高等数学(下)课后习题答案.pdf

高等数学(下)习题七1.在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A(l,2,3);B(-2,3,4);C(2,-3,-4);D(3,4,0);E(0,4,3);F(3,0,0).解：点A在第I卦限；点B在第II卦限；点c在第vm卦限；点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.2.xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答：在xOy面上的点，z=0；在yOz面上的点,x=0；在zOx面上的点，y=0.3.x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0;y轴上的点，x=z=0;z轴上的点,x=y=0.4.求下列各对点之间的距离：(1)(0,0,0),(2,3,4);(2)(0,0,0),(2,-3,-4);(3)(-2,3,-4),(1,0,3);(4)(4,-2,3),(-2,1,3).解：s=,22+32+42=5/29(2)s=(二3)2+(4)；二牺(3)s=J(l+2)2+(0 3)2+(3+4)2=屈 s=J(-2-4)2+(1+2)2+(3-3)2=3小.5.求点(4,-3,5)到坐标原点和各坐标轴间的距离.解：点(4,-3,5)到 x 轴，y 轴，z 轴的垂足分别为(4,0,0),(0,-3,0),(0,0,5).故 1=a2+(3)2+52=5 及S=4-4)2+(3-0)2+(5 _ 0)；=庖s=.42+(13,3)2+52=旧S +2c)3(u+3b c)=2a-2b+4c+3a-9b+3c=5a-ilb+lc10.把AABC的BC边分成五等份，设分点依次为Dj D2,D?D“再把各分点与A连接,试以AB=c,=o表示向量q A,q A,Q3A和Q/.解：D A=BA BD=c a i i 5 1 2D A=BA-BD=-c-a 2 2 5-*-*3D A=BA BD=c a 3 3 5-*/DA.BA,BD c u.4 4 511.设向量0M的模是4,它与投影轴的夹角是60,求这向量在该轴上的投影.解：谈世的投影为反，则Pr j OM=|OM|c o s60o=4x l=2.12.一向量的终点为点B(2,-1,7),它在三坐标轴上的投影依次是4,-4和7,求这向量 精品的起点精品A的坐标.解：设此向量的起点A的坐标A(x,y,z),则AB=4,-4,7=2-x,-l-y,7-z解得 x=-2,y=3,z=0故A的坐标为A(-2,3,0).田一向量的起点是Pi(4,0,5),翼在各坐标轴上的投影;终点是P2 0，1，3),试求:华的模；pp的方向余弦;1 2(4)方向的单位向量.解：a=XPr i PP=3,x 1 2q=Pr j PP=1,y y 1 2a=Pr j PP=-2.z z 1 2(2)|华卜(7-4)2+(1-0)7+73-5)2=ac o sa=-_：pp1 2aCOS P=1_；ppTTa c o sy=-2PP(3 1旷臣r声.1.2”元一1 w14.三个力耳二(1,2,3),耳二(一2,3,-4),y二(3,-4,5)同时作用于一点.求合力R的大小和方向余弦.解：R二(T2+3,2+3-4,3-4+5)=(2,1,4)IR=522+12+42=向二，c o s V2T 84 c o sy=815.求出向量a=i+j+k,b=2i-3j+5k和c=-2i-j+2k的模，并分别用单位向量e,e,e来表达向 a b c量 a,b,c.解：I O 1=J12+12+12=y/3I 加二,22+(-3)2+52=V38精品l c l=J(-2)2+(-1)2+22=3a=yf3e,b=/38 p,c=3e.a b c16.设m=3i+5j+8k,n=2i-4j-7k,p=5i+j-4k求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分 向量.解:a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=l 3i+7j+l 5k在x轴上的投影a13,在y轴上分向量为7j.17.向量r与三坐标轴交成相等的锐角，求这向量的单位向量e.rR J3解：因 a=p,故3c o s2a=1,c o sa=-,c o sa-(舍去)则 e=c o sa,c o s p,c o s y=V3 V3 V33 3 3a+j+无).18.