历年(2010)全国各地高考理科数学试题合集.pdf

2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位 号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴 在答题卡右上角“条形码粘贴处/2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错 涂、多涂的，答案无效。5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合 A=x|-2x l,B=x 0 x 2,则集合 A P|B=A.x|-1x1 B.x|-2x l)C.x|-2x 2 D.x|0 x l 2.若复数Z=l+i,Z2=3-il(Z1 z2=A.4+i B.2+i C.2+2iD.3+i3.若函数f(x)=3+3一、与g(x)=33一、定义域均为R,则A.f(x)与g(x)均为偶函数C.f(x)与g(x)均为奇函数B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数4.已知数列但才为等比数列，Sn是它的前n项和。若223=221,且a 4与2a7等差中项为 r A.35B.33C.31D.29I 95.“m上”是“一元二次方程x+x+m：。有实数解”的 4A.充分非必要条件 B.充分必要条件C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件36.如图 1,4ABC 为正三角形,AA BB/CC,CC，平面 ABC 且 3AA=-BBz=CCZ=AB,则多面体ABC-WHC的正视图（也称主视图）是7.已知随机变量?服从正态分布N（3,1）,且尸（2彳44）=0.6826,则（/4）=A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.15858.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了 5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩 灯只能闪亮红、橙、黄一、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记 这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少 是A.1205 秒 B.1200 秒 C.1195 秒 D.1190 秒二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。（一）必做题（913题）9.函数/(/)=lg(7 2)的定义域是 o10.若向量2=(1,1,X),b=(1,2,1),c=(1,1,1)满足条件(d-N)(2分)-2,则x=。11.已知分别是 Z8C的三个内角48,C所对的边.若 a=1,h=V3,A+C=2B,则 s in C12.已知圆心在工轴上，半径为行的圆。位于y轴左侧，且与直线+y=O相切，则圆。的方程是 O13.某城市缺水问题比较突出，为了指定节水管理办法，对全市居民某年的平均用水量进行抽样调查，其中位居民的月均用水量分别为X1,.（单位：吨）。根据图2所示的程 序框图，若=2,且X;X2分别为1，2,则输出结果s为14.(几何证明选讲选作题)如图3,AB,CD是半径为a的圆O的两条弦，他们相交于与AB的中点 P,PD=,NO4P=30,则 CP=o315.(坐标系与参数方程选作题)在极坐标系(夕，6)(04夕“2万)中，曲线夕=2s in0,x (-co,+oo),0 l)的两条直线4和，2与轨迹E都只有一个交点，且求h的值。21.(本小题满分14分)设A(石，%),B(x2，72)是平面直角坐标系x Oy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离 P(A,B)为 p(A,B)=-x|+y2-y 对于平面x Oy上给定的不同的两点A(西,必)B()(1)若点C(x,y)是平面x Oy上的点，试证明p(A,C)+p(C,B)p(A,B)(2)若平面x Oy上是否存在点X(x,y),同时满足 p(A,C)+p(C,B)=pA,B);p(A,C)=p(C,B)若存在，请求出姓名_座位号(在此卷上答题无效)绝密启用并使用完毕前2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，满分150分.考试用时一 120 分钟.注意事项：1.答卷前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对 答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在 答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第H卷时，必须使用0.5毫米黑色黑水签字笔在等您卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在等题卞规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑 色签际笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案 无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.