高等数学-下(公式大整理).doc

高等数学（下）

八、空间解析几何与向量代数
8.1 向量及其线性运算
1.向量概念
2.向量的线性运算
3.空间直角坐标系
4.利用坐标作向量的线性运算
5.向量的模、方向角、投影
8.2 数量积、向量积
1.两向量的数量积
2.两向量的向量积
8.3 曲面及其方程
1.曲面方程的概念
2.旋转曲面
3.柱面
4.二次曲面
8.4 空间曲线及其方程
1.空间曲线的一般方程
2.空间曲线的参数方程
3.空间曲线在坐标面上的投影
8.5平面及其方程
1.平面的点法式方程
2.平面的一般式方程
3.两平面的夹角
8.6空间直线及其方程
1.空间直线的一般式方程
2.空间直线的对称式方程
3.空间直线的参数方程
4.两直线的夹角
5.直线与平面的夹角

九、多元函数微分法及其应用
9.1 多元函数的基本概念
1.平面点集
2.多元函数概念
3.多元函数的极限
4.多元函数的连续性
9.2 偏导数与全微分
1.偏导数
2.全微分
9.3 多元复合函数的求导法则
1.一元函数与多元函数复合
2.多元函数与多元函数复合
9.4 隐函数的求导公式
1.一个方程的情形
2.方程组的情形
9.5 多元函数微分学的几何应用
1.一元向量值函数及其导数
2.空间曲线的切线与法平面
3.曲面的切平面与法线
9.6 方向导数与梯度
1.方向导数
2.梯度
9.7 多元函数的极值与求法
1.极值与最大值、最小值
2.条件极值与拉格朗日乘数法

十、重积分
10.1 二重积分的概念与性质
1.二重积分的概念
2.二重积分的性质
10.2 二重积分的计算法
1.利用直角坐标来计算
2.利用极坐标来计算
10.3三重积分
1.三重积分的定义
2.三重积分的计算
10.4 重积分的应用

十一、曲线积分与曲面积分
11.1 对弧长的曲线积分
1.定义
2.性质
3.计算
11.2 对坐标的曲线积分
1.定义
2.性质
3.计算
4.两类曲线积分之间的关系
11.3 格林公式及其应用
1.格林公式
2.曲线积分与路径无关的条件
3.二元函数的全微分求积
11.4 对面积的曲面积分
1.定义
2.计算
11.5 对坐标的曲面积分
1.定义
2.性质
3.计算
4.两类曲面积分之间的关系
11.6 高斯公式与斯托克斯公式
1.高斯公式
2.斯托克斯公式

十二、无穷级数
12.1 常数项级数的概念和性质
1.定义
2.性质
12.2 常数项级数的审敛法
1.正项级数及其审敛法
2.交错级数及其审敛法
3.绝对收敛与条件收敛
12.3 幂级数
1.函数项级数的概念
2.幂级数及其收敛性
3.幂级数的运算
12.4 函数展开成幂级数
1.泰勒级数
2.展开步骤
3.间接展开法
12.5傅里叶级数
1.定义
2.收敛定理
3.傅里叶展开
4.正弦级数和余弦级数

八、空间解析几何与向量代数
8.1 向量及其线性运算
1.向量概念
向量（矢量），向量相等，向量的模，单位向量，零向量，向量的夹角，向量平行（共线），向量共面
2.向量的线性运算
1）加减法
（加）三角形法则，平行四边形法则，交换律，结合律，n个向量相加的法则，负向量；（减）向量的差
2）向量与数的乘法
结合律，分配律，向量平行的充要条件
3.空间直角坐标系
右手规则，坐标面，卦限，向量的坐标分解式，向径
4.利用坐标作向量的线性运算
，，则 , 。
5.向量的模、方向角、投影
1）向量模的坐标表示式：
2）两点间的距离公式：
3）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角
4）方向余弦：；
5）在轴上的投影：，其中为向量与的夹角；投影的性质
8.2 数量积、向量积
1.两向量的数量积
，是一个数量。
向量垂直的充要条件；数量积的运算规律
2.两向量的向量积
（大小：；方向：符合右手规则）
向量平行的充要条件；向量积的运算规律；
向量积的坐标表示式（三阶行列式）：

