几何画板_课件设计_函数图象的变换.doc

目 录

摘　要 3
Abstract 3
引　言 4
第一部分　课件的选择 4
第二部分　课件的制作 6
课件1的制作：函数图像的平移变换. 6
课件2的制作：函数图像的反射变换. 7
课件3的制作：函数图像的旋转变换. 8
课件4的制作：函数图像的放缩变换. 9
课件5的制作：柱面――M线. 10
课件6的制作：锥面. 11
第三部分　学习《几何画板》的体会 12
参考文献 12

摘　要

　　　《几何画板》是一个适用于几何（平面几何，解析几何，射影几何，立体几何）、部分物理、天文教学的专业学科优秀平台软件，它能辅助教师在教学中使用现代化教育技术并进行教学试验，也可以帮助学生在实际操作中把握学科的内在实质，培养其观察能力，问题解决能力，并发展思维能力．它代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向．

本文讨论了用《几何画板》展示函数图像变换的有关问题．一般的课件只能做出函数的图像，而不能对函数图像进行变换，更不能演示变换的过程，《几何画板》也没有这些功能，本文的主要成果就在于《几何画板》中实现了轨迹、函数图像的变换以及图像变换的动态演示，并由此法制作了几个有关函数图像变换的课件．

全文由四个部分组成．引言部分简单介绍了《几何画板》这个软件极其在数学教学中的重要性．第一部分说明了课件的选择原则及我所选择的几个课件；第二部分详细介绍了这几个课件的制做过程；第三部分是我学习和使用《几何画板》的体会．

关键词：《几何画板》、函数图像变换、旋转、反射、缩放、平移、动画、轨迹、动态几何．

Abstract
The Geometer’s Sketchpad is an excellent platform. It is applies to the teaching of geometry (plane geometry ,analytic geometry ,projection geometry and solid geometry),partial physics and this platform not only can help teachers use the modern educational technology in their teaching, but also can help students grasp the inwardness of science, and cultivate their ability of observation and solving question, and progressing their ideation. As far as it goes, the platform represents the developing direction of the educative tool software.
This paper has discussed how to demonstrate transformation of function images by the Geometer’s Sketchpad. General coursewares can only make the image of function, and can not transform the image of function. And it can not demonstrate the course of transformation either. " The Geometer’s Sketchpad does not have these functions also. The major accomplishment of this paper is that is two things can be done by the Geometer’s Sketchpad :one is transforming the locus and function images, the other is demonstrating the course of the transformation dynamically. And I made some coursewares about the transformation of function images by this method.．
The paper is composed of four parts: In the introduction I introduce the Geometer’s Sketchpad and stress the necessity of using it in mathematic tuition fee. In the first part, I explain why I choose this several coursewars. In the second part, I introduce in detail the course of making those coursewares. In the last part, I relate my experience of study by using the Geometer’s Sketchpad.

Keyword: The Geometer’s Sketchpad, move, dynamic geometry, reflect spin translation, rotate, trace , function image alternate.

引　言

《几何画板》（The Geometer’s Sketchpad）是美国优秀的教育软件，它的中文全名是《几何画板—21世纪的动态几何》．
《几何画板》是一个适用于几何（平面几何、解析几何、射影几何、立体几何）教学的软件平台．它为老师和学生提供了一个观察和探索几何图形内在关系的环境．它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等，构造出其它较为复杂的图形．《几何画板》具有强大的功能，但是它简单易学，接触一段时间就可以掌握它的基本操作，制作较为简单的课件，但是要做出优秀的课件也并非易事，这需要使用者将《几何画板》的功能与数学思想很好地结合起来．
《几何画板》是十分好的教学软件,它以“建构主义”为理论指导,将几何图形以动态的方式展现到学生面前，可以使学生更好地理解图形的特点和各种几何关系；它同时又是很好的学具，学生们可以利用所学的知识自己制作课件，这样不仅可以调动他们学习数学的积极性，还可以开阔学生的视野，培养学生的创新能力．
计算机辅助教学是现代教育技术的重要组成部分，其在课堂教学中的广泛应用也是教育发展的必然趋势．而《几何画板—21世纪的动态几何》就是比较优秀的数学教学软件．我相信随着计算机辅助教学的不断推广，《几何画板》也将发挥出更加重要的作用．

