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圆周角的优秀教案
根据数学课程标准中关于“圆周角”的教学要求，和对教材、学生的分析，结合我班学生已有的经验和知识基础，我确定了本节课的教学目标：
⑴ 了解圆周角与圆心角之间的关系，理解圆周角的概念，掌握圆周角定理，能熟练运用圆周角定理进行有关证明和计算；
⑵ 经历观察、实验、比较、猜想、证明等探索圆周角定理的过程，体会转化、分类讨论的数学思想方法以及从特殊到一般的认识规律；
⑶ 在合作交流活动中，享受自主探究发现知识的乐趣，在几何图形的运动变化中，感受变化美、动态美，培养学生勇于探索和勤于思考的精神。
2．教学过程的设计
⑴创设情境，导入新课
我首先从学生已掌握的旧知识出发，提出问题：什么叫圆心角？图1中∠AOB的特点是什么？有哪些相关的性质？
学生思考后回答，师生共同纠正评价，进一步明确：顶点在圆心的角叫圆心角；在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等
。
然后我用多媒体展示在北京海洋馆里人们通过圆弧形玻璃窗AB观看窗内神奇的海底世界的图片，如图2，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，同学丙和丁分别站在其他靠墙的位置D和E。在学生理解题意后，我向学生提问：你知道哪位同学的观赏角度最好吗？
学生结合图形大胆猜想，猜想的结果是否正确，我并不给出明确的答案，而是设置一个悬念，并向学生说明：通过今天的学习，我们就可以解决这个问题，从而引入本节课的课题—圆周角。
⑵合作探究，学习新知
我首先引导学生认识圆周角。
提出问题1：在图2中，∠AOB的顶点在圆心，∠AOB是圆心角；∠ACB、∠ADB和∠AEB这三个角有什么共同的特征吗？学生独立思考，回答问题后，师生共同纠正评价，明确共同的特征是：①角的顶点在圆周上；②角的两边都和圆相交。
提出问题2：你能尝试叙述一下“圆周角”的概念吗？学生通过类比回答问题，师生修改、补充、达成共识得到圆周角的概念：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
提出问题3：圆周角与圆心角的概念有什么区别、联系吗？学生独立思考进行回答，其他学生补充完善后，我利用多媒体课件指出圆周角与圆心角概念之间的区别、联系：
图形 角的顶点 角的两边
圆心角∠AOB 在圆心 两边和圆相交（不必强调）
圆周角∠ACB 在圆上 两边和圆相交（必须强调）
提出问题4:判断下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理
由
。
学生独立思考后回答问题，图（3）（6）（8）中的角是圆周角。我及时给予鼓励评价，并由学生总结强调：圆周角的概念中两个特征缺一不可：①顶点在圆上；②两边和圆相交。 我顺势引导学生观察图（3）（6）（8）中三个圆周角的位置特征，继续提问：
问题5:圆心与圆周角之间存在几种不同的位置关系？
学生先独立思考，再与同桌交流，我借助几何画板，从运动的观点引导学生观察归纳，师生达成共识后明确指出：圆心与圆周角之间存在三种位置关系。圆心在角的一边上；圆心在角的内部；圆心在角的外部。为圆周角定理的分类证明做好铺垫，渗透分类讨论思想。 然后我引导学生探究圆周角的性质
观察实验，测量比较
我请同学们分成小组，先在学案纸上任意画同一条弧AB所对的圆心角和圆周角，再用量角器分别度量出这两个角的大小，填入表格中，并比较它们在度数之间有怎样的关系？
参与学生小组活动，对于发现规律的学习小组，给予及时的表扬，并鼓励他们用准确简练的语言，归纳概括提出猜想。
对于没有发现规律的小组，我引导学生根据圆心与圆周角不同的位置关系，正确画出图形，渗透分类讨论思想，并测量比较圆心角和圆周角度数之间的关系，帮助他们发现规律。 提出猜想，直观验证
在学生分小组进行观察实验、度量比较、充分讨论的基础上，我请小组代表阐述本组合作交流、探究发现的规律，提出猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 我适时地利用几何画板进行直观演示，验证学生提出的猜想。
拖动点C，观察到弧AB所对的圆周角虽然有无数个，但度量∠AOB和∠ACB的度数后，发现：圆周角∠ACB都等于它所对的圆心角∠AOB的一半。
拖动点A，改变弧AB的大小，观察发现上述规律不变，即∠ACB=∠AOB。
推理证明，归纳性质
在几何画板直观验证的基础上，我让学生分小组进一步对猜想进行推理证明。