已知两点 M(2,5,-3),M 1 2求向径OM的坐标.解：设向径=x,y,zMAT=x-2,y-5,z+31MM m13x,_2_y,5 _ z2因为，.M M=3MM 1 2x 2 3(3-x)所以，z=6,z 7 1 257049精品2-n7r X又c o sa=+y2+Z2x=2,1190 49x2-n y=3,y 7 i 2COS P=-+y2+2285 国故点P的坐标为P(2,3,6)或P.49 49 492兀20.已知a,b的夹角p=7，且同=3,例=4,计算：(1)a-b；(2)(3a-2b)-(a+2b).2兀 1解：(1)a-b=c o s(p-I a I-I 1=c o s x 3x 4=-x 3x 4=-6(2)(3a-2by(a+2b)=3aa+6ab-2ba-4bb=3a2+4a-b-4b2=3x 32+4x(6)4x16=-61.21.已知 a=(4,-2,4),b=(6,-3,2),计算:(1)a b；(2)(2a-3b)(a+b);(3)a-b2解：a-b=4x6+(-2)x(-3)+4x2=38(2)(2a-3b)(a+b)=2a a+2a b-3a b-3b b=2a2-a-b-3b2=2 x 42+(-2)2+42 -38-3&+(3)2+22=2x36 38 3x49=713(3)a-b(a-by(a-b)=aa-2ab+bb=a2-2a-b+b2=36 2x38+49=922,已知四点 A(1,-2,3),B(4,-4,-3),C(2,4,3),D(8,6,6),求向量 AB 在 向量CD上的投影.解：AB=3,-2,-6,CD=6,2,3).二 AB CD 3x6+(-2)x 2+(-6)x 3 4Fr j AB=-=-=.2|CZ)|_,62+22+32 723.设重量为100kg的物体从点M|(3,1,8)沿直线移动到点M,(1,4,2),计算重力所作的 功(长度单位方法厂精品解：取重力方向为Z轴负方向,依题意有f=0,0,-100X9.8 s=MM=-2,3,-6)故 W=f s=0,0,-980 -2,3,-6)=5880(J)24.若向量a+3b垂直于向量7a-5b,向量a-4b垂直于向量7a-2b,求a和b的夹角.解：(布炉(7a-5b)=71。|2+16。2一15 历上=0(a-4b)-(7a-2b)=71。卜-30a 必+81万卜=0 a b a b 1(a b)?1由及可传：=-=_=.=-a2 b2 2 1。|2历|2 4 u b又。Z=22,所以COS。12故。=ar c c o s _=.2 325.一动点与Mo(l,l,l)连成的向量与向量n=(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程.解：设动点为M(x,y,z)M M0因 M MJ_，故 A/M几=0.阻次 l)+3(y-l)-4(z-l)=0整理得：2x+3y-4z-l=0即为动点M的轨迹方程.26.设aX-2,7,6),b=(4,-3,-8),证明:以a与b为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直 证明：以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a+b,ab,且a+b=2,4,-2)a-b=-6,10,14)又(a+b)(a-g 2 X(-6)+4 X10+(-2)X 14=0故(a+b)，(a-b).27.已知 a=3i+2j-k,b=i-j+2k,求：(l)ax b；2a X 7b；(3)7b X 2a；(4)aXa.解：2 axb=1-1-1 3 3 2i+j+k=3i-7j-5k2 2 1 1-1(2)2ax7A=14(o x)=42i 98j 70比(3)7。x 2a=14S x。)=14(。x)=-42/+98j+70k(4)X。=0.精品28.已知向量a和b互相垂直，且山=3,历1=4.计算:(1)|(a+b)X(a-b)|;(2)|(3a+b)X(a-2b)|.(l)I(。+5)x(o b)=axa-axb+bxa-bxb 1=1-2(ax ft)l71=2l o l U，s in_=24 2(2)I(,3a+b)x(a-2b)=3axa-6axb+bxa-2bxb=7(bxa)71=7 x 3 x 4 x sin =84229.求垂直于向量3i-4j-k和2i-j+k的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦.4解：axb=13.32+21 1i+1 14I k=-5i-5j+5k与。