致力于哲学与数学的研究，促进了数学和 理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士多德 的思想产生很大影响。相传“哲学”（希腊原词加obo/ca 意为“智力爱好”）和数学”（希腊原词 4a夕4，7a意为“可学至!I的知识”）这两个词是毕达哥拉斯本人所创。42.“万物皆数”学说数，是世界的法则毕达哥拉斯说的“数”，是指自然数，即正整数，同时还包含它们的比，即正分数-O m任意两条线段a、d都是可公度的“可公度的”，意即有公共的度量单位t 0 a d t-a-mt d=nt实例形数（表示图形所用点的个数）三边形数61015四边形数491625六边形数五边形数5122235152845V1+3+(2-1)=n2V1+5+,+(4-3)=22 n1+1)1+2 H-vn-2+4+.+(3”2)=*；2)7产生谐音的各个弦的长度成小整数比绷得一样紧的两根弦，若其长度成小整数 比，就会发出谐音。例如，1：2时短弦的音高 8度，2:3时短弦音高5度，3:4时短弦音高4 度；当三根弦的长度之比为3：4：6时，就得 到谐音。8同名正多边形覆盖平面只有三种情况：环绕平面上一个点可以紧密地 放6个正三角形，或者4个正方形，或者3个正六边 形，如图：毕达哥拉斯学派确信：“宇宙的和 谐在于数”，神是以数的规律创造世界 的。“万物皆数”学说产生了很大的影响。103.、/1的发现和危机的产生1)一个不能表成整数比的数根据毕达哥拉斯定理，边长为1的正方形，其对 角线长度若记为C,则c2=r+i2=2,推出 02=2 但。不能表成整数比。下边证明，当。2=2时，。不能表成整数比。如果不然，有两个正整数加和使C=土 m（不妨设.是既约分数即（私）=1）。两端 m.2平方得2=勺，即2加2=2。m由此知/是偶数。由于偶数的平方是偶数，奇数的平方是奇数，是偶数。12因A“既约”，m不能再是偶数，于是m是奇数。m这样2加2=2的左端，因捞是奇数而不能被4整除，右端却 是偶数而可以被4整除。这个矛盾说明开始的假设=.是错误的。从而 不能表成两个整数的比。m证毕。注:这是“反证法”的开始。132）不可公度的线段设正方形的边长为4,对角线长为d,如图:由1）知，与d就是不可公度线段。143）危机产生，封锁消息希帕索斯泄露秘密，被抛进大海。定方形的对角 庭升、力的长度是不可公与过J 000希帕索斯(Hippasus)154.无理数与数系的扩张危机的解决1）无理数像/=2这样的数c,和其它一些不 能表成整数比的数，称为无理数。162）数轴古代观点：数轴一有理数现代观点：数轴一实数173）数系的扩张一一危机的解决。数系扩张为实数系以后，第一次数学危 机就彻底解决了。因为数的范围扩充以后,“万物皆数”的命题就是正确的了；不能表成整数比 的数，即无理数，也是实数系中的数了。18二、第二次数学危机第二次数学危机发生在牛顿创立微积分 的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉 斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由 牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是 对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的。191.危机的引发1）牛顿的“无穷小”牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴 含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。我们来看一个例子。微积分的一个来源，是想求运动物体在某一 时刻的瞬时速度。在牛顿之前，只能求一段时间 内的平均速度，无法求某一时刻的瞬时速度。20例如，设自由落体在时间，下落的距离为S),有公式SC)=；g*其中g是固定的重力加速度。我们要求物体花的瞬时速度，先嚼 o1 9 1?AS=S(G S&)二不第2;1 1=-g&+加)2 一 宿=g2%0加+(加)2 AS 1/a (*、I21当加变成无穷小时，右端的Jg)也变成无穷小，因而上式右端就可以认为 是g0,这就是物体在to时的瞬时速度，它是两个无穷小之比。牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严 格，遭到责难。222)贝克莱的发难理论。贝克莱问道：“无穷小”作为一个量，究竟是 不是0?AS 1、/*、H=g，o+5g)()如果是0,上式左端当加成无穷小后分母为0,就 没有意义了。如果不是0,上式右端的;且(加)就不能 任意去掉。23贝克莱还讽刺挖苦说：即然加和AS都变 成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既 不是0,又不是非0,那它一定是“量的鬼魂”To这就是著名的“贝克莱悖论”。对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家 提出的，但是，贝克莱的质问是击中要害的。243）实践是检验真理的唯一标准应当承认，贝克莱的责难是有道理的。“无 穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛 顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小”的方法。数学家们相信它，只是由于 它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显 示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们 不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的 脑海里，“实践是检验真理的唯一标准。”252.危机的实质第二次数学危机的实质是什么？应该说,是极限的概念不清楚,极限的理论基础不牢固。也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。263.危机的解决（严格的极限理论的建立）在18世纪时，人们已经建立了极限理论，但 那是初步的、粗糙的。19世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格 的论证引入数学分析，他写的无穷的悖论一书 中包含许多真知灼见。27做出决定性工作、可称为分析学的奠基人的是法I数学家柯西(A.L.Cauchy/7891857)。他在 18211823年间出版的分析教程和无穷小计 算讲义是数学史上划时代的著作。