参考公式：如果事件A与B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果A与B是两个任意事件，P(A)0,那么如果事件A与B相互独立，那么 P(AB)=P(A)P(B|A)P(A B)w P(A)P(B)第I卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.(1)i是虚数单位，j=-=J3+3i(A)34 12(B)34 12(C)(D)7 2 61 V3.H-12 6(2)若集合/=%|l o g 1%2 g,则 Cr4=、(A)(-o o,0 U-,+o o(B)rv21-,+o o12 J7A7(C)(-00,0U(D)41-,4-oo2(3)设向量a=(1,0),二(1,1),则下列结论中正确的是(B)小二受 2(A)|a|二|6|(C)a6与b垂直(D)a/b(4)若/(%)是R上周期为5的奇函数，且满足/(1)=1,/(2)=2,则/(3)/(4)=(A)-1(B)1(C)-2(D)2(5)双曲线方程为12一=1,则它的右焦点坐标为(A)(,0)(B)(,0)(C)(,0)(D)(V3,0)(6)设a bc0,二次函数/(%)=a/+。的图象可能是(7)设曲线C的参数方程为x=2+3co s 9y=-l+3s in9直线I的方程为x-3y+2=0,则曲线C到直线I的距离为宜W的点的个数为 10(A)1(B)2(C)3(D)4(8)一个几何全体的三视图如图，该几何体的表面积为(A)280(B)292(C)360(D)372(8为参数),H(S)M(9)动点/(.x j)在圆/+/=i上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，I2秒旋转一周.1 73已知定时t=0时一，点A的坐标是(5,5-),则当0W/K12时一，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是(A)0,1(B)1,7(C)7,12(D)0,1和7,12、（10）设%是任意等比数列，它的前项和，前2项和与前3项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是（A）X+Z=2Y(B)Y(Y-X)=Z(Z-X)(C)Y2=XZ（D）y（yx）=x（zx）（在此卷上答题无效）绝密启用并使用完毕前2010年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第H卷（非选择题共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.（11）命题“对任何2|+|%-4|3的否定是.(12)的展开式中，/的系数等于.2x-y+20,(13)设满足约束条件 8x-y-4 0,b 0)的最大值 x 0,y 0,为8,则a+6的最小值为.（14）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值=.（15）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红 球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球 的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球 是红球的事件，则下列结论中正确的是（写出所有正确结 论的编号）.2 尸团）=于 P（8|4）=,事件B与事件A）相互独立；A”A）,A3是两两互斥的事件；如硝IP产（8）的值不能确定，因为它与A”A2,A3中究竟哪一个发生有关.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解 答写在答题卡上的指定区域内.(16)(本小题满分12分)设A43C是锐角三角形，。也。分别是内角A,B,C所对边长，并且s in2 A=s in(y+5)s in(y-5)+s in2 B.(I)求角A的值；(H)若瓦就=12,a=2j 7,求仇c(其中6ln2-LiLx 0 时，ex x2-lax+1.(18)(本小题满分13分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF/AB,EFFB,AB=2EF,ZBFC=90,BF=FC,H 为 BC 的中点.(I)求证：FH平面EDB；(II)求证:AC_L平面 EDB；(III)求二面角BDEC的大小.(19)(本小题满分13分)已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴，焦点Fi，F?在x轴上，离心率e=.2(I)求椭圆E的方程；(II)求/片/乃的角平分线所在直线/的方程;(Ill)在椭圆E上是否存在关于直线/对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在,说明理由.WfvnJHim(20)(本小题满分12分)设数列，中的每一项都不为0.证明，七为等差数列的充分必要条件是：对任何wN,都有-1-F,H-=-(21)(本小题满分13分)品酒师需要定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外 观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其 记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现设n=4,分别以外,。