第一部分　课件的选择

作为优秀的数学教学软件，《几何画板》可以动态地演示几何图形的变化，让学生更直观地看到图形间的联系．而作为新时代的数学教师，就应该掌握这个软件，并将其用于课堂教学的实践．我做的课件是关于函数图像的变换．我之所以选这个题目，是因为以下两方面的原因：首先，函数图像变换是中学数学教学中的重点和难点，有些学生很难想象函数图像变换前后的关系，这就影响了他们理解函数表达式与函数图像之间的对应关系，无法做到数形结合．其次，《几何画板》没有让轨迹、图像运动的功能，它只能做出变换后的图像，而不能实现变换过程的动态演示．
函数图像的变换主要有以下四种：平移变换、反射变换、旋转变换、缩放变换．本文的主要内容就是讲如何用《几何画板》将这四种变换以动态的方式展现出来．
第一个是平移变换．
平移变换是指函数图像保持形状不变，在平面上下左右地移动，其中包括两种基本情况：
1.将函数的图像向左(或向右)平移个单位
　　　　 (k>0时向左，k<0时向右)得的图像．
2.将函数的图像向上(或向下)平移个单位
　　　　 (k>0时向上，k<0时向下)得的图像．
任意一个平移变换都可以看成是成这两种基本情的复合．因此我们要实现一个平移变换，可将函数图像先沿x轴方向移动相应的距离再沿y轴方向移动相应的距离．我制作课件的的思路就是先绘制新函数，然后让函数图像依次沿x轴、y轴移动，将这个过程动态地表现出来，并且用追踪轨迹的方法将移动的路线记录下来，让学生了解各因素对函数图像的影响．

第二个是反射变换．
反射变换是关于一条直线的反射，反射像与原像关于这条直线是对称的，就像镜中的像与原像一样，因此也称镜面反射．《几何画板》有“反射”这一功能，只要标记镜面，并选择要反射的原像，直接用“反射”就可以得到反射像了，但是为了让学生更清楚地看到反射的过程，我想要将反射的过程动态地展现出来，就需要一定的技巧，使轨迹运动起来，而《几何画板》中的轨迹和图像是不能变换和移动的．因此我们考虑以点动带动轨迹的运动．这也是我做的几个课件应用的主要技术．实际上就是先在函数图像上任取一点A，作这点的反射点B，然后连接这两点，在所得线段AB上任取一点C，选中C、A作轨迹，只要移动C点，就可以移动轨迹．再作C到A、C到B的移动按钮，改名为“还原” 、“反射”，则可用按钮来控制反射了．改变标记的镜面，可以做出关于任意直线的反射．其中关于x轴、y轴、直线y=x的反射比较特殊，分别可得到、、的图像．

第三个是旋转变换．
旋转变换是指以一固定点为中心，将函数图像旋转某个角度．和前两个变换一样，旋转变换也是保形变换，也就是变换前后函数图像的形状保持不变，只是位置改变而已．旋转变换的移动做法类似于反射变换，只是对A点进行的不是反射变换而改为以固定点为中心旋转某个角度得到B点，后面的步骤都相同．

第四个是放缩变换．
放缩变换有两种，一种是以原点为中心进行放缩，另一种是以坐标轴为基本进行放缩．例如：以x轴为准，将图像放大两倍，实际上就是横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍；如果是以原点为中心，则是横纵坐标一起放缩相同的倍数．至于是放大还是缩小，只要改变放缩系数就可以了，系数大于1就是放大，小于1就是缩小．变换的移动做法也类似于反射变换．
这四种变换是基本变换，它们可以复合起来，形成比较复杂的变换，比如先平移、后放缩、再旋转，就得到了一个于原来有联系又不同的新函数．如果将这些变换移动的轨迹记录下来，就得到了一些曲面，比如柱面、锥面等，还能使图形产生立体效果，我在这方面准备了两个课件，一个柱面、一个锥面．

第二部分　课件的制作

课件1的制作：函数图像的平移变换.
(1)．新建坐标系，新建参数a,b,c,并分别建立它们的动画按钮；
(2)．绘制新函数，以为例．
(3)．新建参数，单位选为厘米，作为沿x轴和y轴的平移量．
(4)．在函数图像上任取一点H，标记距离，将H在水平按标记的距离移动，垂直方向移动量为O，得到H＇．连接H和H＇，在线段HH＇上任取一点I，标记距离，将I在垂直方向按标记距离移动，水平方向上移动距离为O，得到I’．连接I和I’，在II’上任取一点J，选中J和H作轨迹，将其改为蓝色粗线显示，所得轨迹会随着J点的运动而运动．
(5)．分别作I到H，I到H＇的移动按钮，改标签为移动x ，还原x ；再分别作J到I，J到I’的移动按钮，改标签为移动y ，还原y ．则可由这些按钮来控制函数图像的移动了．
(6)．选中H’和H作轨迹，则得到原函数图像沿x轴移动后的图像，将图像改为红色粗线，在选中新图像作隐藏按钮，改标签为x方向．
(7)．依次选中移动x 、x方向 、移动y ，作系列按钮，改标签为移动．这样就实现了一个按钮控制整个移动过程．
(8)．用文本工具作出沿x方向和沿两个方向移动后的函数表达式，分别为：，，将这两个表达式放在对应图像旁边适合的位置．并且分别建立表达式的隐藏按钮，改标签为隐藏函数h 、隐藏函数t ．
(9)．依次选中隐藏函数t 、还原y 、隐藏函数h 、x方向、还原x作系列按钮，改标签为还原．
(10)．在蓝色的函数图像上任取两点A，B，对它们进行追踪．则它们运动的轨迹就是整个函数图像运动的轨迹．
(11)．建立清除轨迹按钮：任意画一个点K，选中K做两个“显示隐藏”按钮．同时选中这两个按钮，建立“系列”按钮，在“系列按钮”标签中选定“清除所有轨迹”项，改标签为清除轨迹，隐藏K点．
(12)．隐藏不必要的点和线．