他对极限给出 比较精确的定义，然后用它定义连续、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，至此，才较好地反 驳了贝克莱的责难。后来，魏尔斯特拉斯创立“一 S”语言，才彻底 地反驳了贝克莱的责难。28总之，第二次数学危机的核心是微积分的基础 不稳固。柯西的贡献在于，将微积分建立在极限论 的基础。魏尔斯特拉斯的贡献在于，逻辑地构造了 实数系，建立了严格的实数理论，使之成为极限理 论的基础。所以，建立数学分析（或者说微积分）基础的“逻辑顺序”是：实数理论一极限理论一微积分。而“历史顺序”则正好相反。29三、第三次数学危机1.“数学基础”的曙光集合论到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何 的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和 极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的 理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更 为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学的 基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。30其理由是：算术以整数、分数等为对象，微积分 以变数、函数为对象，几何以点、线、面及其组成 的图形为对象。同时，用集合论的语言，算术的对 象可说成是“以整数、分数等组成的集合”；微积 分的对象可说成是“以函数等组成的集合”；几何 的对象可说成是“以点、线、面等组成的集合”。这样一来，都是以集合为对象了。于是，集合论似 乎给数学家带来了曙光：可能会一劳永逸地摆脱“数学基础”的危机。庞加莱甚至在1900年巴黎国 际数学家大会上宣称：“现在我们可以说，完全的严格性已经达到了！”312.罗素的“集合论悖论”引发危机1）悖论引起震憾和危机正当庞加莱宣布“完全严格的数学已经建立起来！”之后刚刚两年，即1902年，罗素的集合论悖论出来了。伯特兰罗素(18721970)Russell,Bertrand Arthur William(Third Earl Russell)322）罗素悖论在叙述罗素悖论之前，我们先注意到 下边的事实：一个集合或者是它本身的成 员（元素），或者不是它本身的成员（元素），两者必居其一。罗素把前者称为“异常集 合”，把后者称为“正常集合”。33例如，所有抽象概念的集合，本身还是抽象概念。即，它是这一集合本身的元素，所以是“异常集合”。但是，所有人的集合，不是人，即，它不是这一集合 本身的元素，所以是“正常集合”。再例如，所有集合的集合，本身还是集合，即，它是这一集合本身的元素，所以是“异常集合”。但 是，所有星星的集合不是星星，即，它不是这一集合 本身的元素，所以是“正常集合”。34罗素悖论是：以藤示“是其本身成员的 所有集合的集合”（所有异常集合的集合），而以N表示“不是它本身成员的所有集合的集 合”（所有正常集合的集合），于是任一集合 或者属于可，或者属于N，两者必居其一，且 只居其一。然后问：集合N是否是它本身的 成员？（集合N是否是异常集合？）35如果N是它本身的成员，则按M及N的定 义，N是W的成员，而不是N的成员，即N不 是它本身的成员，这与假设矛盾。即NsNnNsMnN 史 N如果N不是它本身的成员，则按M及N 的定义，N是N的成员，而不是”的成员，即 N是它本身的成员，这又与假设矛盾。即N 史 NnNeN（N 史 M）悖论在于：无论哪一种情况，都得出矛盾。36罗素悖论的通俗化一“理发师悖论”：某村的一 个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸的 人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？如果他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸的 人，按宣称的原则，理发师不应该给他自己刮脸，这 与假设矛盾。如果他不给自己刮脸，他就属于自己不 给自己刮脸的，按宣称的原则，理发师应该给他自己 刮脸，这又与假设矛盾。373.危机的消除危机出现以后，包括罗素本人在内的许多数学 家作了巨大的努力来消除悖论。当时消除悖论的选 择有两种，一种是抛弃集合论，再寻找新的理论基 础，另一种是分析悖论产生的原因，改造集合论，探讨消除悖论的可能。人们选择了后一条路，希望在消除悖论的同时，尽量把原有理论中有价值的东西保留下来。38这种选择的理由是，原有的集合论虽然简明,但并不是建立在明晰的公理基础之上的，这就留下了解决问题的余地。罗素等人分析后认为，这些悖论的共同特征（悖论的实质）是“自我指谓”。即，一个待定义的概念，用了包含该概念在内的一些概念来定义,造成恶性循环。例如，悖论中定义“不属于自身的集合”时,涉及到“自身”这个待定义的对象。39为了消除悖论，数学家们将“朴素的集合论”加以 公理化；并且规定构造集合的原则，例如，不允许出现“所有集合的集合”、“一切属于自身的集合，这样的 集合。1908年,策梅洛(E.F.F.Zermelo,18711953)提 出了由7条公理组成的集合论体系，称为Z系统。1922年，弗兰克(AAFraenkel)又加进一条公理，还把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的ZF系统。再后来，还有改进的ZFC系统。这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过程，悖论消除了。40但是，新的系统的相容性尚未证明。因此，庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来 后不久，形象地评论道：“为了防狼，羊 群已经用篱笆圈起来了，但却不知道圈内 有没有狼”。这就是说，第三次数学危机的解决，并不是完全令人满意的。41三次数学危机与“无穷”的联系三次数学危机都与无穷有关，也与人 们对无穷的认识有关。第一次数学危机的要害是不认识无理数,而无理数是无限不循环小数，它可以看成 是无穷个有理数组成的数列的极限。42第二次数学危机的要害，是极限理论的逻 辑基础不完善，而极限正是“有穷过渡到无 穷，的重要手段。贝克莱的责难，也集中在“无穷小量”上。第三次数学危机的要害，是“所有不属于 自身的集合”这样界定集合的说法有毛病。而且这里可能涉及到无穷多个集合，人们犯 了“自我指谓”、恶性循环的错误。43以上事实告诉我们，由于人们习惯于有 穷，习惯于有穷情况下的思维，所以一旦遇 到无穷时，要格外地小心。Thank You!44