8.3 曲面及其方程
1.曲面方程的概念

2.旋转曲面
yOz坐标面上的曲线，
绕y轴旋转一周所得曲面；
绕z轴旋转一周所得曲面。
3.柱面
表示母线平行于z轴，准线为的柱面.
4.二次曲面
1）椭圆锥面： 2）椭球面：
旋转椭球面： 3）单叶双曲面：
4）双叶双曲面： 5）椭圆抛物面：
6）双曲抛物面（马鞍面）： 7）椭圆柱面：
8）双曲柱面： 9）抛物柱面：
8.4 空间曲线及其方程
1.空间曲线的一般方程

2.空间曲线的参数方程
，如螺旋线：
3.空间曲线在坐标面上的投影
，消去z，得到曲线在面xOy上的投影
8.5平面及其方程
1.平面的点法式方程

其中，法向量，过点
2.平面的一般式方程
(A,B,C)就是一个法向量的坐标。
若D=0，则表示一个通过原点的平面。
截距式方程：（a、b、c依次叫平面在x、y、z轴上的截距）
3.两平面的夹角
若两平面的法线向量分别为，，
则两平面的夹角的余弦为.

点到平面的距离：

8.6空间直线及其方程
1.空间直线的一般式方程

2.空间直线的对称式方程
即点向式方程：
其中，方向向量，过点。
3.空间直线的参数方程
由直线的对称式方程可导出直线的参数方程：
.
4.两直线的夹角
若两直线的方向向量分别为，，
则两向量的夹角的余弦为

5.直线与平面的夹角
若直线的方向向量为（m,n,p），平面的法线向量为（A,B,C）,
则直线与它在平面上的投影直线的夹角的正弦为.

九、多元函数微分法及其应用
9.1 多元函数的基本概念
1.平面点集
平面点集，点的邻域；内点，外点，边界点，聚点；开集，闭集，连通集，开区域，闭区域，有界集，无界集。
2.多元函数概念
二元函数的图形是一张曲面。
3.多元函数的极限
二元函数的极限叫做二重极限，
4.多元函数的连续性
，间断点，性质
9.2 偏导数与全微分
1.偏导数
1）定义：

2）高阶偏导数
2.全微分
1）定义：

2）全微分存在的必要条件与充分条件。
9.3 多元复合函数的求导法则
1.一元函数与多元函数复合

2.多元函数与多元函数复合

9.4 隐函数的求导公式
1.一个方程的情形

2.方程组的情形

9.5 多元函数微分学的几何应用
1.一元向量值函数及其导数

2.空间曲线的切线与法平面

3.曲面的切平面与法线

9.6 方向导数与梯度
1.方向导数
其中为的方向角。
梯度：，则
2.梯度

9.7 多元函数的极值与求法
1.极值与最大值、最小值
（无条件极值）

2.条件极值与拉格朗日乘数法
求函数在条件下的极值：
先作拉格朗日函数，
解方程组 ，得到的（x,y）就是可能的极值点。
十、重积分
10.1 二重积分的概念与性质
1.二重积分的概念
定义：
2.二重积分的性质
（与定积分类似）
10.2 二重积分的计算法
1.利用直角坐标来计算
1）几何意义：曲顶柱体的体积。
2）直角坐标
（1）
，

（2）
，

2.利用极坐标来计算

10.3三重积分
1.三重积分的定义

2.三重积分的计算
1）直角坐标
----“先一后二”
----“先二后一”
2）柱面坐标
，
10.4 重积分的应用

十一、曲线积分与曲面积分
11.1 对弧长的曲线积分
1.定义

2.性质
1）
2）
3）在上，若，则
3.计算
设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则

11.2 对坐标的曲线积分
1.定义
设 L 为xOy面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数，在 L 上有界，定义，
.
向量形式：
2.性质
用表示的反向弧 , 则
3.计算
设在有向光滑弧上有定义且连续, 的参数方程为
，其中在上具有一阶连续导数，且，则