2，%，。4表示第一次排序时被排为1，2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X|1 一 6Z|+|2-CL-)|+|3-%I+I 4 Q4 I,则X是对两次排序的偏离程度的一种描述.(I)写出X的可能值集合；(II)假设。1，。2,4，。4等可能地为1，2,3,4的各种排列，求X的分布列；(III)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X b知c=61=4.(17)(本小题满分12分)本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等 式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.(I)解：由/(%)=ex 2x+2a,x e R矢旷(%)=ex 2,x e R.令/(X)=0,得=历2.于是当%变化时/(。/(%)的变化情况如下表：X(yo,In 2)In 2(In 2,+8)0+/(%)单调递减2(1 ln2+a)单调递增故/(%)的单调递减区间是(8,In2),单调递增区间是(In2,+00),/(x)在r=In 2处取得极小值，极小值为/(In 2)=W112 _ 2 M 2+2。=2(1 In 2+a).(ID 证：设g(x)=e-x?+2a x-l,x e R,于是 g(%)=e-2x+2a,x e R.由(D 知当。ln2 l时,g%x)最小值为g(ln2)=2(l ln2+a)0.于是对任意 e R,都有g，(x)0,所以g(x)在R内单调递增，于是当a In 2-1时,对任意x g(0,+8),都有g(x)g(0),而 g(。)=0,从而对任意 C(0,+o o),g(x)0.即 e-x+2ct x 1 0,x-2ax+1.(18)(本小题满分13分)本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查二面角的求法以及利 用向量知识解决几何问题的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.综合法(1)证：设AC与BD交于点G,则G为AC的中点，连EG,GH,又 H 为 BC 的中点，GHH-AB,又-A B,EF/JGH.=2=2=.四边形EFHG为平行四边形，.,.EG/FH,而 EGu 平面 EDB,.FH平面 EDB.(II)证：由四边形ABCD为正方形，有AB_LBC,又EF/AB,A EFBC.v而 EFJ_FB,VEFIW BFC,AEFIFH,AABIFH.又BF=FC,H为BC的中点，FH，BC.乡.FH_L平面 ABCD,.FH_LAC,又 FH/BC,.，.AC=EG.又AC_LBD,EGCBD=G,，AG_L平面EDB.第1牝逋线合花明阳(III)解：EF_LFB,ZBFC=90,，BF_L平面 CDEF,在平面CDEF内过点F作FK1DE交DE的延长线于K,则NFKB为二面角BDEC的一个平面角.设 EF=1,则 AB=2,FC=,DE=a/3XEF/DC,A ZKEF=ZEDC,s in Z EDC=s in Z KEF=百a/2 BF r-FK=EFs in Z KEF=,t a nZFKB=J3,ZFKB=60 a/3 FK二面角 BDEC 为 60.向量法四边形 ABCD 为正方形，.AB1BC,又 EFAB,.,.EFBC.又 EF_LFB,.加_1 平面 BFC.AEFIFH,AABIFH.又 BF=FC,H 为 BC 的中点,AFH1BC,，FH_L平面 ABC.以H为坐标原点，丽为1轴正向，9为z轴正向，建立如图所示坐标系.设 BH=1,则 A(1,2,0),B(1,0,0),C(1,0,0),D(1,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1).第1弱)通向俄用图(I)证：设AC与BD的交点为G,连GE,GH,则 G(O,-1,0),CE=(0,0,1),又而=(0,0,1)HF/I GE.Gu平面EDB,HF不在平面EDB内，.，.FH平面EBD,(II)证：AC=(-2,2,0),GE=(0,0,1),AC-GE=0,AC X.GE.又 AC_LBD,EGGBD=G,.AC_L 平面 EDB.(Ill)解：BE=(-1,-1,1),5=(-2,-2,0).设平面BDE的法向量为勺=(1，m，z)则 BE 勺=yx+4=0,BD-nx=1 2y=0,v,=l.z,O.BPw,=(1,1,0).c5=(o-2,o),c=(i,-i,i),设平面CQE的法向量为%=(1/2/2)，则%丽=0/2=，故 12=(1,0,-1),n,n?1 1co s n?=-产尸.|n)|-|n2|V2-V2 2.=60,即二面角BDEC为60.(19)(本小题满分13分)本题考查椭圆的定义及标准方程,椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程,点到直线的距离公式，点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合 运算能力、探究意识与创新意识.2 2解：(I)设椭圆E的方程为二十二二1a b由 e=，即 =2c,得 b?=ai 2 3-c1=3ei 3将A(2,3)代入上式，得f+r=l,解得。