x，平行的单位向量e=上_=YE(j j+k)axb I 3sinO=laxb IlaIxldl573 _ 513V26-/6-2630.一平行四边形以向量a=(2,l,1)和b=(l,2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦.解：两对角线向量为I=a+b=3i-j,I=a-b=i+3j-2k因为 IT 万+6j+10kl=JIZ3,1 2l=jio,l l=x/141 2所以sinOIZ xZ I V140,2=_ =1IZ Wl I 回.内即为所求对角线间夹角的正弦.31.已知三点 A(2,-l,5),B(0,3,-2),C(-2,3,l),点 M,N,P 分别是 AB,BC,CA 的中点，证明:MNxMP=(ACxBC).证明：中点M,N,P的坐标分别为3 1N(&,q,尸(0,1,3)MN=-2,2,-23 MP=-1,0,-)精品AC=-4,4,-4)3C=2,0,32MNxMP=-04ACx 七二0-2-23 i+32 无=3i+5j+2it2 24i+3434-2；+4-24 无=12i+20j+8 比故 MNxMP=-(ACxBC)_4亢求靛垂直于向量a=(2,3,4)和横轴的单位向量.解：设横轴向量为b=(x,0,0)则同时唾直于z,b的响噎为一304 4i+2 2j+30Q xb=0 0k=4xj 3xk故同时垂直于a,b的单位向量为“士篇T吁初33.四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积.解：设四顶点依次取为A,B,C,D.A3=0,1,2,AD=2-2,1则由A,B,D三点所确定三角形的面积为-ABxALH=L5i+4j-2k h 1 2 2 2,同理可求其他三个三角形的面积依次为;，、/XJJ.故四面体的表面积S=+JW+2 234.已知三点 A(2,4,l),B(3,7,5),C(4,10,9),证：此三点共线.证明：AB=1,3,4 AC=2,6,S显然AC=2AB则 ABxAC=ABx 2AB=2(ABx AB)=0故A,f C三谪共线.精品35.求过点(4,1,-2)且与平面3x-2y+6z=l l平行的平面方程.解：所求平面与平面3x-2y+6z=l l平行故 n=3,-2,6,又过点(4,1,-2)故所求平面方程为：3(x-4)-2(y-l)+6(z+2)=0即 3x-2y+6z+2=0.36.求过点M*,7,-3),且与连接坐标原点到点M。的线段OM。垂直的平面方程.解：所求平面的法向量可取为11=。加0=1,7,3故平面方程为：x-l+7(y-7)-3(z+3)=0即 x+7y-3z-59=037.设平面过点(1,2,-1),而在x轴和*j上的截距都等于在y轴上的截距的两倍，求此平面 方程.解：设平面在y轴上的截距为bx y 7,a则平面方程可定为b+3+=12b b 2b又(1,2广1)在平面上，则有得 b=2.故所求平面方程为巴+三二1 4 2 438.求过(1,1,-1),(-2,-2,2)和(1,-1,2)三点的平面方程.解：由平面的三点式方程知x-x1X-x2 IX-X3 11y-y2 1y-y3 1代入三已知点，有Z-Z1二0Z-Z2 1二0Z Z3 1X y-iz+l2 1-2-12+11 11 12+1化简得x-3y-2z=0即为所求平面方程.39.指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形:(i)y=o；3x二o；(3)2x-3y-6=0;(4)x-y=0;(5)2x-3y+4z=0.解：y=0表示xOz坐标面(如图7-2)(2)3x-l=0表示垂直于x轴的平面.(如图7-3)yX精品图7-2图7-3（3）2x-3y-6=0表示平行于z轴且在x轴及y轴上的截距分别为x=3和y=-2的平面.（如图7-4）x-y=。表示过z轴的平面（如图7-5）2x-3y+4z=0表示过原点的平面（如图7-6）.图7-4图7-6图7-540.通过两点（1,1,1,）和（2,2,2）作垂直于平面x+y-z=0的平面.解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0则其法向量为n=A,B,C已知平面法向量为n过已知两点的向量由题知 n n=0,n-1=0A+B-C=0=C=0,A=B.A+B+C=0所求平面方程变为Ax-Ay+D=0又点（1,1,1）在平面上，所以有D=0故平面方程为x-y=0.41.