说明：
１．改变a,b,c的值则可改变原函数的形状与位置，h(x)和t(x)的图像也会相应改变；
２．修改f(x)的表达式，用此方法还可以实现其它函数图像的平移，这时要注意要调整A,B点的位置，达到比较好的视觉效果，另外，因为h(x)和t(x)的表达式是由文本工具编写的，不能随f(x)的改变而改变，所以要重新编写这两个表达式；
３．改变的值，可以实现任意的移动．
４．保留移动x ，还原x ，移动y ，还原y ，就可以实现只沿x轴或y轴的平移，方便教师的讲解．

课件2的制作：函数图像的反射变换.
我们以关于y=x的对称为例：
(1),(2)步同上面的平移变换；
(3)．作函数图像y=x，并标记为镜面；
(4)．在函数图像上任取一点B，按标记镜面反射得B’点．连接BB’，在其上任取一点C．选中C和B作轨迹，将其改为蓝色粗线显示，则所得轨迹会随着C点的运动而运动；
(5)．分别作C到B、C到B’的移动按钮，改标签为反射、还原；
(6)．用文本工具作出反射后的函数表达式，并建立隐藏显示按钮，注意自变量改为y，因为图像关于y=x对称的两个函数互为反函数；
(7)．隐藏不必要的点线．

说明：
改变(3)中标记的镜面，可以作出关于任意直线反射的图像．

课件3的制作：函数图像的旋转变换.
(1)．新建坐标系，新建参数a，建立动画按钮，绘制新函数；
(2)．新建参数b，标签改为旋转角度，单位选“度”，初值设为，并记角度；
(3)．先作一个小圆A，对圆上任意点B ，以A为中心分别将B按标记角度和旋转得点B’和点F，过BFB’作弧，在弧上任取一点C，连接AC，度量∠BAC，选中度量值标记角度；
(4)．分别作C到B、C到B’的移动按钮，改标签为还原、旋转；
(5)．对函数图像上任意点E，以原点为中心按标记角度旋转，得E’点，选中E’E作轨迹，则所得轨迹可在上步做的还原、旋转控制下旋转；
(6)．追踪E’点，则易见其轨迹为一段与BFC弧度相等的弧；
(7)．度量E、E’的坐标值，并建立隐藏按钮；
(8)．连接OE、OE’，度量其值，并建立隐藏按钮，改标签为连线、连线长；
(9)．建立清除轨迹按钮，方法同第一个课件；
(10)．隐藏不必要的点和线．

说明：(1)．改变(5)中的旋转中心，可以实现以任意点为中心的旋转；
(2)．一定要将“编辑”中的“参数选项”中角度的单位改为“定向度”，否则当旋转角度大于时，就会出现回转的现象；
(3)．就这个课件而言也可以不画小圆A而直接对函数图像上的E点进行旋转，但这样做就不能将它直接用于其课件，而单做一个控制旋转的小圆以及其操作按钮，就可以通过复制直接用于其它有关旋转的课件，可以节省一些时间和精力．

课件4的制作：函数图像的放缩变换.

缩放变换中轨迹运动的实现方法与上面的几个课件类似,不同的地方就在于K点和G点的做法：

(1)．新建参数缩放系数Ｏ，控制以原点为中心的缩放比例，并将其标记比值；新建参数缩放系数x，控制以x轴为基准的缩放比例；
(2)．对于函数图像上任意一点Ｅ，以原点为中心，按标记比值缩放，则得到点Ｋ；
(3)．分别度量Ｅ点的横纵坐标值，并用计算功能将纵坐标值乘以缩放系数x，依次选中Ｅ点的横坐标值和计算出的值，绘制点，即得Ｇ点．