=2,c c2 2椭圆E的方程为-F-=1.16 12(II)解法1：由(D知片(2,0),凡(2,0),所以3直线AFi的方程为：=(%+2),即3%4歹+6=0,2 a 22 2椭圆方程具有形式 J+J=L4c2 3/直线AF2的方程为：x=2.由点A在椭圆E上的位置知，直线/的斜率为正数.设尸(x j)为/上任一点，则小一外+6|5_2若3%4+6=5%10,得x+2y 8=0(因其斜率为负，舍去).所以直线/的方程为：2%歹1=0.解法2F.(-2.01E(2,0),.AFX=(-4,-3),AF2=(0,-3).AF iXiAF iMi1 1 4(-4,-3)+-(0,-3)=-(1,2).K=2,.Iy 3-2(%1),即2x y 1 0.(Ill)解法 1：假设存在这样的两个不同的点5区,必)和0(%,为)，设的中点为“a。/。),则X。=土产/。=人卢,由于M在/上，故2%-%+1=0.2 2 2 2又B,C在椭圆上，所以有-=1与-+为=1.16 12 16 122 _ 2 2 _ 2两式相减，得当 f f=0,即(石+)(%2-再)+(必+先)(%)=01612将该式写为l/+匹口8 2 x2 X1LM+%=06 2并将直线BC的斜率心c和线段BC的中点，表示代入该表达式中,得:不 一%=。，即3%-2%=0.o 12X2得9=2,盟=3,即BC的中点为点A,而这是不可能的.不存在满足题设条件的点B和C.解法2：假设存在,y),CH,y2)两点关于直线/对称，则.程 c=-g.1 r2 v2设直线8C的方程为y=-x+加，将其代入椭圆方程L+匕=1,2 16 12得一元二次方程3/+4(-j x+m)2=48,即Y-mx+m2-12=0,则%与马是该方程的两个根，由韦达定理得再+%=加，十日 1 z、c 3m于 zny+y2=(xi+x2)+2m=-B,C的中点坐标为(,-)3n7又线段BC的中点在直线y=2%1上,=m-l,得m=4.4即B,C的中点坐标为(2,3),与点A重合，矛盾.不存在满足题设条件的相异两点.(20)(本小题满分12分)本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能 力.证：先证必要性设数列4的公差为，若d=0,则所述等式显然成立,若dwO,则naan+再证充分性.证法1：（数学归纳法）设所述的等式对一切 eN+都成立，首先，在等式 1，2 2 03”1 3两端同乘4。2 a3,即得4+。3=2。2,所以成等差数歹小记公差为d,则的=q+.假设为=%+（左l）d,当=左+1时，观察如下二等式1 1 1 k-1-1-F ,-,“2。2。3%1%。21 1 1 1 k-1-F,I-,。1。2 a2a3 ak-ak ak ak+i将代入，得k-1 k-+-=-,aak ak ak+aak+在该式两端同乘。1，为。*+1，得（左_1）殁+1+a1=ka.将4=4+（左l）d代入其中,整理后，得=%+kd.由数学归纳法原理知，对一切n e N都有4=%+（-l）d,所以4是公差为d的等差数列.证法2：直接证法依题意有1 1 1 n-1-1-=-,a2a3 a an+1 1 1 1 n+a ai a2a3 an an+x an+an+1 a an+2一得1 _ n+n二,an+an+2 aan+2在上式两端同乘%+1。”+2,得%=S+l）%+i/%+i，同理可得 q=nan-（n-l）t zw+1,一得2%=(4+2+4)即。+2-%+1=%+1-凡，所以%是等差数列，(21)(本小题满分13分)本题考查离散型随机变量及其分布列，考查在复杂场合下进行计数的能力，能过设置密 切贴近生产、生活实际的问题情境，考查概率思想在现实生活中的应用，考查抽象概括 能力、应用与创新意识.解：(I)X的可能值集合为0,2,4,6,8.在1,2,3,4中奇数与偶数各有两个，所以。2,生中的奇数个数等于4，%中的偶数个数，因此|l+q|+|3/I与|2%|+|4&I的奇偶性相同，从而 X=(|l&|+|3+?|)+(|2%1+14 4 I)必为偶数.X的值非负，且易知其值不大于8.容易举出使得X的值等于0,2,4,6,8各值的排列的例子.(II)可用列表或树状图列出1,2,3,4的一共24种排列，计算每种排列下的X值，在等可能的假定下，得到X 0 2 4 6 8P 1 379 T24 24 24 24 244 1(III)(i)首先 P(X 2)=P(X=0)+P(X=2)=-=-,将三轮测试都有 X 2 的概率记做P，由上述结果和独立性假设，得(H)由于?=是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试216 1000都有XK2的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能,不是靠随机猜测.绝密使用完毕前2010年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理)(北京卷)本试卷分第I卷和第n卷两部分。第I卷1至2页、第n卷3至5页，共150分。考 试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效,考试结束后，将本试 卷和答题卡。第I卷(选择题共140分)一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。(1)集合？=%62|0%3,=%62,29,则21=(A)1,2(B)0,1,2(C)x|0Wx 3(D)x|0Wx 0)表示的图形是(A)两个圆(B)两条直线(C)一个圆和一条射线(D)一条直线和一条射线(6)a b为非零向量。