决定参数k的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件:（1）经过点（5,-4,6）;71（2）与平面2x-3y+z=0成的角.4解：（1）因平面过点（5,-4,6）故有 5-4k-2 X 6=9得 k=-4.（2）两平面的法向量分别为个=l,k,-2且COS。=1n=2,-3,l _ l-l7T y/2=COS=4 2Iw l l n I j 5+2 f解得金亭42.确定下列方程中的1和m：（1）平面 2x+l y+3z-5=0 和平面 mx-6y-z+2=0 平行;平面3x-5y+l z-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直.解：（1）n=2,1,3）,n=m,-6,-l 精品n n n=二工 n in=181 2 m-6-1%=3,-5,1,、二1,3,2n n=3x l-5x 3+/x 2=0=/=6.43.通过点(1,-1,1)作垂直于两平面x-y+z-l=O和2x+y+z+l=0的平面.解：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=O其法向量n=A,B,Cn=l,-l,l ,n=2,1,1)A-2CnlnnA3+C=0 31 nnn n2A+3+C=0 八 C又(1,-1,1)在所求平面上，故AB+C+D=O,得D=0 故所求平面方程为2 C-Cx+y+Cz=O3 3即 2x-y-3z=044.求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i-j+2k的单位向量.解：n=3-l,7,n=l,-l,2.n In,n Ink=5i+j-2k则 e=(5i+j 2 无).回45.求通过下列两已知点的直线方程:7 3(1)(1,-2,1),(3,1,-1);(2)(3,-1,0),(1,0,-3)解：(1)两点所确立的一个向量为s=3-l,1+2,=3,-2故直线的标准方程为：x-1 y+2 z-1 x-3 y-1 z+1_=_=_ 或 _=_=_2 3-2-2 3-2(2)直线方向向量可取为s=l-3,0+1,-3-0)=-2,1,-3故直线的标准方程为：x-3 y+1 z.x-1 y z+3-=-=或-=-46.求直线精品解：所给直线的方向向量为2.23，+335 k=i-7j-19k另取x=0代入直线一般方程可解得yo=7,z(=17 于是直线过点(0,7,17),因此直线的标准方程为:x _ y_ Q _ z-17T-7=49且直线的参数方程为：X t y=7-7t z=17-19r47.求下列直线与平面的交点:x-1 V+1 z-=-=,2x+3v+z-l=0;1-2 6x+2 y-z-32 3 2 yx=l+t解：（1）直线参数方程为（y=1 2 z=6t代入平面方程得t二i故交点为（2,-3,6）.x 2+2t（2）直线参数方程为 y=l+3/z=3+2，代入平面方程解得t=0.故交点为（-2,1,3）.48.求下列直线的夹角：5x-3y+3z-9=0 12x+2y-z+23=0（1）i c 和 c c c3%-2y+z-l=0 13x+8y+z-18=0 x-2 _ y-3 _ z-1 4-12y 3 _ z 8和 0);(3)z=4-X2,x=0,y=0,z=0 及 2x+y=4;(2)x+y+z=4,x=0,x=1,y=0,y=2 及 z=0;(4)z=6-(X2+y2),x=0,y=0,z=0 及 x+y=l.解：(1)(2)(3)(4)分别如图 7-19,7-20,7-21,7-22 所示.x2 y2 0 1 尢-3 y 4 z+2+-1 与 -81-36 9 3-6-4%2 尸 z2 1 x y z+2_+_=与 一=_=_16 9 4 4 3 4解：（1）直线的参数方程为精品%=3+3，y=4 6%z=2+4r代入曲面方程解得t=O,t=l.得交点坐标为(3,4,-2),(6,-2,2).直线的参数方程为x=4-t 2z=065.试考察曲面+7-=1在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程平面x=2；(2)平面y=0;平面y=5;(4)平面z=2.精品_ 尸+Z2翻r n部处土和 户小、(24、解：(1)截线方程为(、)2(V)23 3x=2其形状为x=2平面上的双曲线.上+三=1(2)截线方程为勺4J 二 为xOz面上的一个椭圆.