我积极参与学生小组活动，对于能正确书写推理证明过程的学习小组，给予及时的鼓励表扬，并引导学生反思总结：在证明过程中，你运用了哪些数学思想方法？
对于证明有困难的学习小组，我分三步给予启发引导：
第一步：让学生结合图形正确写出已知和求证；
第二步：引导学生分三种情况进行讨论。从第一种“圆心在角的一边上”的特殊情况开始，利用“三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质”加以证明；
第三步：引导学生把其他两种一般情况“圆心在角的内部或外部”，通过添加直径这条辅助线，转化为第一种“圆心在角的一边上”的特殊情况来解决。
给予学生足够多的时间，让学生进行充分的讨论证明，然后我请小组代表运用实物投影进行展示交流，我和学生共同进行修改、补充和完善，并用多媒体课件展示规范的推理证明过程，最后由学生总结概括得到圆周角定理，我进行板书。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
已知：在⊙Ｏ中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB。
求证：
证明：① 如图1，圆心O在∠ACB的边上
∵ OC =OB，∴∠B =∠C
∵∠AOB是△OBC中∠COB的外角，
∴∠AOB = ∠C+ ∠B
∴∠AOB = 2∠ACB 即∠ACB =1\2∠AOB
② 如图2，圆心O在∠ACB的内部
作直径CD，利用（1）的结果，有
∠ACD =∠AOD ，∠BCD =∠BOD
∴∠ACD + ∠BCD =（∠AOD +∠BOD）
即∠ACB =1\2∠AOB
③ 如图3，圆心O在∠ACB的外部
作直径CD，利用（1）的结果，有
∠ACD =∠AOD ，∠BCD =∠BOD
∴∠BCD - ∠ACD =（∠BOD -∠AOD）
即∠ACB =1\2∠AOB
在得到圆周角定理后，请学生结合图形写出推理形式，并由一名
同学板演。
符号语言：
∵在⊙o中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB，
∴∠ACB =1\2∠AOB
（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）。
在学生对圆周角定理的文字、图形、符号三种语言已有正确认识的基础上，进一步强调： ①定理的条件：是“一条弧”。
②定理的结论：为角的有关计算、角相等、弧相等、弦相等的有关证明提供了新的方法和依据。
③定理的证明过程：使用完全归纳法进行证明，体现了分类讨论、转化等数学思想方法以及从特殊到一般的认知规律。
解决问题，反思感悟
在正确理解圆周角定理后，继续问学生：你现在能解决引例中提出的问题吗？
问题：在北京海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB观看窗内神奇的海底世界。 如图，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，同学丙和丁分别站在其他靠墙的位置D和E。你知道哪位同学的观赏角度最好吗？
解：因为∠ACB、∠ADB和∠AEB是所对的圆周角，∠AOB是所对的圆心角， 所以∠ACB＝∠ADB＝∠AEB＝∠AOB。
因为的角度越大，观赏角度越佳，
所以站在点O的位置时观赏角度最好，站在点C、D、E的位置时观赏效果一样。
在解决问题后，我引导学生小结，反思感悟到：正确掌握圆周角定理是解决问题的关键。 本阶段通过学生合作交流等活动，探究圆周角的概念和圆周角定理，逐步体会分类讨论、转化等数学思想方法以及特殊到一般的认知规律。
⑶应用知识，培养能力
首先，安排了第一组练习：“比一比，谁最棒！”
①如图1，Ｃ是⊙o上的一点，如果∠Ｃ＝35°,那么∠AOB = ；
②如图2，AB、AC为⊙o的两条弦，延长CA到D，使AD = AB，如果∠ADB = 30o，那么∠BOC = ；
③如图3，已知A、C、B、D是⊙Ｏ上的点，如果∠AOB = 100°，那么∠ACB = ，∠ADB = ；
④如图4，A、B是⊙Ｏ上的两点，如果∠AOB=80°,C是⊙Ｏ上不与点A、B重合的任一点，那么∠ACB = 。
图1 图2 图3 图4
第①题是由圆周角直接求圆心角，第③题是由圆心角直接求圆周角，目的是使学生熟悉掌握圆周角定理；
第②题需要先利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质确定圆周角后，再求出圆心角，目的是使学生进一步掌握圆周角定理；
第④题点C在劣弧上还是在优弧上不确定，需要分类讨论求解，目的是使学生灵活掌握圆