4.两类曲线积分之间的关系
设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，，，
则.
11.3 格林公式及其应用
1.格林公式
设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数在D 上具有连续一阶偏导数,
则有
2.曲线积分与路径无关的条件
为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，则
曲线积分 在内与路径无关的充要条件是. （注意奇点）
3.二元函数的全微分求积

11.4 对面积的曲面积分
1.定义
设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，
定义
2.计算
（一单二投三代入）
曲面，，则

11.5 对坐标的曲面积分
1.定义
设为有向光滑曲面，函数是定义在上的有界函数，定义
同理，

2.性质
1），则

2）表示与取相反侧的有向曲面 , 则
3.计算
（一投二代三定号）

4.两类曲面积分之间的关系

其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。
11.6 高斯公式与斯托克斯公式
1.高斯公式
设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成, 的方向取外侧, 函数在上有连续的一阶偏导数, 则有

2.斯托克斯公式
设光滑曲面 S 的边界 G是分段光滑曲线, S 的侧与 G 的正向符合右手法则, 在包含å 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有

为便于记忆, 用行列式记号把斯托克斯公式写成:

十二、无穷级数
12.1 常数项级数的概念和性质
1.定义
1）
无穷级数：
部分和：，
2）级数收敛：若存在，则称级数收敛，否则称级数发散
绝对收敛：收敛。
2.性质
1）若级数收敛于和s，则级数收敛收敛于和ks.
2）若级数、分别收敛于和s1、s2，则收敛于和s1s2.
3）在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。
4）若级数收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。
5）级数收敛的必要条件：级数收敛.（注意：不是充分条件！）
12.2 常数项级数的审敛法
1.正项级数及其审敛法
1）正项级数
（1）定义：，
（2）正项级数收敛部分和数列有界；
2）比较审敛法：，为正项级数，且
若收敛，则收敛；若发散，则发散.
3）比较法的推论：
、都是正项级数，若存在正整数， 当时，
有，且收敛，那么收敛；
有，且发散，那么发散.
4）比较法的极限形式：
、都是正项级数，
若，而收敛，则收敛；
若或，而发散，则发散.
5）比值审敛法（达朗贝尔判别法）：
为正项级数，设，则
当时，收敛；当时，发散；当时，可能收敛也可能发散.
6）极限审敛法：
设为正项级数，
若或，则级数发散；
若，而，则级数收敛.
2.交错级数及其审敛法
1）交错级数的定义：，
2）莱布尼茨审敛法：
若交错级数满足，且，则级数收敛。
3.绝对收敛与条件收敛
1）绝对收敛：若收敛，则称绝对收敛。
2）条件收敛：若收敛，而发散，则称条件收敛。
3）若绝对收敛，则必定收敛。
12.3 幂级数
1.函数项级数的概念
函数项级数，收敛域，收敛半径，和函数；

2.幂级数及其收敛性
1)幂级数：
2)如果幂级数不是仅在原点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必存在R，

3）收敛半径的求法：，则收敛半径
3.幂级数的运算
四则运算，幂级数的和函数的性质
12.4 函数展开成幂级数
1.泰勒级数

2.展开步骤
（直接展开法）
求出；
求出；
写出；
验证是否成立。
3.间接展开法
（利用已知函数的展开式）
1）；
2）；
3）；
4）；
5）
6）
7）
8）
12.5傅里叶级数
1.定义
1）三角级数及正交性
（1）三角级数：

（2）三角函数系的正交性：
函数系中，
任何不同的两个函数的乘积在区间上的积分为零。
2）傅里叶级数：
傅里叶系数：
2.收敛定理
设 f (x) 是周期为2p的周期函数, 如果它满足狄利克雷条件:
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
.
3.傅里叶展开
①求出系数：；
②写出傅里叶级数；
③根据收敛定理判定收敛性。
4.正弦级数和余弦级数