-%2+Z2 _(3)截线方程为，(3/2(272)2J=5为平面y=5上的一个椭圆.兰1=0(4)截线方程为 9 25z=2为平面z=2上的两条直线.66.求单叶双曲面五+下一丁=1与平面x-2z+3=0的交线在xOy平面，yOz平面及xOz 16 4 5平面上的投影曲线.解：以2=等代入曲面方程得X2+20y2-24x-l 16=0.故交线在xOy平面上的投影为X 2+20y2-24x-l 16=0z=0以x=2z-3代入曲面方程，得20y2+4z2-60z-35=0.故交线在yOz平面上的投影为20y2+4z2-60z-35=0%=0交线在xOz平面上的投影为%2z+3=0,y=0.精品习题八1.判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点 集和边界：(x,y)|xNO；(x,y)|lX2+y2 4;(x,y)|y X2;(4)(x,y)|(x-l)2+y2 1 U (x,y)|(x+l)2+y2 1.解：开集、无界集,聚点集：R2,边界：(x,y)|x=O.既非开集又非闭集，有界集，聚点集：(x,y)|1 x2+y2 4,边界：(x,y)I x2+y2=1 U(X,y)I x2+y2=4.开集、区域、无界集，聚点集：(x,y)|y=(%,y)14%y2 0,l-x 2-yi 0,x2+yi w 0.(4)。=(%,y,z)I%0,y0,z。.(5)=(x,y)I x 0,y 0,X2 y.(6)D=(%,y)I y-x 0,x 0,%2+y2 V 1.(7)D=(X,y,z)I%2+y2 w 0,%2+y2-z2 0.5.求下列各极限：l n(x+e)(l)l im-=;1 +y2y-0 v(2)l im-无2+y2 yf 02-Jx y+410 孙)-0sinxyx70 X y-0(4)l im _L x-0 J孙+11(6)l iml-c o s(x2+r)xfO(12+y2)ex2+y2 yf0 K y 2 l n(l+eo),c 解：原式二=l n2.J12+02原式二+8.h a i 4 xy 4 1(3)原式=h m-=-Xf0 xy(2+Jxy+4)4yfO V/八盾41-孙Q孙+1+D 原式=h m、=2.Xf 0 孙+1-1 yf0sinxy,八 八 原式=h m-y=1x0=0.x-0 犯 y-0原式:l im-=l im 十)一二0.X70(尤2+y2)ex2+)，2 x-0 2e*2+y2)y-0)tO6.判断下列函数在原点0(0,0)处是否连续：sin(无3+y3)C-,%2+丁2。0,(1)Z=J 尤2+,2I 0,X 2+y2=0；精品sin(%3+y3)八-.,%3+y3 W o,(2)Z=J X3+y3(0,%3+户=0；-,X2+y2 o,(3)(2)Z=%2y2+(%-y)20,X2+y2=o；解：由于o 0 yfO yf 0故 l im z=0=z(0,0).x-0 y0故函数在0(0,0)处连续.l im z=l im=1 w z(0,0)=0 x-0 w-0 y-0故0(0,0)是Z的间断点.(3)若P(x,y)沿直线y=x趋于(0,0)点，则l im zx-0 y=Xf 0 X2-X2二 h m-Xf 0 12 12+o=1,若点P(x,y)沿直线y=-x趋于(o,o)点,则l im z=xf0y=-x-0X2(-X)2 h m-Xf o%2 (-X)2+4x2=-0 x-0 取+4故l imz不存在.故函数z在。(0,0)处不连续.xf0y-07.指出下列函数在向外间断：r X-V2f(x,y产-13+y3f(x,y尸y2+2%y2-2xX _这_e y2 V W()(3)f(x,y)=l n(l-x2-y2);(4)f(x,y);j 2.0,y=o.解：因为当y=-x时，函数无定义，所以函数在直线丫二-x上的所有点处间断，而在其余点 处均连续.因为当y2=2x时，函数无定义,所以函数在抛物线y2=2x上的所有点处间断.而在其余各点 处均连续.(3)因为当X2+y2=l时，函数无定义，所以函数在圆周施+丫2=1上所有点处间断.而在其余各点 精品处均连续.精品(4)因为点P(x,y)沿直线y=x趋于。(0,0)时.九l im/(x,y)=l im 一e-i=o ox-0 y=X-0 x-0 尤2故(0,0)是函数的间断点，而在其余各点处均连续.8.