“a _1_b”是“函数/(%)=(x a+b)口 为一次函数”的(A)充分而不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件x+j-11 0(7)设不等式组0 表示的平面区域为D,若指数函数 产/的图像上存I 5x 3j?+9 q),且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记E为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为0123P6 125ad24125(I)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(II)求夕,q的值;(ill)求数学期望E(18)(本小题共13分)X O已知函数 f(x)=In(l+x)-x+x2(k 0)o(I)当人=2时，求曲线y=/(%)在点(1,/)处的切线方程；(II)求/(%)的单调区间。(19)(本小题共14分)在平面直角坐标系x Oy中，点B与点A(-1,1)关于原点0对称，P是动点，且直线AP与 BP的斜率之积等于-工.3(I)求动点P的轨迹方程；(H)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问：是否存在点P使得4PAB与PMN的 面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。(20)(本小题共13分)已 知集合 Sn=XX=(xpx2,-,xz;),x,e 0,1,/=1,2,/?(/?2)对 于A=(al,a2an,),3=(可也,”,)e S“，定义 A 与 B 的差为A-B=(ax-hx,a2-b2,an-b J);A与B之间的距离为d(48)=Z1%Iz-1(I)证明：V/,B,CeS“，有/BeS，且d(4 C,8 C)=d(/,8)；(ID证明：V48,CcS,d(48),d(4C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数(III)设Pq S”，P中有m(m22)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为一(P).证明:mn-(P)W-d 2(m-l)（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）(1)B(2)C(3)C(4)A(5)C(6)B(7)A(8)D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）(9)(-1,1)(10)1(11)0.030 3(12)5 277(13)(4,0)后干(14)4 万+1三、解答题(本大题共6小题，共80分)(15)(共 13 分).x _ 2乃.2 万/冗,3 9解：(I)f(一)=2co s-Fs in-4co s=-1H=3 3 3 3 4 4(II)/(x)=2(2 co s2 x-1)+(1-co s2 x)-4co s x=3co s2 x-4co s x-l2 7=3(co s x),x e.jR.因为 co s%e-1,1,所以，当co s x=-1时一，/(x)取最大值6；当2 7cosy=时-，/(%)取最小值一(16)(共 14 分)证明：(I)设AC与BD交与点G。因为 EF/AG,且 EF=1,AG=-AC=1.2所以四边形AGEF为平行四边形.所以AF/平面EG,因为石Gu平面BDE,AF（Z平面BDE,所以AF/平面BDE.（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CEJLAC,所以CE_L平面ABCD.如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-孙z.则 C(0,0,0),A(0,V2,0),B(0,V2,0).所以万：=(1,?/)，砺=(0,0,1),DE=(-42,0,1).所以5厂 1+1=0,配L+0+1=0所以 CFLBE,CFDE.所以 Cr J_BDE.?J2(III)由(II)知，CF=Q,y,l)是平面BDE的一个法向量.设平面ABE的法向量=(x,y,z),则口，.即 J(%,3)口 0(%)/)口=0所以1=0,且2=sf2y,令 y=1,则 z=1.所以=(0,1,0)./3从而 co s%CF)=-.-onCF 2因为二面角力HE。为锐角，7T所以二面角力 B。的大小为一.6(17)(共 13 分)解：事件4表示“该生第，门课程取得优秀成绩”，2=1,2,3,由题意知4尸(4)=，尸(4)=2，P(A)=q(I)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“&=o”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是6 1 1,l Pg=0)=1,125 12(II)由题意知-1 6尸 6=0)=P(4力/)=1(1 一夕)(1夕)=恒4 24尸 G=3)=尸隼 Pf、A整理得 pq=-，p+q=11253 2由,q,可得夕=y,q=wdin 由题意知 a=1)=p(4 44)+p(444)+P(4 44)4 i i=(1-。)(1-9)+3(1-4)+”一为_ 37TTtb=帖=2)=1-P4=。+(=*(_ 58-125党=0(J=0)+1步=1升侬(=9-5(18)(共 13 分),1解：(I)当上=2时，/(%)=l n(l+%)%+%2,fx)=-l+2x1+x3由于/=ln2,=所以曲线二/(%)在点(1,/。)