图４

课件5的制作：柱面――M线.
图５
绘制出的图像，在其上任选一点C，作线段AB，将C分别按AB、BA方向平移，得点C’’ 、C’，连接CC’’ 、CC’，选中线段CC’’和点C作轨迹，则得到函数图像前方的部分，选中线段CC’和点C作轨迹，则得到函数图像后方的部分．拖动点A或点B则可改变观看图形的角度，产生立体的效果，拖动C点可以看到线段C’C’’在图形上运动但始终保持与AB平行．

课件6的制作：锥面.
(1)．作线段AB，在其上任取一点G，作动画；
(2)．以A为心AG为半径作圆，在圆上任取一点J，将G点以A为心旋转，依次选中点G、旋转后的点和点A作弧，在弧上任取一点I，同法作出H点；
(3)．在平面上任取一点F，标记为中心，分别将I、J、H、K旋转，得I’、J’、H’、K’，再按20％的比例缩放得I’’、J’’、H’’、K’’，连接II’’、JJ’’、HH’’、KK’’；
(4)．选中II’’和I、HH’’和H作轨迹，则得到锥面，对轨迹设置隐藏显示按钮；选中I’’和I、H’’和H作轨迹，则得到后面的边界线；
(5)．分别建立I、H的运动按钮和线段II’’、HH’’的隐藏显示按钮，并这两条线段进行追踪，依次选中隐藏H和隐藏I，建立系列按钮，选同时执行，改标签为准备，依次选中运动点H、准备、运动点I建立系列按钮，选依次执行，改标签为生成；
(6)．建立清除轨迹按钮；
(7)．隐藏不必要的点和线．
图６
说明：
(1)．在使用生成前，要将I点拖到G点处、H点拖到K点处，并显示线段HH’’、隐藏线段II’’；使用生成按钮后，若想再演示一次锥面生成的过程，要先将轨迹清除，并按一下准备按钮，方可进行下一次生成；
　(2)．运动点G，则可看到锥面随边缘不断变化；
(3)．演示生成过程时，要将锥面轨迹隐藏，而在改变F点位置得到新锥面时要除去对线段HH’’ 和II’’的追踪，而直接显示锥面．

第三部分　学习《几何画板》的体会

现今，计算机辅助教学手段的使用是教育现代化的一个重要标志，对提高教育质量及教学效率都有重要的意义．它不但可以扩大受教育面，便于及时巩固所学知识，而且为数学教育开辟了更为广阔的天地．
《几何画板》作为优秀的教学软件之一，是一个通用的数学，物理教学环境，其丰富的创造功能使用户可以随心所欲的编写自己所需要的教学课件．该软件提供了充分的手段帮助用户实现其教学思想，只要熟悉它的简单使用技巧就可以自行设计和编写应用范例，无需任何编程．所做的课件要体现的并不是编者的计算机软件水平，而是对知识的理解程度、教学思想和教学水平．
《几何画板》不仅能够帮助教师扩展系在传统教学中的能力，而且还为新的教学方法提供了可能．在新的教学方法中，强调学生的主体参与，学生课堂的主体，通过学生的参与来帮助学生更好地学习．但是现在普通的课堂，还不能完全体现学生的主体性，在《几何画板》和计算机网络的支持下，教师可以很容易地为每一位学生的比较和抽象创造一种活动的空间和条件，让学生能在活动中进行反身抽象，获得，理解和掌握抽象概念．只有这样学生获得的才是真正的数学经验，而不是数学结论．从这个意义上说，《几何画板》不仅仅是教师教学的工具，更应该成为学生的有利的认知工具．
我在北京八中实习期间，用《几何画板》制作了几个关于三角形全等和角平分线性质的课件，用于课堂教学之中，取得了比较好的效果．首先学生们对于多媒体辅助教学的形式就比较感兴趣，其次《几何画板》的动态演示效果能使学生更好地理解知识的内在含义．即便是《几何画板》中很简单的功能，如果与要讲的知识结合得好，也会产生不意想不到的效果．我在实习中讲得最好的一节课就是角平分线性质那一节，虽然我只是用了度量功能，展示无论角的度数怎样变化，分得的两个小角的度数始终是相等的，但是这就比单纯让学生去想象更有说服力，也更加形象，一般的学生都可以接受．
其实，在《几何画板》中还有很多其他的功能，比如本文所涉及的图像变换、轨迹、追踪、动画等，都是很好用也很实用的．在讲解一些比较抽象的知识时，如果教师能够做出适合的课件，对于学生的理解是十分有帮助的．当然，《几何画板》也不是万能软件，想要实现一些复杂的变换还需要我们不断学习，不断发掘，拓展它的功能．

参考文献
1. 几何画板与微型课件制作/刘胜利编.—北京：科学出版社，2001；
2. 如何用几何画板教数学/王鹏远 王选勃 王玉编写.—北京：人民教育出版社；
3. 用“几何画板”辅助数学教学/王鹏远编著.—北京：人民教育出版社；

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