求下列函数的偏导数：X(l)z=x2+;U2+V2(2)s=-uv(3)z=xln 十 32；X(4)z=lntan；y(5)z=(l+xy)y;(6)U=Z xy；(7)u=ar c t an(x-y)z；(8)u-x z,解：=2孙+-L,OXdzy22x=%2-户U V(2)s=_+_V uds1 Vdu V M2ds dvu1-+一.V2 U(3得二n百 ox,1dz二%dydzL oxdz dy+y2 1 1旧02吊)上“2+.2 2X 2+y2 211移X2+y21 无1 2 2无 sec 2 =esc,无t an yy y y y1%/%、2x 2x-sec 2 (-)二一 一esc.t an1-丁 V y2 yy两边取对数得In z=y l n(l+xy)故X2X2+y2=(1+xy)y y l n(l+x y)I=(1+盯)=丁(1+孙)y-i.dx x 1+xy精品=(l+xy)y-y l n(l+x y)I=(l+x y)y l n(l+y-dy y 1+xyxy二(1+盯)，l n(l+x y)+-.1+xydu du du(6)=In z z孙 y=In z zd 无 一二孙 z 孙-idx dy dzdu 1,、z(x-y)z-i(7)=-z(%-y)z-i=-dx l+(%y)z2 1+(x y)2zdu _(x-y)z-i-(-1)_ z(x-y)z-dy l+(%-y)z2 l+(%-y)2zdu _(x-y)z l n(x-y)_(X-y)：l n(%-y)dz l+(x-y)c 2 l+(%_y)2zdu yX 2V2 du du a9.已知 e=-,求证：x+y=5u.x+y dx dyH du 2xy2(x+y)-jc2y2%22+2%y3证明：一=-=-dx(%+y)2(%+y”由对称性知du%2y2+2y%32y(x+y”du du 3%2y2(%+y)于是+y =-=3u.dx dy(x+y”JD&dz10.设 z=e I*,求证：X?-+y =2z.dx dy由Z关于x,y的对称性得精品 dz故 2 一+ydx11.设 f(x,y)=x+(y-1)ar c sin解：f(x,y)=l+(y-X则 f(x,l)=1+0=1 X_ X2+y212.求曲线4“4碗.及 _ 1&斛：-=-X,-&1 尸+力=e J y)dy 产2.包=%/e-+y 2._Le-M=2e-(H)=dy%2 yi,求(x,l).“山茅在点(2,4,5)处的切线与正向x轴所成的倾角.=1,一(2,4,5)设切线与正向x轴的倾角为a,.7C则 t ana=l.故 a=.413.求下列函数的二阶偏导数：(l)z=X4+y+4x2y2；z二yx；dz dz解：(1)=4138孙2,=1212 8y2,dx dx2由x,y的对称性知d2z=12y28%2.dy2&_ 1(j-,dx +(y j(X2)12+y 2，y(2)z=ar c t an;X(4)z=exZ.d2z-二-16xydxdyd2z-=-16xy.dydx精品dz _(x2+y2)-0-y-2x 2xydx2(%2+y2)2(尤2+y2)2dz1 _ XX X2+y282z _ 2xySy 2(12+y2)2d2z _(x2+y2)y-2y y2 x2dxdy(%2+y2)2(_X2+y2)2d2z _ x2+y2-x-2x _ 打一%2 dydx(12+y 2)2(12+y 2)2dz d2z(3)yx In y,=yx In2 y,OX CX2dz d2z=xyx-i,-=x(%_l)yx-2,dy dy21-=yx +xyx-In y=yx-i(l+%l n y),dxdy y82 z-=yx-i+x-In y-yx-i=yx-i(l+%l n y).dydx四=e”,2羽包=3x dydz dx?dz=ex2+y-2x-2x+ex2+y-2=2e2+y(2x2+1),-=ex2+y,dy2三二 2y,上=2dxdy dydx14.设 f(x,y,z户xy2+yz2+z&,求/(0,0,1),f(0,-1,0),f(2,0,1).XXzzx解：f(x,y,z)=y2+2zxXf(X,y,z)=2z,f(0,0,1)=2,XX XXf(X,y,z)=2xy+*yf(%,y,z)=2z,f(0,-l,0)=0,yz yzf(x,y,z)=2yz+%2zf(x,y,z)=2y/(%,y,z)=0,f(2,0,1)=0.精品,63 z dz15.设 z=xl n(xy),求-及-dx2dy dxdy2解：=x-+l n(j Q?)=1+l n(xy),dx xyd2z _y_=l-0dxixy xdmdyu，d2z_ x _ 1*1dxdydxdy 2y216.求下列函数的全微分:(1)z=已g+产.