处的切线方程为I。3/y-in 2=X-即 3x 2y+21n2 3=0/、x(kx+k-)/,、(II)f(x)=-,X G(-1,+co).1+x x当左=0时，fx)=一一.1+x所以，在区间(1,0)上，/(x)0；在区间(0,+00)上，/(x)0 1+x k11 k所以，在区间(1,0)和(1,+o o)上，/(%)0；在区间(0,一)上,k k/(X)1时，/:M丘+1-I)=。,得石二匕K(一i,o),马=0.1+x k14 1k所以没在区间(1,)和(0,+8)上，/(x)0；在区间(,0),k k/=0,AB 1=272,点P到直线A B的距离d=区皆 V2于是口 的面积吊 ABP当罟筌守又1%+%快。，所以（3%）2=|%21|,解得|%=g。，V33因为玉）+3y o=4,所以比=-9故存在点P使得口 与口的面积相等，此时点P的坐标为解法二：若存在点尸使得口 与口 的面积相等，设点。的坐标为（%,比）1 1则,|夫/|口 z 因为 s in AAPB=s in ZMPN,所以制与所以叫）+J3/|13-%|I%TI即（3-x0）2=|x02-l|,解得/二：。，V33因为o+3y o=4,所以）=-9故存在点尸S使得口 与口 的面积相等，此时点P的坐标为5 45、（20）（共 13 分）证明：（I）设/=（%，。2,勺），B=（也,.血）,C=（ci,c2,.,cn）g Sn因为生，bi e0,l,所以q-2.e0,1,（，=1,2,从而一一8=（|%-4|,&一a|,.,|氏一1|）wS.又 d(4_C,8_C)=ZHa，_G|_G|1=1由题意知等,bi,(e 0,1(i=1,2,.,).当q=0时，|ai_ci-bi-ci=生一;当 G=1 时，11%_q|也q 11=|(1 a J (1 bj|=|%I所以dQ C,8 C)=|.-2|=d(48)Z=1(II)设/=(%,外,，4)，8=(可也，也)，C=(c1,c2,.,c)g5d(A,B,d(A,C)=l,d(B,C)=h.记0=(0,0,.,0)wS.，由(I)可知d A,By d A 4 0 走 Q-B d(A,C)=d(4 4 G 4 4 Q-C：d(B,C、d(耳 4#所以也一1 a=中i的个数为左，q-qa=的i的 个数为/。设t是使|bi-az.|=|ci-aj=1成立的，的个数，则=/+4一2%由此可知，左,/,三个数不可能都是奇数，即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数。_ 1(HI)d(P)=F Z d(43)淇中 (45)表示P中所有两个元素间距离的总和，Cm A,BwP A,BeP设尸种所有元素的第2个位置的数字中共有a个1,加-4个0则 Z d(A,B尸#n-G A,BeP/-I由于乙(加-)(彳。=12M2所以d(A,B)工号A,BwP 斗1 2,./_ x 1 i z a c、,VlTYl从而 d(P)=A Z d(A,B)(方右%A,BsP%mn2(m-l)2010年普通高等学校招生统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）第I卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。1.计算 s in43 co s l 3-co s 43 s inl3 的结果等于A.c显 2D.且2232.以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为A.x2+y2+2x=0 B.x2+y2+x=0C.x2+y2-x=0 D.x2+y2-2x=03.设等差数列a j前n项和为Sn.若a i=-11,a4+a 6=-6，则当Sn取最小值时，n等于A.6 B.7 C.8 D.9X2+2x-3,x 0 一的零点个数为A.0 B.1 C.2 D.35.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于A.2 B.3 C.4 D.56.如图，若。是长方体ABCD-ABCD被平面EFGH截去几何体EFGHBC后得 a H t 到的几何体，其中E为线段A&上异于B的点，F为线段BBi上异于B的点，（感R（第6图图）且EHAi Dh则下列结论中不正确的是A.EH/7FG B.四边形EFGH是矩形C.。是棱柱 D.。是棱台x2，7.若点0和点F(-2,0)分别为双曲线r 丁=1(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线 a右支上的任意一点，则谦口一的取值范围为7 7A.3 2/3,+)B.3+25,+o o)C.-,+o o)D.,+8)4 41,0,8.设不等式组V之X 所表示的平面区域是Q,平面区域。2与Q关于直线3x-4y-9对称。对于R中的任意点A与。2中的任意点B,I AB|的最小值等于28 12A.B.4 C.D.2 5 59.对于复数a,b,c,d,若集合S=a,b,c,d具有性质”对任意x,y eS,必有x y eS”,则/=1,当上二小时，b+c+d等于A.1 B.-1 C.0 D.i10.对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x),若存在函数h(x)=kx+b(k,b为常数)，0 fx)-h(x)m,x。时，总有/(x)-g(x)也，.则 称直线1：y=kx+b为曲线y=f(x)与y=g(x)的“分渐近线”。