(3)m=；,w dz 小&c解：(i):一=ex2+)，22x,=ex2+”2y dx dyy(2)Z=-:;+产(4)M=Xz.dz=2xe-v2+y2dx+2ye-r2+y2dy=2e%2+y2(xdx+ydy)1 1 2x _ D(2).-y .-&x=Ly=l,Ax=0.15,Ay=0.1.解：Az=(%+Ax)2 一(+Ax)(y+Ay)+2(y+Ay)2 一 z=9.68-8=1.68dz=(2%-y)Ax+(一+4y)Ay=1.6(2)AZ=e(x+Ax)(y+Ay)Qxy=e(e0.265 一 1)=0.30e.dz=ye-yAx+xe-uAy=e4(yAx+xAy)=0.25e18.利用全微分代替全增量，近似计算：(1)(1.02)3 (0.97)2；(2)(4.05)2+(2.93)2；(1.97)1.05.解：设 f(x,y)=X3 y 2,则f(%,y)=3%2y2,f(x,y)=2xy,x y故 df(x,y)=3x2y2dx+2x3ydy=xy(3xydx+2x2dy)取 x=1,y=1,dx=0.02,dy=-0.03,则(1.02)3-(0.97)2=f(l.02,0.97)Id.v=o.o 2 I dy=-0.03=13X12+1 X13X1X1X 0.02+2 X12X(-0.03)1=1.设f(x,y尸J%2+y 2，则9 Y fy)=t-*2Jx2+y2f(%,y)=1XQx2+y2yX2+y2故 df(x,y)=(xc h+ydy)J_X2+y2取 x=4,y=3,dx=0.05,dy=-0.07，则精品7(4.05)2+(2.93)2=/(4.05,2.93)/(4,3)+4/*(4,3)Idx=0.05Y 1 dy=-0.07二,42+32+,1.4 X 0.05+3x(-0.07),42+32=5+|x(-0.01)=4.998(3)设 f(x,y)=xy,贝I df(x,y)=yxv-idx+xyl nxdy,取 x=2,y=l,dx=-0.03,dy=0.05,M|(1.97)1.05=/(1.97,1.05)/(2,l)+d/(2,l)|ch-0.031 dy=0.05=2+0.0393=2.0393.19.矩型一边长a=10c m,另一边长b=24c m,当a边增加4mm,而b边缩小1mm时，求对角 线长的变化.解：设矩形对角线长为1,则I-Jx2+y2,d I=(xdx+ydy).+-2当 x=10,y=24,dx=0.4,dy=-0.1 时，dl=-.1(10 x0.4-24x0.1)=0.062(c m)7102+242故矩形的对角线长约增加0.062c m.20.Imo l理想气体在温度0和1个大气压的标准状态下，体积是22.4L,从这标准状态下将 温度升高3,压强升高0.015个大气压，问体积大约改变多少？RT解：由PV二RT得V二一，且在标准状态下，R=8.20568X10-2,PRT R 7 DVdv=-dp+-dT=-_ dP+_ 6TP2 P P P22 4=X0.015+18.20568x10-2 Tx 3 h-0.09故体积改变量大约为0.09.21.测得一物体的体积V=4.45c m3,其绝对误差限是0.01c m3,质量m=30.80g,其绝对误差限YYI是0.01g,求由公式P二一算出密度P的绝对误差与相对误差.v解：当 V=4.45,m=30.80,dv=0.01,dm=0.01 Hf,|dp|=dv+d/?i=V2 V30.804.452x0.01+1445xO.Ol|-0.0133|=0.0133当 v=4.45,m=30,80 时30.80P 二-4.45 6.9213精品ldPL 0.0019216=0.19216%P22.求下列复合函数的偏导数或全导数：/八,次次(1)z=x2y-xy2,x=u c o s v,y=u smv,求，一；du dvX 07 dz(2)z=ar c t an_,x=u+v,y=uv,求一，1；y du dv(3)=l n(e+eQ,y=x3,求；,dx,、du(4)u=x2+y2+z2,x=e?cost v=e?sint,z=ef,求.，dr解：(1)dz dz dx dz dy、(c、du dx du dy du=3u2 sin v c o s v(c o s v-sin v)dz _&dx dz dy dv dx dv dy dv=(2xy-y2)w sin v+(X2-2x y)-mco sv=-2m s sin v c o s v(sin v+c o s v)+w3(sins v+c o s3 v).dz dz dx dzdv dx dv dy包=_+du dx dudx dz-vM2+V2y+%_ uX 2+y2 U2+V2du du dx du dy 1 1,e.r+3x2ey e、+3%2ex3二-+=-e-r+-Q y 3x2=-=-dx 3%dx Sy dx e.r+ey ex+ey e*+ey ex+e3dw du dx du dy du dz_.+,_+.dr_dx dr dy dt dz dz=2%(e，c o s t-Q c o s t)+2z-er=4e2,.23.设f具有一阶连续偏导数，试求下列函数的一阶偏导数：(x yy(l)w=/(X2-y2,e)；(2)%=/一,一；精品(3)u=fx,xy,xyz).解：一=fr 2x+fey y=2xf+ye孙f.dx 1 2 1 2加=6(-2y)+，e=-2 好;+%e*y2 I Z 2=/；()+q+小=用+可,r xy=xyf.3 324.设Z=.+工厂()，=上，/()为可导函数，证明:Xdz dzx+y=z+%y-dx dy证明:一=y+xF(u)dx+/3)=/()+3上下3)xdz 1-=x+xF(u)-=x+F(u).dy x故x+y=x.()+y()+y%+/()dx dy L x=xF(u)+xy-yF()+yF(u)=xy+xF(u)+xy=z+xy.25.设Z=:-，其中f(u)为可导函数，验证：/(%2一户)精品1 dz-+X dxi dz _ z y dy y2正 江力/2 fl&=f-yfr-2y)=f+2”by 于2 fi.l a,l&2yff+2y2f 1y l z._+=_+_=xdx y dy yfi yf f yi yi26 z=/(%2+y2),其中f具有二阶导数,、&d2z d2z求 .0X 2 dxoy 0y 2a 3z 0 r f 解：=2xf,exdz2/，-=2f+2x-2xf=2 r+4%2/,dx2=2xr-2y=4xyfdxoy由对称性知，望=2尸+4y2/.3y 227.设f是C2类函数，求下列函数的二阶偏导数:(x z=/%，一,I y)Z=/(孙2,%2丁)；%,COS y,ex+y)解:喳02Z 2x,x r ff-=J J dy2 y3 2 yi 22y2 J2%,，12=f+f户2 产22精品h二/尸+/-2移=”/+2做 2 1 2-=y2f -y2+f .2%y)+2yf+2%y(f,y2+f .2%y)0%2 11 12 2 21 22=2)/+产/”+4%户/+4%2y27，2 11 12 22:；-2yf+尸(/2xy+/%2)+2xf+2xy Q .2xy+/%2dxdy 1 J”J J12 2 J 21 22=2yf+2xf+2xy3f +2xyf+5%2y2/,1 2 11 22 12=f-2xy+f,-x2=2xyf，+x2f,dy 1 2 1 2-=2xf+2xyf n.2xy+f，r-xJ+x2f.2xy+f.2 oy2 1 11 12 21 22=2丁+4%2y2/+4%3升+147.1 11 12 22(3)生=/.COS%+/ex+y=cosxf+ex+yf,dx 1 3 1 3-sin j/+cosxfn.cosx+f -ex+y Q+yf+e+y V*n cosx+f -e-t+y dx2 1,11 13 3 J31 J33=Q x+yf -sin xf+COS2 xf +2e-v+y COS xf +e2(x+y)/,3 1 11 13 33c=cosxF f .(sin y)+f e*+y+ex+y/+Q x+y (sin y)+f ff,e-v+yldxdy L 12 13 3 L 32 33 Z f tf 6 Z ff=ex+yf-c o s x sin yf+e+y c o s xf-e+y sin yj+e2(x+y)/,3 12 13 32 33a7=f(-s in y)+/ex+y=-sin yf+ex+yf,Av 2 3 2 3=-cos-sin yf(-sin y)+/ex+y+ex+y4+e、+y/ff(-sin y)+f.ex+y=ex+yf-cos yf+sin2yf -2e-v+y sin yf +tx+y)f 3 2 22 23 3328.试证：利用变量替换q=x g y,T|=x y,可将方程du A du 一+4-+3=0dx2 dxdy dy2化简为证明：设m=/x-y,x-y精品du du 3弓 du 3r|du dudx 优 dx 6r l dx 能 即32 dx2d2u dt,。2 6r|du 3弓 32