给出定义域均为D=|x|x 1 的四组函数如下：r-2x-3f(x)=x：g(x)=yfx;f(x)=10+2,g(x)=-;Xx2+1/、x In x+1，/、2x2/、，f(x)=-,g(x)=-;f(x)=/(1)=-,g(x)=2(x-l-e).%In%+1其中,曲线y=f(x)与y=g(x)存在“分渐近线”的是A.B.C.D.第II卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。11.在等比数列中，若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式围()12.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于()。13.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问 题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回I答每个问题的概率都是0.8,且每个问题 的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4个问题就晋级下一轮的概率等于()。JT14.已知函数f(x)=3s in(qX-)(0)和g(x)=2co s(2x+3)+l的图像的对称轴完全相6TT同。若x e 0,-，则f(x)的取值范围是()。_ 2_15.已知定义域为(0,+8)的函数f(x)满足：(1)对任意x e(0,+8),恒有f(2x)=2f(x)成立；(2)当x w(1,2时，f(x)=2-Xo给出结论如下：对任意me Z,有f)=0；函数f(x)的值域为0,+8);存在ne Z,使得f(2+1)=9;“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在Z,使得(a,b)G(2k,2巧”.其中所有正确结论的序号是()。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题满分13分)设S是不等式X?-x-60的解集，整数叫nwS。(I)记”使得m+n=0成立的有序数组(m,n)”为事件A,试列举A包含的基本事件；(II)设J=m2,求J的分布列及其数学期望EJ。17.(本小题满分13分)已知中心在坐标原点0的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2.0)为其右焦点。(I)求椭圆C的方程；(II)是否存在平行于0A的直线L,使得直线L与椭圆C有公共点，且直线OA与L的距离等于4?若存在，求出直线L的方程；若不存在，说明理由。J7T环18.(本小题满分13分)如图，圆柱001内有一个三棱柱ABC-ABG,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆0的直径。I(I)证明：平面AiACC平面BBCCi；(II)设AB=AAi。在圆柱OOi内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC-ABC内的概率为Po(i)当点C在圆周上运动时，求P的最大值；(ii)记平面AACG与平面BQC所成的角为。(0 0 S2,则一为定值；(II)对于一般的三次函数g(x)=a x+bx 2+cx+d(a W0),请给出类似于(I)(ii)的 正确命题，并予以证明。21.本题设有(1)(2)(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14 分。如果多做，则按所做的前两题记分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题 目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。(1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换已知矩阵 M=C J,N=(t!且 MN=(-2(I)求实数a,b,c,d的值；(H)求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程。(2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x Oy中，直线L的参数方程为(t为参数)，在极坐标系(与直角坐 标系x Oy取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为0=2j s in。(I)求圆C的直角坐标方程；(II)设圆C与直线L交于点A,Bo若点P的坐标为(3,V5),求I PA|+|PB|。(3)(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)=I x-a I.(I)若不等式f(x)W3的解集为求实数a的值；(II)在(I)的条件下，若f(x)+f(x+5)2m对一切实数x恒成立，求实数m的取 值范围。参考答案一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分50分。1.A 2.D 3.A 4.C 5.C 6.D 7.B 8.B 9.B 10.C二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题4分，满分20分。3-11.4T 12.6+273 13.0.128 14.-,3 15.三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明